山西大学附属中学2021-2022学年高一下学期4月月考试题 数学(0001)

山西大学附中 2021--2022 学年第二学期高一年级4 月月考 数学试题 考查时间：90 分钟满分：100 分考查内容：平面向量、复数、立体几何初步 命题人：吴晨晨审核人：张耀军 一、选择题(本题共12 小题，每小题3 分，共36 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求) 1. 设 ， ，则 在复平面内对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【1 题答案】 【答案】D 2. 一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条( ) A. 相交 B. 异面 C. 相交或异面 D. 平行 【2 题答案】 【答案】C 3. 已知 ， ， ，若 ，则 （） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】D 4. 如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β， ，则平面ABC 与平面β 的 交线是（ ） A. 直线AC B. 直线AB C. 直线CD D. 直线BC 【4 题答案】 【答案】C 5. 若 的面积 ，则 外接圆的半径 为（） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】B 6. 已知向量 ， 满足 ， ，则 （） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】A 7. 在 中，已知 ，那么 一定是（） A. 等腰直角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【7 题答案】 【答案】B 8. 下列说法错误的是（） A. 一个八棱柱有10 个面 B. 任意 面体都可以分割成 个棱锥 C. 棱台侧棱的延长线必相交于一点 D. 矩形旋转一周一定形成一个圆柱 【8 题答案】 【答案】D 9. 已知向量 ， 不共线，且向量 与 的方向相反，则实数 的值为 A. 1 B. C. 1 或 D. -1 或 【9 题答案】 【答案】B 10. 已知直三棱柱 的各顶点都在同一球面上，且该棱柱的体积为 ， ， ， ，则该球的表面积为（） A. B. C. D. 【10 题答案】 【答案】C 11. 锐角 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 、 ， ， ，且 ，则 的面积为（） A. B. C. D. 【11 题答案】 【答案】D 12. 2022 年北京冬奥会开幕式中，当《雪花》这个节目开始后，一片巨大的“雪花”呈现在舞台中 央，十分壮观．理论上，一片雪花的周长可以无限长，围成雪花的曲线称作“雪花曲线”，又称 “科赫曲线”，是瑞典数学家科赫在1904 年研究的一种分形曲线．如图是“雪花曲线”的一种形成 过程：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作 正三角形，再去掉底边，重复进行这一过程．已知图①中正三角形的边长为3，则图③中 的值为（） A. B. C. 6 D. 【12 题答案】 【答案】C 二、填空题（本题共4 小题，每小题4 分，共16 分） 13. 已知复数 ，则复数z 的模为______. 【13 题答案】 【答案】 14. 三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是________. 【14 题答案】 【答案】 ## 15. 如图，测量河对岸的塔高 时，可以选与塔底 在同一水平面内的两个观测点 与 ．现 测得 ， ， ，并在点 测得塔顶 的仰角 为 ， 则塔高 为______m． 【15 题答案】 【答案】10 16. 在锐角 中， ， ，则 的取值范围为____________. 【16 题答案】 【答案】 三、解答题（本题共4 小题，每题12 分，共48 分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤） 17. 设为虚数单位， ，复数 ， . （1）若 是实数，求 的值；若 是纯虚数，求 的值； （2）若 所对应的向量与 所对应的向量是平行向量，求 的值. 【17 题答案】 【答案】（1） ； . （2） 19. 如图，已知圆锥的底面半径为4，母线长为8，P 为母线SA 的中点． （1）求圆锥的侧面积和体积； （2）若AB 为底面直径，求圆锥面上P 点到B 点的最短距离． 【19 题答案】 【答案】（1） ， （2） 21. 在① ；② ；③ ，这三个条件中任选一 个，补充在下面的横线上，并加以解答． 在 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，C，S 为 的面积，若__________（填条件序 号） （1）求角C 的大小； （2）若边长 ，求 的周长的最大值． 【21 题答案】 【答案】（1） ；（2） . 22. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔 离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在 一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．而向量正是数与形“沟通的桥梁”．在 中，试解决以下问题： （1）G 是三角形的重心（三条中线的交点），过点G 作一条直线分别交 于点 ． （i）记 ，请用 表示 ； （ii） ，求 的最小值． （2）已知点O 是 的________，且 ，求 ． 请从下面两个条件中选一个填在上述横线上，并完成解答．（注意：如果选择多个条件分别解 答，则按第一个解答计分） ①外心（三条垂直平分线的交点）；②垂心（三条高的交点）． 【22 题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【小问1 详解】 解：（i）设 ，由重心的坐标公式得 ， 且 ， 可得 ， . （ii）因为 ，其中 ，所以 ， 则 ， 根据平面向量的共线定理，可得 ，其中 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时，等号成立， 所以 的最小值为 ． 【小问2 详解】 解：①如图所示，当O 是 的外心时，取 的中点分别为 和 ， 因为， 可得 ， ， 由O 是 的外心， 可得 ，可得 ，即 ， ，可得 ，即 ， 所以 ，即 ，所以 ， 则 ，即 . 若选②：如图所示，即O 是 的垂心 因为 ， 可得 ， ， 由O 是 的垂心， 则 ，可得 ，即 ， ，可得 ，即 ， 联立方程组，可得 ，即 ，所以 ， 所以 ，即 .