圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部分，则 这条弦的弦心距是_____． 【答】1m 【分析】首先过点作F D ⊥ 于点F，设弦D 与直径B 相交于点E，由分直径成1m 和5m 两部分，可求得直径，半径 的长，继而求得E 的长，又由圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，即可求得这条弦的弦心距． (也可连结F，证△E∽△F) (3) 结论P Q=2成立 【点睛】本题考查相似三角形的性质，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键． 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十字弦”， 也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为“十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．

圆 模型（三十五）——圆幂定理模型 知识点一：相交弦定理 ◎结论1：如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 P·BP ① ＝P·DP , P·BP ② ＝P·DP＝r2－P2 ①【证明】 如上右图 ∵∠＝∠D，∠P＝∠DPB △P∽△DPB ∴ ∴AP DP＝CP BP 即P·BP＝P·DP ② P 与⊙交于M 两点，r △PB∽△PD ∴ ∴PB PD＝PC PA P·PB ∴ ＝P·PD ＝PM·P ＝（P－r）（P＋r） ＝P²－r² 1．（2020·全国·九年级课时练习）如图，圆内一条弦D 与直径B 相交成30°角，且分直径成1m 和5m 两部 分，则这条弦的弦心距是_____． 从两线交点处引出的共线，线段的乘积相等 2．（2015·浙江宁波·九年级阶段练习）半圆的直径B=9，两弦B、D 若过的直线与弦D(不含端点)相交于点E，与⊙相交于点F，求证：E F=2； (3) 若过的直线与直线D 相交于点P，与⊙相交于点Q，判断P Q=2是否成立(不必证明) 1．（2022·内蒙古赤峰·九年级期末）我们定义：如果圆的两条弦互相垂直且相交，那么这两条弦互为“十 字弦”，也把其中的一条弦叫做另一条弦的“十字弦”．如图1，已知⊙的两条弦B⊥D，则B、D 互为 “十字弦”，B 是D 的“十字弦”，D 也是B 的“十字弦”．

1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 如图所示，直线PT 切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 110 度． 解：连接BD，则∠BD＝90°， ∵PD 切⊙于点D， ∴∠BD＝∠PD＝20°， ∴∠DB＝90°﹣∠BD＝90° 20° ﹣ ＝70°； 又∵四边形DB 是圆内接四边形， ∴∠＝180°﹣∠DB＝180° 70° ﹣ ＝110°． 变式训练 【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙相切于点，另一边交⊙于B、两点，⊙ 的半径为 ，＝ ，则B PB＝1，则该半圆的半径为 4 ． 解：∵P 切半圆与点， ∴P2＝P•PB， 即P＝9， 则B＝9 1 ﹣＝8， 则圆的半径是4． 故答为4． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，为B 上一点，以为圆心，为半径作圆与B 相切于 点D，分别交、B 于E、F，若D＝2E＝4，则⊙的直径为（ ） ．10 B． ．5 D．12 解：连接D，过作的垂线，设垂足为G，

1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 如图所示，直线PT 切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 110 度． 解：连接BD，则∠BD＝90°， ∵PD 切⊙于点D， ∴∠BD＝∠PD＝20°， ∴∠DB＝90°﹣∠BD＝90° 20° ﹣ ＝70°； 又∵四边形DB 是圆内接四边形， ∴∠＝180°﹣∠DB＝180° 70° ﹣ ＝110°． 变式训练 【变式2-1】．如图，已知∠P＝45°，角的一边与⊙相切于点，另一边交⊙于B、两点，⊙ 的半径为 ，＝ ，则B PB＝1，则该半圆的半径为 4 ． 解：∵P 切半圆与点， ∴P2＝P•PB， 即P＝9， 则B＝9 1 ﹣＝8， 则圆的半径是4． 故答为4． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，为B 上一点，以为圆心，为半径作圆与B 相切于 点D，分别交、B 于E、F，若D＝2E＝4，则⊙的直径为（ ） ．10 B． ．5 D．12 解：连接D，过作的垂线，设垂足为G，

1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 如图所示，直线PT 切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 【例3】．如图，直线P 过半圆的圆心，交半圆于，B 两点，P 切半圆与点，已知P＝3， PB＝1，则该半圆的半径为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，为B 上一点，以为圆心，为半径作圆与B 相切于 点D，分别交、B 于E、F，若D＝2E＝4，则⊙的直径为（ ） ．10 B． ．5 D．12 【变式3-2】．如图，在四边形BD 中，以B 为直径的半圆经过点，D．与BD 相交于点 DE⊥EB． （1）求证：是△BDE 的外接圆的切线； （2）若 ，求BD 的长． 考点四：割线定理 【例4】．如图，过点P 作⊙的两条割线分别交⊙于点、B 和点、D，已知P＝3，B＝P＝ 2，则PD 的长是（ ） ．3 B．75 ．5 D．55 变式训练 【变式4-1】．如图，P 是圆外的一点，点B、D 在圆上，PB、PD 分别交圆于点、，如果 P＝4，B＝2，P＝D，那么PD＝

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 【答】 【分析】如图，连接 ，设 交于点 ，根据题意可得 是 的直径， ，设 ，证明 ，根据相似三角形的性质以及正切的定义，分别表示出 ，根据 ，勾股定理求得 ，根据 即可求解． 【详解】解：如图，连接 ，设 交于点 ， ∵ 是 的直径， 线是解答本题的关键． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接

1．弦切角定理 （1）弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． （2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半． 如图所示，直线PT 切圆于点，B、为圆的弦，则有∠P＝∠PB（∠P 为弦切角）． 2、相交弦定理 【结论1】如图 ，⊙中，弦B、D 相交于点P，半径为r,则 ①P·BP＝P·DP, ②P·BP＝P·DP＝r2－P2 【例3】．如图，直线P 过半圆的圆心，交半圆于，B 两点，P 切半圆与点，已知P＝3， PB＝1，则该半圆的半径为 ． 变式训练 【变式3-1】．如图，Rt△B 中，∠＝90°，为B 上一点，以为圆心，为半径作圆与B 相切于 点D，分别交、B 于E、F，若D＝2E＝4，则⊙的直径为（ ） ．10 B． ．5 D．12 【变式3-2】．如图，在四边形BD 中，以B 为直径的半圆经过点，D．与BD 相交于点 DE⊥EB． （1）求证：是△BDE 的外接圆的切线； （2）若 ，求BD 的长． 考点四：割线定理 【例4】．如图，过点P 作⊙的两条割线分别交⊙于点、B 和点、D，已知P＝3，B＝P＝ 2，则PD 的长是（ ） ．3 B．75 ．5 D．55 变式训练 【变式4-1】．如图，P 是圆外的一点，点B、D 在圆上，PB、PD 分别交圆于点、，如果 P＝4，B＝2，P＝D，那么PD＝

专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理 以及它们推论的统一与归纳。可能是在19 世纪由德国数学家施泰纳（Steer）或者法国数学家普朗克雷 （Pelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 模型1 相交弦模型 条件：在圆中，弦B 与弦D 交于点E，点E 交于点E，点E 在圆内。 结论： 。 例1．（2023·江苏无锡·校联考三模）如图，点 ， ， ， 在 上， ， ．若 ， ，则 的长是 ． 例2．（2023·山东济宁一模）如图，边长为6 的等边三角形B 内接于⊙，点D 为上的动点（点、除外）， BD 的延长线交⊙于点E，连接E．(1)求证 ；(2)当 时，求E 的长． 例3．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里 突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相 等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1， 的两弦 相交于点P．求证： ． 证明：如图1，连接 ． ∵ ， ．∴ ，（根据） ∴ @，∴ ， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．

重难点12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 线段时，可利用圆的定义构造辅 助圆 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 （圆的定义） 若一个四边形的一组对角互补， 则这个四边形的四个点共圆 O A B D C 反证法 O A B D C 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 C A B 【扩展】 C O O B A D B C A D 4 3 2 1 P O A B C D 3 2 1 C A P O B D 托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 证明:过点作P 交BD 于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， △ ∴D∽△BP∴AC BC = AD BP ，则·BP=D·B ① ∵∠1=∠2

重难点突破12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 等，则这四个点共圆（圆的定 义） 适用范围：题目出现共端点，等 线段时，可利用圆的定义构造辅 助圆 到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上 （圆的定义） O A B D C 若一个四边形的一组对角互补， 则这个四边形的四个点共圆 O A B D C 反证法 若一个四边形的外角等于它的内 对角，则这个四边形的四个点共 圆 O A B D C E 反证法 同侧共边三角形且公共边所对角 3 2 1 C A P O B D 若四边形两组对边乘积的和等于 对角线的乘积，则四边形的四个 顶点共圆(托勒密定理的逆定理) O D C A B 【扩展】 托勒密定理：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积 证明:过点作P 交BD 于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4， △ ∴D∽△BP∴AC BC = AD BP ，则·BP=D·B ① ∵∠1=∠2