专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...................... ........................5 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................9 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】..................... .........................13 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】...................................................................................................16 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】....................

专题245 圆内接四边形【六大题型】 【人版】 【题型1 利用圆内接四边形的性质求角度】.........................................................................................................1 【题型2 利用圆内接四边形的性质求线段长度】...................... ........................2 【题型3 利用圆内接四边形的性质求面积】.........................................................................................................3 【题型4 利用圆内接四边形判的性质断结论的正误】..................... ..........................4 【题型5 利用圆内接四边形的性质进行证明】.....................................................................................................5 【题型6 利用圆内接四边形的性质探究角或线段间的关系】...................

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ 4 2 ﹣ ． 解：作△PMD 的外接圆，则圆心在DM 的中垂线上移动， ∵∠DM＝2∠DPM， ∴当∠DM 最大时，∠DPM 最大， 当⊙与B 相切时，∠DM 最大， ∵M 是D 的中点，D＝4， ∴M＝DM＝2， 连接P，则P⊥B，

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝ ． （1）设⊙过点M、，、D 分别是M 同侧的圆上点和圆外点． 求证：∠M＞∠MD； （2）若P 是上的动点，求∠MP 的最大值． 【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），（﹣1，2），在x 轴的正半轴上，求 一点P，使∠MP 最大，则P

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 解：如图①，作过、B 两点的⊙M 与y 轴相切于点， ' ∵∠B＜∠PB， 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是D 的中点，点P 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ 4 2 ﹣ ． 解：作△PMD 的外接圆，则圆心在DM 的中垂线上移动， ∵∠DM＝2∠DPM， ∴当∠DM 最大时，∠DPM 最大， 当⊙与B 相切时，∠DM 最大， ∵M 是D 的中点，D＝4， ∴M＝DM＝2， 连接P，则P⊥B，

视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 【例1】．平面直角坐标系内，已知点（1，0），B（5，0），（0，t）．当t＞0 时，若 ∠B 最大，则t 的值为（ ） ． B． ． D． 变式训练 例题精讲 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，边长为4，M 是B 上一个动点， 当∠DPM 的度数最大时，则BP＝ ． 【变式1-2】．如图，∠B＝60°，M，是B 上的点，M＝4，M＝ ． （1）设⊙过点M、，、D 分别是M 同侧的圆上点和圆外点． 求证：∠M＞∠MD； （2）若P 是上的动点，求∠MP 的最大值． 【例2】．在直角坐标系中，给定两点M（1，4），（﹣1，2），在x 轴的正半轴上，求 一点P，使∠MP 最大，则P

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 ..........................................................................................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................... ....................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .......................................... ..........................................................................................8 模型3 等边内接等边................................................................................................. 模型3 等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形B 中，点D，E，F 分别在边B，B，上运动，且满足D=BE=F； 结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． 在 和 中， ∴ （ ）， ∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型）

专题11 三角形中的重要模型之等直内接等直模型与等直+高分模型 等腰直角三角形，是初中数学中重要的特殊三角形，性质非常丰富！常见常用的性质大都以“等腰三 角形”、“直角三角形”、“对称”、“旋转拼接”、“勾股比 ”、“45°辅助线”、“半个正方 形”等角度拓展延伸，常在选填题中以压轴的形式出现。今天在解题探究学习中，碰到一道以等腰直角三 角形为背景的几何题，有些难度，同时获得一连串等腰直角 ..........................................................................................2 模型1 等直内接等直模型............................................................................................... ....................................................................................15 模型1 等直内接等直模型 等直内接等直模型是指在等腰直角三角形斜边中点作出一个新的等腰直角三角形（该三角形的直角顶点为 原等腰直角三角形的斜边中点，其他两顶点落在其直角边上）。该模型也常以正方形为背景命题。 条件：已知

专题14 三角形中的重要模型之帽子模型、等边截等长与等边内接等边模型 等腰（等边）三角形是中学阶段非常重要三角形，具有许多独特的性质和判定定理。中考数学的常客， 并且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的相关能力。本专题将把等腰三角形的三类重要模型作系 统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .......................................... ..........................................................................................3 模型3 等边内接等边................................................................................................. 模型3 等边内接等边 图1 图2 1）等边内接等边（截取型） 条件：如图1，等边三角形B 中，点D，E，F 分别在边B，B，上运动，且满足D=BE=F； 结论：三角形DEF 也是等边三角形。 证明：∵ 是等边三角形，∴ ， ． ∵ ，∴ ． 在 和 中， ∴ （ ）， ∴ ．同理 ，∴ ，∴ 是等边三角形． 2）等边内接等边（垂线型）