题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 （2）已知 在线段 上，且 ，则 例1-1．（全国·高考真题）设 系数和（等和线）的应用及解题技巧 知识迁移 如图， 为 所在平面上一点，过 作直线 ，由平面向量基本定理知： 存在 ，使得 近年，高考、模考中有关“系数和（等和线）定理”背景的试题层出不穷，学生在解决此类问题时， 往往要通过建系或利用角度与数量积处理，结果因思路不清、解题繁琐，导致得分率不高，而向量三点共 线定理与等和线巧妙地将代数问题转化为图形关系问题，将系数和的代数运算转化为距离的比例运算，数

题型12 5 类平面向量解题技巧 （“爪子定理”、系数和（等和线）、极化恒等式、 奔驰定理与三角形四心问题、范围与最值问题） 技法01 “爪子定理”的应用及解题技巧 知识迁移 形如 条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知 为不共线的两个向量，则对于向量 ，必存在 ，使 得 。则 三点共线 当 ，则 与 位于 同侧，且 位于 与 之间 当 ，则 与 位于 两侧 技法02 系数和（等和线）的应用及解题技巧 技法03 极化恒等式的应用及解题技巧 技法04 奔驰定理与三角形四心的应用及解题技巧 技法05 范围与最值的应用及解题技巧 “爪子定理”是平面向量基本定理的拓展，用“爪子定理”能更快速求解，需同学们重点学习掌握 A B C D 时，当 ，则 在线段 上；当 ，则 在线段 延长 线上 （2）已知 在线段 上，且 ，则 例1-1．（全国·高考真题）设 1．（2022·全国·统考高考真题）在 中，点D 在边AB 上， ．记 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出． 【详解】因为点D 在边AB 上， ，所以 ，即 ， 所以 ． 故选：B． 2. （全国·高考真题）在 中， ， ．若点 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A

2. 在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是AB，AC 的中点，则（ ） A. 与 共线 B. 与 共线 C. 与 相等 D. 与 相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线概念即可求解结果． 【详解】因为 与 不平行，所以 与 不共线，A 错 因为D，E 分别是AB，AC 的中点，则 与 平行，故 与 共线，B 正确； 因为 与 不平行，所以 与 不相等，C 【详解】设R 为 外接圆的半径，故 ，解得 ． 故选：A． 4. 设 ， 是两个不共线的 向量，若向量 与向量 共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量 与向量 共线，由 求解. 【详解】因为 ， 是两个不共线的向量，且向量 与向量 共线， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 ， 故选：D 5. 下列说法错误的是（ ） ，所以 ，所以 为 钝角三角形． 故选：A 7. 在平行四边形 中，E 为 上一点， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，再结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意得， ，又 ， 所以 ． 故选:D. 8. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A. 16 B. 9 C. －9 D. －16 【答案】C

40 15. 与向量 平行的单位向量为 A. B. C. 或 D. 16. 等差数列 的前三项为 ， ， ，则这个数列的通项公式为 A. B. C. D. 17. 两个非零向量，满足 ，则向量 与的夹角为 A. B. C. D. 18. 定义运算： ，则函数 的图象大致为 A. B. C. D. 19. 已知向量 ， ，且 ，则 的等比中项，分析可得答案． 本题考查等比中项的计算，注意等比中项的定义，属于基础题． 4.【答案】B 【解析】解： ， ， ， ， 则 ， ． 故答案为：B． 直接利用已知条件，求解向量的数量积即可． 本题考查向量的数量积的求法，是基础题． 5.【答案】A 【解析】解：由等数列的定义得： 数列2，2，2，是首项为2，公差为0 的等差数列， 由等比数列的定义得： 数列2，2，2，是首项为2，公比为1 故选B． 13.【答案】D 【解析】解：对于A，利用向量的减法，可得 ，即A 不正确； 对于B，结果应该是，即B 不正确； 对于C，结果是0，即C 不正确； 对于D，利用向量的加法法则，可知正确 故选：D． 对于A，利用向量的减法，可得 ；对于B，结果应该是；对于C，结果是 0；对于D，利用向量的加法法则，可得结论． 本题考查平面向量中的基本概念，考查学生对概念的理解，属于基础题． 14

不存在 2、已知向量 ， ，则向量 的坐标为 A. （0，4，-11） B. （12，16，7） C. （0，16，-7） D. （12，16，-7） 3、直线的斜率是 ，直线经过点 ， ， ，则的值为( ) A. B. C. D. 4、空间向量 ，若 ，则实数x 的值为 A. B. 0 C. 2 D. 2 或 5、已知空间向量 ， ，若 ，则 A D. 7、若向量＝(2，2，0)，＝(1，3，n)， ，则n 的值为 （ ） A. ． B. ． C. ． D. ． 8、已知 三点的坐标分别为 ,若 , 则 b a 3 2  A. 14 B. C. 28 D. 9、给出下列命题： 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； 若空间向量 满足 ，则 ； 在正方体 若空间向量 满足 ， ，则 ； 空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10、已知直线经过 ， 两点，直线倾斜角为 ，那么与( ) A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 11、已知空间向量 ， ，则 A. B. C. 5 D. 12、已知直线l 与平面垂直，直线l 的一个方向向量为 ，

2、已知向量 ， ，则向量 b a 3 2  的坐标为 A. （0，4，-11） B. （12，16，7） C. （0，16，-7） D. （12，16，-7） 3、直线的斜率是 ，直线经过点 ， ， ，则的值为( ) A. B. C. D. 4、空间向量 ，若 ，则实数x 的值为 A. B. 0 C. 2 D. 2 或 5、已知空间向量 ， ，若 ，则 7、若向量＝(2，2，0)，＝(1，3，n)， ，则n 的值为 （ ） A. ． B. ． C. ． D. ． 8、已知 三点的坐标分别为 ,若 , 则 A. 14 B. C. 28 D. 9、给出下列命题： 将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆； 若空间向量 满足 ，则 ； 在正方体 中，必有 ； 若空间向量 满足 空间中任意两个单位向量必相等；其中假命题的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10、已知直线经过 ， 两点，直线倾斜角为 ，那么与( ) A. 垂直 B. 平行 C. 重合 D. 相交但不垂直 11、已知空间向量 ， ，则 A. B. C. 5 D. 12、已知直线l 与平面垂直，直线l 的一个方向向量为 ， 向量 与平面平行，则 等于

的方向向量为 ，点 ，在l 上，则点 到 l 的距离为（ ） 高二年级·数学·试题 第 2 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A. B. 4 C. D. 6. 如图，长方体 中， ， ，那么异面直线 与 所成角的正弦值是（ ） 高二年级·数学·试题 第 2 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7．已知空间向量 ， ，满足 第 3 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 D. 点 到直线 的距离为1 10．(本题5 分)给出下列命题，其中正确的有（ ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量 ，则 ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C． ， ， ， 是空间中的四个点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底， 那么 ， ， ， 共面 D．已知 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底 共 86 页 （北京）股份有限公司 C. 异面直线 与 所成角的余弦值为 D. 平面 与平面 所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为 二、填空题（每题5 分，共20 分） 13. 与向量 共线的单位向量是___________. 高二年级·数学·试题 第 4 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 14．已知 ， ， ， ，点 在直线 上运动，当 取最小值时，点 的坐标是______

化简已知原式为 ，由此可得结果. 【详解】原式 . 故选：B. 2. 在 中， ，则 （ ） A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】在 中， ， 可得 . 故选：C. 3. 已知平面直角坐标系中两个点坐标 ，点 是 中点，则 （ ） A. B. C. D. 【7 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据 的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择. 【详解】 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量， 故 表示起点为 ，终点在 的平分线上的向量， 又 ， ， 与 共起点，且为同向的向量， 则 点也在 的角平分线上，故点 的轨迹一定经过三角形 的内心. 故选：A. 8. 如图是第24 届国际数学家大会的会标，是根据中国 已知平面上的任意两个向量 ， ，不等式 成立 B. 若 是平面上不共线的四点，则“ ”是“四边形 为平行四边形”的充要条件 C. 若非零向量 ， 满足 ，则 ， 夹角为 D. 已知平面向量 ， 是单位向量， 与 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为3 【9 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；求出 判断C；求出投影向量判断D 作 答

图形语言 符号语言 l // b l⊂α b⊂α} ⇒l // α （3）线面平行的性质定理 技法01 空间中的平行关系解题技巧 技法02 空间中的垂直关系解题技巧 技法03 向量法与几何法求空间角的解题技巧 技法04 空间距离的解题技巧 技法05 动点的应用及解题技巧 技法06 范围的应用及解题技巧 空间中的平行关系是高考中的高频考点，需熟练掌握线面平行、面面平行的判定及性质定理，同时还需注 （2）解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系， 因为 ， ，所以 ， 又 ，所以 ，则 ， ， 所以 ，所以 ， ， ， ， 所以 ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系， ， 在 中， ， 在 中， ， 设 ，所以由 可得： ， 可得： ，所以 ， 则 ，所以 ， ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ， 设平面 的法向量为 ， 则 ，得 ， 令 ，则 ，所以 ， ， 所以平面 平面BEF； （3）法一：过点 作 交 于点 ，设 ， 由 ，得 ，且 ， 又由（2）知，

和直线 的交点坐标是 . 故选：B 5. 已知 ，则向量 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 第3 页/共25 页 （北京）股份有限公司 【分析】先求出 的坐标，再利用空间向量夹角余弦公式求解即可. 【详解】因为 ， 所以 ， ， 故选：C. 【点睛】本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间向量夹角余弦公式的应用，属于基础题. 6. 已知圆 ，直线 下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ） A. 若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，则 ； B. 若非零向量 ， ， 满足 ， ，则有 ； C. 若 ， ， 是空间的一组基底，且 ，则 ， ， ， 四点共面； D. 若向量 ， ， ，是空间一组基底，则 ， ， 也是空间的 一组基底. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析选择 向量，由此分别分析选择. 【详解】解：对于A：若向量 ， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即 ，故A 正确； 对于B：若非零向量 ， ， 满足 ， ，则 与 不一定共线，故B 错误； 对于C：若 ， ， 是空间的一组基底，且 ， 则 ，即 ， 可得到 ， ， ， 四点共面，故C 正确； 对于D：若向量 ， ， ，是空间一组基底， 则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组