吉林省长春外国语学校2021-2022学年高一下学期阶段测试数学试题（详解版）

长春外国语学校2021-2022 学年第二学期第一次月考高一年级 数学试卷 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8 小题，每小题5 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【1 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角和差余弦公式可化简已知原式为 ，由此可得结果. 【详解】原式 . 故选：B. 2. 在 中， ，则 （ ） A. B. C. D. 【2 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解. 【详解】在 中， ， 可得 . 故选：C. 3. 已知平面直角坐标系中两个点坐标 ，点 是 中点，则 （ ） A. B. C. D. 【3 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点 的坐标，从而可求出 的坐标，进而可求出其模 【详解】因为 ，点 是 中点， 所以 ， 所以 ， 所以 ， 故选：B 4. 一只鹰正以与水平方向成 角的方向向下飞行，直扑猎物，太阳光垂直于地面照射下来，鹰在地面上 影子的速度是50m/s，则鹰的飞行速度为（ ） A. B. C. D. 【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意知水平速度为50m/s，然后由 求解. 【详解】解：如图所示： 由题意知： ， 所以 ， 故选：C 5. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【5 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先由 ，解得 ，再由 求解即可. 【详解】 ，∴解得 ， ∴ ， 故选：D. 6. 如图，在△ 中， ， 是 上的一点，若 ，则实数 的值为 （ ） A. B. C. D. 【6 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件用 表示 ，结合共线定理的推论即可求得参数值. 【详解】因为 ，又 ，则 ， 故 因为 三点共线，故可得 ，解得 . 故选：A. 7. 在△ 中， 是三角形内一点，如果满足 ， ，则点 的轨迹一定经过△ 的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心 【7 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据 的含义，结合数乘运算的几何意义，即可判断和选择. 【详解】 表示与 同向的单位向量， 表示与 同向的单位向量， 故 表示起点为 ，终点在 的平分线上的向量， 又 ， ， 与 共起点，且为同向的向量， 则 点也在 的角平分线上，故点 的轨迹一定经过三角形 的内心. 故选：A. 8. 如图是第24 届国际数学家大会的会标，是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的．已知图中正方形 的边长为2， ，则小正方形 的面积为（ ） A. B. C. D. 【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】根据设计图的几何特点，结合已知条件，求得小正方形的边长，再根据同角三角函数关系，以及 正弦的二倍角公式，即可求得小正方形的面积. 【详解】根据设计图的几何特点可知：△ △ △ △ ， 在△ 中， ， ， 故小正方形的边长为 ， 故小正方形的面积为 . 故选： . 二、多选题：本题共2 小题，每小题5 分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知平面上的任意两个向量 ， ，不等式 成立 B. 若 是平面上不共线的四点，则“ ”是“四边形 为平行四边形”的充要条件 C. 若非零向量 ， 满足 ，则 ， 夹角为 D. 已知平面向量 ， 是单位向量， 与 夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量为3 【9 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量的定义判断A；利用共线向量的定义判断B；求出 判断C；求出投影向量判断D 作 答. 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，不能比较大小，A 不正确； 对于B，因 是平面上不共线的四点， ，有 ，且 ，则四边形 为平行四边形， 反之，四边形 为平行四边形，即有 ， ， 与 方向相同，则有 ， 所以当 是不共线的四点时，“ ”是“四边形 为平行四边形”的充要条件，B 正确； 对于C，由 两边平方得 ，即 ，而 ， 为非零向量，有 ， ， 夹角为 ，C 正确； 对于D，依题意，向量 在向量 上的 投影向量为 ，D 不正确. 故选：BC 10. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，下列说法错误的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 为锐角三角形 D. 若 ，则 为等边三角形 【10 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】A. 得到 ，所以选项A 错误；可以推导选项BD 正确；C. 得到 是锐角，但是 角 不清楚，所以不能得到 为锐角三角形，所以选项C 错误. 【详解】解：A. 若 ，则 ，所以选项A 错误； B. 若 ，则 所以选项B 正确； C. 若 ， 是锐角，但是角 不清楚，所以不能得到 为 锐角三角形，所以选项C 错误； D. 若 ，则 ,所以 为等边三角形，所以选项D 正 确. 故选：AC 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分． 11. 在 中， 所对的边分别为 ，若 ，则角 ________． 【11 题答案】 【答案】 ## 【解析】 【分析】由正弦定理求得 ，结合 ，求得 ，进而求得 的值. 【详解】在 中，因为 ， 由正弦定理得 ，可得 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 所以 . 故答案为： . 12. =__________. 【12 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查了两角和的正切公式，需熟记公式并灵活应用，属于基础题. 13. 已知平面上两个不共线向量 ，且 ， ， ＝ ，若A，B， D 三点共线，则实数 的值为________． 【13 题答案】 【答案】 【解析】 【分析】先求 ，由平面向量共线定理得 ，最后建立方程求解即可. 【详解】由题， ， 由A，B，D 三点共线，则 ， 可解得 ， 故答案为： 14. 在 中， ， ， 边上的高 ，则 ________． 【14 题答案】 【答案】 ## 【解析】 【分析】根据题中的条件画出平面图形，再结合图形求解三角形的各边，最后运用余弦定理求解出答案. 【详解】根据题意可画图形如下： 图中， ， 中， ， 中， ， 中，根据余弦定理得， 故答案为： . 四、解答题：本题共5 小题，每小题10 分． 15. 已知平面向量 ， ， （1）若 为 与 的夹角，求 的值； （2）若 与 垂直，求实数 的值． 【15~16 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出向量 与 的坐标，再根据向量夹角坐标公式求解即可； （2）先求出向量 与 的坐标，再根据向量垂直坐标公式求解即可． 【小问1 详解】 由 ， 得 又 ，所以 ； 【小问2 详解】 由 ， 又 与 垂直，所以 ，解得 ． 16. 求值 （1）已知 ， ，求 的值； （2）已知 ， ，求 的值． 【16~17 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别将 和 完全平方相加即可； （2）构造 ，计算求解即可. 【小问1 详解】 ，两式相加得， ， 又 ， ， 所以 ，所以 ， 即 . 【小问2 详解】 . 17. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 （1）求角 ； （2）若 ，求 的面积 ． 【17~18 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可； （2）由题知 ，进而结合已知得 ，即 ，再求面积即可. 【小问1 详解】 解：因为 ， 所以 ， 因为 ， 所以 . 【小问2 详解】 解：因为 ，所以 ， 因为 ， 所以 ，解得 ， 所以 的面积 . 18. 如图，已知 是平面直角坐标系的原点， ， ． （1）求 坐标； （2）若四边形 为平行四边形，求点 坐标． 【18~19 题答案】 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点 作 垂直 轴于点 ，在 中，即可求出 的值，进而求得点 坐 标，再根据 ，求出点 坐标，由此即可求出 坐标. （2）如下图作出辅助线，根据直角三角形的特点，可求出点 的坐标，再设点 ，根据题意可知 ，由此即可求出点 坐标． 【小问1 详解】 解：过点 作 垂直 轴于点 ，如下图所示： 因为 ，所以 ， 又 ，所以在 中， ， 又 ，所以 ， 所以 【小问2 详解】 解：过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直 轴于点 ，过点 作 垂直 轴于点 ， 如下图所示： 在 中， ， ，所以 ， 在 中， ， ， 所以 ，即 所以 ，即 ， 设点 ， 因为四边形 为平行四边形，所以 ， 又 所以 ，解得 ，所以点 坐标为 . 19. 已知平面向量 ， ，函数 （1）求函数 的解析式，并求函数的最小正周期； （2）当 时，求函数的最大值，并求出取最大值时的 的值． 【19~20 题答案】 【答案】（1） ，最小正周期为 （2）当 时，函数最大值为 . 【解析】 【分析】（1）结合向量的 运算和三角恒等变换的公式，化简得到 ，利用公式求得 函数的最小正周期； （2）由 ，得到 ，结合三角函数的性质，即可求解. 【小问1 详解】 解：由题意，向量 ， ， 可得 且 ， 所以函数 ， 可得函数 的最小正周期为 . 【小问2 详解】 解：由（1）知 ， 因为 ，可得 ， 当 时，即 时，函数取得最大值，最大值为 .