黑龙江省牡丹江市第一中学2022-2023学年高二10月月考数学答案

高二年级·数学·试题 第 1 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 2022－2023 第一学期10 月月考数学试题 10 月8 日 一、选择题（本题共12 小题，每题5 分，共60 分.其中1-8 为单选，9-12 为多 选.注：多选题少选选对得2 分，错选得0 分） 1. 若经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，则m 等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2．已知直线 ，点 ， ，若直线与线段AB 有公共点，则实数 的取值范围是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 3. 已知直线 ： 与直线 ： 平行，则 （ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 已知 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知直线l 的方向向量为 ，点 ，在l 上，则点 到 l 的距离为（ ） 高二年级·数学·试题 第 2 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A. B. 4 C. D. 6. 如图，长方体 中， ， ，那么异面直线 与 所成角的正弦值是（ ） 高二年级·数学·试题 第 2 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 7．已知空间向量 ， ，满足 ， ， ， ，则 与 的夹角 为（ ） A． B． C． D． 8. 如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 （ ） A. B. C. D. 9. 下列说法中，正确的有（ ） 高二年级·数学·试题 第 3 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A. 直线 必过定点 B. 直线 在 轴上的截距为1 C. 直线 的倾斜角为 高二年级·数学·试题 第 3 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 D. 点 到直线 的距离为1 10．(本题5 分)给出下列命题，其中正确的有（ ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量 ，则 ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底 C． ， ， ， 是空间中的四个点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底， 那么 ， ， ， 共面 D．已知 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底 11．已知平面上一点 ，若直线上存在点 使 ，则称该直线为“切割型直 线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A． B． C． D． 12. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 底面 ，则（ ） A. B. 与平面 所成角为 高二年级·数学·试题 第 4 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 C. 异面直线 与 所成角的余弦值为 D. 平面 与平面 所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为 二、填空题（每题5 分，共20 分） 13. 与向量 共线的单位向量是___________. 高二年级·数学·试题 第 4 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 14．已知 ， ， ， ，点 在直线 上运动，当 取最小值时，点 的坐标是______ 15．(本题5 分)如图，在正四棱柱 中，底面边长为2，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为_____． 16. 如图，在长方体 中， ， ， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，则直线 到平面 的距离为___________. 三、解答题（共70 分） 高二年级·数学·试题 第 5 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 17、(本题10 分)在 中， ， ， . （1）求 ； （2）若点 在 上，且 ，求点 的坐标. 高二年级·数学·试题 第 5 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 18．(本题12 分)已知直线 和直线 . (1)当m 为何值时，直线和 平行？ (2)当m 为何值时，直线和 重合？ 19.(本题12 分) 已知直角坐标平面 内的两点 ， . （1）求线段 的中垂线所在直线的方程； （2）一束光线从点 射向 轴，反射后的光线过点 ，求反射光线所在的直线方程. 高二年级·数学·试题 第 6 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 20.(本题12 分) 如图，在边长为2 的正方体 中， 为 的中点. （1）求点 与平面 的距离； （2）求直线 与平面 所成角的余弦值. 21．(本题12 分)已知点 ， ， ，向量 . (1)若 ，求实数 的值； (2)求向量 在向量上 上的投影向量. 高二年级·数学·试题 第 7 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 高二年级·数学·试题 第 7 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 22.(本题12 分) 如图，已知直三棱柱 中， ， ， ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点，点 在直线 上运动，且 （1）证明：无论 取何值，总有 平面 ； （2）是否存在点 ，使得平面 与平面 的夹角为 ？若存在，试确定点 的 位置，若不存在，请说明理由. 高二年级·数学·试题 第 8 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 高二年级·数学·试题 第 8 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 答案 一、选择题（本题共12 小题，每题5 分，共60 分.其中1-10 为单选，11-12 为 多选.注：多选题少选选对得2 分，错选得0 分） 1. 若经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ，则m 等于（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据直线的斜率公式，由题中条件列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为经过 ， 两点的直线的倾斜角为 ， 所以 ，解得 . 故选：A. 2．(本题5 分)已知直线 ，点 ， ，若直线与线段AB 有公共点， 则实数 的取值范围是（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 【答案】A 【解析】 高二年级·数学·试题 第 9 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 【分析】 若直线与线段 有公共点，由 、 在直线的两侧（也可以点在直线上），得 （ ）可得结论． 【详解】 高二年级·数学·试题 第 9 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 若直线与线段 有公共点，则 、 在直线的两侧（也可以点在直线上）. 令 ，则有 ， ， ，即 . 解得 ， 故选：A. 3. 已知直线 ： 与直线 ： 平行，则 （ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行的等价条件列方程组即可求解. 【详解】因为直线 ： 与直线 ： 平行， 所以 ，解得： 或 ， 故选：D. 4. 已知 ， ，若 ，则实数 的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由 ，然后根据向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】解：因为 ， ， 高二年级·数学·试题 第 10 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 所以 ， 因为 ， 所以 ，即 ，解得 ， 高二年级·数学·试题 第 10 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 故选：D. 5. 已知直线l 的方向向量为 ，点 ，在l 上，则点 到 l 的距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点P 到直线l 的距离为 ，分别计算向量的模长与夹角的正 弦值即可. 【详解】根据题意，得 ， ， ， ， 又 ， 到直线l 的距离为 故选：C 【点睛】本题考查了空间向量的应用问题，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于基 础题目. 6. 如图，长方体 中， ， ，那么异面直线 与 所成角的正弦值是（ ） 高二年级·数学·试题 第 11 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 高二年级·数学·试题 第 11 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出异面直线 与 所成角，解三角形求得异面直线 与 所成角的 正弦值. 【详解】连接 ，根据长方体的性质可知 ， 所以 是异面直线 与 所成角， 依题意 ， ， 故可设 ， 在三角形 中， , 所以 . 故选：C 7．(本题5 分)已知空间向量 ， ，满足 ， ， ， ，则 与 高二年级·数学·试题 第 12 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 的夹角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 高二年级·数学·试题 第 12 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】 将 ，两边平方，利用空间向量的数量积即可得选项. 【详解】 设 与 的夹角为 ．由 ，得 ，两边平方，得 ， 所以 ，解得 ，又 ，所以 ， 故选：C． 8. 如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 ， 为 中点，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 高二年级·数学·试题 第 13 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】由向量的加法和减法运算法则计算即可． 【详解】 故选：B 高二年级·数学·试题 第 13 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 直线 必过定点 B. 直线 在 轴上的截距为1 C. 直线 的倾斜角为 D. 点 到直线 的距离为1 【答案】AC 【解析】 【分析】对A,化简方程令 的系数为0 求解即可. 对B,根据截距的定义辨析即可. 对C,求出直线的斜率再根据斜率与倾斜角的关系辨析即可. 对D,利用横纵坐标的差求解即可. 【详解】对A,化简得直线 ,故定点为 .故A 正确. 对B, 在 轴上的截距为 .故B 错误. 对C,直线 的斜率为 ,故倾斜角 满足 , 即 .故C 正确. 对D, 因为直线 垂直于 轴,故 到 的距离为 .故D 错误. 故选：AC. 10．(本题5 分)给出下列命题，其中正确的有（ ） A．空间任意三个向量都可以作为一个基底 B．已知向量 ，则 ， 与任何向量都不能构成空间的一个基底 高二年级·数学·试题 第 14 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 C． ， ， ， 是空间中的四个点，若 ， ， 不能构成空间的一个基底， 那么 ， ， ， 共面 D．已知 是空间的一个基底，若 ，则 也是空间的一个基底 【答案】BCD 高二年级·数学·试题 第 14 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】 作为空间中基底的性质，结合各选项的描述判断正误即可. 【详解】 A：空间中共面的三个向量不能作为基底，故错误； B：向量 ，即 ， 可平移到一条直线上，它们与其它任何向量都会共面，故不能作 为基底，正确； C： ， ， 不能构成空间的一个基底，即它们共面，则 ， ， ， 共面， 正确； D： 是空间的一个基底，即它们不共面，由 即 共面，故 与 不共 面，则 是空间的一个基底，正确. 故选：BCD 11．(本题5 分)已知平面上一点 ，若直线上存在点 使 ，则称该直线为 “切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】 【分析】 所给直线上的点到定点 距离能否取 ，可通过求各直线上的点到点 的最小距离，即 点 到直线的距离来分析，分别求出定点 到各选项的直线的距离，判断是否小于或等 于4，即可得出答案. 【详解】 高二年级·数学·试题 第 15 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 所给直线上的点到定点 距离能否取 ，可通过求各直线上的点到点 的最小距离，即 点 到直线的距离来分析． 高二年级·数学·试题 第 15 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 A．因为 ，故直线上不存在点到 距离等于 ，不是“切割型直线”； B．因为 ，所以在直线上可以找到两个不同的点，使之到点 距离等于 ，是 “切割型直线”； C．因为 ，直线上存在一点，使之到点 距离等于 ，是“切割型直线”； D．因为 ，故直线上不存在点到 距离等于 ，不是“切割型直线”． 故选：BC. 12. 如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， ， 底面 ，则（ ） A. B. 与平面 所成角为 C. 异面直线 与 所成角的余弦值为 高二年级·数学·试题 第 16 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 D. 平面 与平面 所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为 【答案】AD 【解析】 【分析】设 ，则 ，由余弦定理求出 的长，可得 ，由 底面 可得 ，由线面垂直的判断定理和性质定理即可判断选项A； 计算 即可判断选项B；计算 即可判断选项C；建立空间直角坐标系，求出 平面 的一个法向量 ，平面 的一个法向量 ，计算 高二年级·数学·试题 第 16 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 再结合图形可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于A，由 ， 及余弦定理得 ，从而 ，故 .由 底面 ，可得 .又 ，所以 平面 ，故 .故A 正确. 对于B，因为 底面 ，所以 就是 与平面 所成的角，又 ，所以 .故B 错误. 对于C，显然 是异面直线 与 所成的角，易得 .故 C 错误. 对于D，以D 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴建立如图所示 的空间直角坐标系 . 设 ，则 ， ， ， ，所以 高二年级·数学·试题 第 17 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 ， ， . 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 取 ，则 ， ， 此时 . 高二年级·数学·试题 第 17 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 设平面 的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 取 ，则 ， ，此时 ， 所以 ， 所以平面 与平面 所成二面角的平面角为锐角时的余弦值为 .故D 正确. 故选：AD. 三、填空题（每题5 分，共20 分） 13. 与向量 共线的单位向量是___________. 【答案】 或 【解析】 【分析】求出 ，然后用 除以 ，得一个单位向量，再求得其相反向量即得． 【详解】因为 ，所以与 共线的方向向量为 所以与向量 共线的单位向量为 或 . 故答案为： 或 . 高二年级·数学·试题 第 18 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 15．(本题5 分)已知 ， ， ， ，点 在直线 上运动， 当 取最小值时，点 的坐标是______ 【答案】 【解析】 高二年级·数学·试题 第 18 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 【分析】 空间向量的数量积最值问题，利用共线设出Q 点坐标，列式求解，利用二次函数求最值即 可得到答案. 【详解】 设 ，因为 ，所以 ，所以点 的坐标为 . 又 ， ， 所以 ，所以当 时， 取 最小值，此时点 的坐标为 . 故答案为： . 16．(本题5 分)如图，在正四棱柱 中，底面边长为2，直线 与平面 所成角的正弦值为 ，则正四棱柱的高为_____． 【答案】4 【解析】 高二年级·数学·试题 第 19 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，轴建立空间直角坐标系, 设 ，求出平面 的一个法向量，则 ，则可以得到答案. 【详解】 解：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴，轴建立如图所示的空间 直角坐标系， 高二年级·数学·试题 第 19 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 设 ，则 ， ， ，故 ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，则 ，可取 ， 故 ， 又直线 与平面 所成角的正弦值为 ， ，解得 ． 故答案为：4． 【点睛】 本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题. 16. 如图，在长方体 中， ， ， ､ ､ 分别是 高二年级·数学·试题 第 20 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 ､ ､ 的中点，则直线 到平面 的距离为___________. 高二年级·数学·试题 第 20 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 【答案】 【解析】 【分析】以D 为原点，DC，DA， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐 标系，得到A，C，E，F，H 各点坐标，由向量可判定 平面 ，则将问题转化 为点E 到平面 的距离，先求得平面 的法向量，再根据距离 求解 即可. 【详解】以D 为原点，DC，DA， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐 标系，如图所示， 高二年级·数学·试题 第 21 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 由题，则 ， ， 因为 ､ ､ 分别是 ､ ､ 的中点， 所以 ， ， ， 高二年级·数学·试题 第 21 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 则 ，所以 ，所以 平面 ，所以点E 到平面 的距离即为直线 到平面 的距离， 设平面 的法向量为 ，则 ， 因为 ，所以 ，取 ，则 ， ， 所以 是平面 的一个法向量， 又向量 ，所以点E 到平面 的距离为 ， 即直线 到平面 的 距离为 . 故答案为： 三、解答题（共70 分） 17、在 中， ， ， . （1）求顶点 、 的坐标； （2）求 ； （3）若点 在 上，且 ，求点 的坐标. 【答案】（1） ， ；（2） ；（3） . 【分析】（1）利用向量的坐标运算可求得点 、 的坐标； 高二年级·数学·试题 第 22 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 （2）计算出向量 、 的坐标，利用空间向量数量积的坐标运算可求得 的值； （3）由 可得 ，可求得向量 的坐标，进而可求得点 的坐标. 【详解】（1）设点 为坐标原点， ， 则 . 高二年级·数学·试题 第 22 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 ，则 ； （2） ，则 ， 又 ，因此， ； （3）设点 为坐标原点， ，则 ， 则 ， 所以，点 的坐标为 . 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，同时也考查了空间向量数量积的计算，考查计算 能力，属于中等题. 18．(本题12 分)已知直线 和直线 . (1)当m 为何值时，直线和 平行？ (2)当m 为何值时，直线和 重合？ 【答案】(1) 或 (2) 【解析】 【分析】 （1）（2）由直线平行与重合的公式列方程组求解. （1） 高二年级·数学·试题 第 23 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 由题意， ， 得 ，解得 或 高二年级·数学·试题 第 23 页 共 86 页 （北京）股份有限公司 当 或 时，直线和 平行. （2） 由题意， ， 得 ，解得 ， 当 时，直线和 重合. 19. 已知直角坐标平面 内的两点