河南省商开大联考2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

商开大联考2021—2022 学年下学期期中考试 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150 分，考试时间120 分钟. 2．答题前，考生务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题 区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4．本卷命题范围：人教A 版必修第二册第六章～第八章第3 节. 一、选择题：本题共12 小题.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复平面内的点M（1，2）对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数在复平面对应点的特征进行判断即可. 【详解】点M（1，2）对应的复数为 ． 故选：B 2. 在△ABC 中，AB＝AC，D，E 分别是AB，AC 的中点，则（ ） A. 与 共线 B. 与 共线 C. 与 相等 D. 与 相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量共线概念即可求解结果． 【详解】因为 与 不平行，所以 与 不共线，A 错 因为D，E 分别是AB，AC 的中点，则 与 平行，故 与 共线，B 正确； 因为 与 不平行，所以 与 不相等，C 错； 因为 ，则D 错． 故选：B 3. 在 中， ， ，则 外接圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】直接使用正弦定理进行求解即可. 【详解】设R 为 外接圆的半径，故 ，解得 ． 故选：A． 4. 设 ， 是两个不共线的 向量，若向量 与向量 共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量 与向量 共线，由 求解. 【详解】因为 ， 是两个不共线的向量，且向量 与向量 共线， 所以 ，即 ， 所以 ，解得 ， 故选：D 5. 下列说法错误的是（ ） A. 球体是旋转体 B. 圆柱的母线平行于轴 C. 斜棱柱的 侧面中没有矩形 D. 用平行于正棱锥底面的平面截正棱锥所得的棱台 叫做正棱台 【答案】C 【解析】 【分析】利用球体的定义判断A；利用圆柱的结构特征判断B；举例说明判断C；利用正棱台的定义判断 D 作答. 【详解】因球体是半圆面绕其直径所在的直线旋转一周所得几何体，即球体是旋转体，A 正确； 由圆柱的 结构特征知，圆柱的母线平行于轴，B 正确； 如图，斜平行六面体 中，若 平面 ，则侧面四边形 是矩形，C 不 正确； 由正棱台的定义知，D 正确. 故选：C 6. 在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，则 必为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】由余弦定理，得 ，因为 ，所以 ，所以 为 钝角三角形． 故选：A 7. 在平行四边形 中，E 为 上一点， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的基本定理，再结合向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意得， ，又 ， 所以 ． 故选:D. 8. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A. 16 B. 9 C. －9 D. －16 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求出 ，再由数量积的定义及诱导公式计算可得； 【详解】解：由余弦定理，可得 ， 所以 ． 故选：C． 9. 如图，飞机飞行的航线 和地面目标 在同一铅直平面内，在 处测得目标 的俯角为 ，飞行10 千米到达 处，测得目标 的俯角为 ，这时 处与地面目标 的距离为（ ）． A. 5 千米 B. 千米 C. 4 千米 D. 千米 【答案】B 【解析】 【分析】将题意转化为解三角形问题，利用正弦定理计算即可. 【详解】根据题意可知 ， . 在 中，由正弦定理得 ,即 . 故选:B 10. 已知向量 ， 满足 ， ，则向量 在向量 上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直可求出 ，进而可以计算出向量 在向量 方向上的投影向量. 【详解】依题意 ， ，向量 在向量 方向上的投影向量为 ． 故选：A 11. 如图， 、 为互相垂直的两个单位向量，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用基底 表示向量 、 ，再利用平面向量数量积的运算可求得 的值. 【详解】由已知可得 ， ，则 ， 所以， . 故选：C. 12. 在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1 所示，图中共有2 个正三角形），然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如 此重复多次，可得到如图2 所示的优美图形（图中共有11 个正三角形），这个过程称之为迭代．如果在边 长为27 的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3 所示 的图形（图中共有7 个正三角形），则图3 中最小的正三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得． 【详解】设最大正三角形的边长为 ，则 ，其内部迭代出的正三角形的边长分别为 ， 由余弦定理得 ， 同理得 ， ∴ ， ∴最小的正三角形的面积 ． 故选：C． 二、填空题：本题共4 小题. 13. 已知i 为虚数单位，复数z 满足 ，则z 的虚部为______． 【答案】1 【解析】 【分析】应用复数的除法求复数z 即可. 【详解】由题设， ， 故z 的虚部为1． 故答案为：1. 14. 下列四个等式： ① ； ② ； ③ ； ④ ． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对 于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误， 故答案为：①②③ 15. 如图， 是 的直观图，其中 ，则 的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】画出原图可得答案. 【详解】由题意，得 ，∴ ， ， ∴ 的面积是 ． 故答案为： 16. 已知圆内接四边形ABCD 中， ， ， ， ，则 ______． 【答案】20 【解析】 【分析】根据圆的有关性质可知 ， ，由勾股定理求出 ， 连接BD，利用余弦定理分别求出 和 ，根据 列方程，解方程即可. 【详解】如图， 在圆内接四边形 中， ， 所以 ， ， 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 连接BD，在 中，由余弦定理，得 ， 在 中，由余弦定理，得 ， 又因为 ，所以 ， 则 ， 由 ，解得 . 故答案为： . 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知一圆锥的底面半径为6cm． （1）若圆锥的高为8cm，求圆锥的体积； （2）若圆锥的母线长为10cm，求圆锥的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的 体积公式，计算求解即可. （2）根据圆锥的表面积公式，计算求解即可. 【小问1 详解】 据题意知，圆锥的体积 ． 【小问2 详解】 圆锥的底面面积 ； 圆锥的侧面积 ． 故圆锥的表面积 ． 18. 在 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 ， ． （1）若 ，求B； （2）若 ，求b． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理进行求解；（2）用正弦定理求出 或 ，分两种情况进行求解， 得到 或 . 【小问1 详解】 由余弦定理，得 ， 又 ， ∴ ． 【 小问2 详解】 由正弦定理，得 ， ∵ ， ∴ 或 ． 当 时， ， ∴ ； 当 时， ， ∴ ． 综上， 或 ． 19. 已知复数 是关于x 的方程 的一个解． （1）求a 的值； （2）若复数 满足 ，求 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把 代入方程 ，然后计算即可求解. （2）根据共轭复数的定义，得到 ，进而可得 ，然后计算可求解. 【小问1 详解】 由题意，得 ，即 ， 所以， ，解得 ． 【小问2 详解】 由题意， 得 ， ．故 ． 20. 如图，在 中， ， ． （1）当 ， 满足什么条件时，AC 与BD 互相垂直？ （2） 与 有可能相等吗？为什么？ 【答案】（1） （2）有可能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据向量的加法和减法运算，用 表示 ，进而可以得到AC 与BD 互相垂直时， ， 需要满足的条件. （2）根据向量的模长公式，即可计算求解. 【小问1 详解】 ， ， 若 ，则 ． 所以 ，得 ． 因此当 时， ． 【小问2 详解】 有可能． ， ， 若 ，则 ． 故当 时， ． 21. 已知向量 ， ． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求实数k 的值； （3）若 与 的夹角是钝角，求实数k 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） ； （3） 且 . 【解析】 【分析】（1）根据共线向量的坐标表示公式，结合平面向量模的坐标表示公式进行求解即可； （2）根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合平面向量垂直的性质进行求解即可； （3）根据平面向量夹角和共线的性质进行求解即可. 【小问1 详解】 因为向量 ， ，且 ， 所以 ，解得 ， 所以 ； 【小问2 详解】 由题意，得 ， 因为 ，所以 ，解得 ； 【小问3 详解】 因为 与 的夹角是钝角，则 且 与 不共线． 即 且 ，所以 且 ． 22. 已知 中，D 为BC 中点， ． （1）若 ， ，求边AB 的长； （2）若 ，求 面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在 中，由正弦定理得 ，则 ，利用 ，由余弦定理得 ，从而求出 ； （2）D 为BC 中点 ．设 ， ， ，由余弦定理得 ， ， ，再利用基本不等式求最值可得答案． 【小问1 详解】 在 中， ， ， 由正弦定理，得 ，又 ，则 ， ∴ ； 由余弦定理，得 ， ∴ ． 【小问2 详解】 ∵D 为BC 中点，∴ ， 设 ， ， ， 由余弦定理，得 ， 则 ． 的面积 ， ∵ ，∴ ， ．∴ ， 当且仅当 时取等号，此时 取得最大值 ，即 的面积取得最大值 ， 故 的面积的最大值为 ．