点动型 类型一：单动点 【例1】如图，点 是菱形 边上的一动点，它从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ，设 的面积为 ， 点的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为 ． B． ． D． 【解答】解：分三种情况： ①当 在 边上时，如图1， 设菱形的高为 ， ， 随 的增大而增大， 不变， 随 的增大而增大， 故选项 和 不正确； ②当 在边 上时，如图2， ， 和 的增大而减小， 点从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项 正确； 故选： ． 【变式训练1】如图，正方形 的边长为4， 为正方形边上一动点，运动路线是 ， 设 点经过的路程为 ，以点 、 、 为顶点的三角形的面积是 ，则下列图象能大致反映 与 的 函数关系的是 ． B． ． D． 【解答】解：当点 由点 向点 运动，即 时， ； 当点 在 上运动，即 上运动，即 时， ，是一个定值； 当点 在 上运动，即 时， 随 的增大而减小． 故选： ． 【变式训练2】如图，点 是长方形 边上一动点，沿 的路径移动，设 点经过 的路径长为 ， 的面积是 ，则下列能大致反映 与 的函数关系的图象是 ． B． ． D． 【解答】解：点 沿 运动， 的面积逐渐变大； 点 沿 移动， 的面积不变； 点 沿 的路径移动， 的面积逐渐减小． 故选：

动点引起的角度问题 【一题多解 · 典例剖析】 【角度等于具体度数】 例题1（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点的对应点恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M 使得 ，则点M 的坐标 为_________． 【答】（ ，1） 【解析】解：如图，过点作E⊥y 轴于E，过点M 作MF⊥x 轴， 由题意可知：∠B=∠D=∠MF=30°，E=1， 练习1．（2021·辽宁丹东中考）如图，已知点 ，点 ，直线 过点 B 交y 轴于点，交x 轴于点D，抛物线 经过点、、D，连接 、 ． （1）求抛物线的表达式； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）E 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点E 的坐标 【答】（1） ；（2）△B 为直角三角形，∠B=90°；（3）E（ ， ） 【解析】解：（1）直线y=2x+m 过点B 交y 轴于点， 将B（-5 ， ∴F=4，=3 ∴F（-11,4） 练习2．（2021·四川省内江市中考）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直线与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标． 【答】（1）y= x2+x+3，直线l 的解析式为y= x+1；（2）（0， ）或（0，-9）． 【解析】解：（1）将（-2

15 因动点产生的面积问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年达州市中考第24 题 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋过点(－1, 0)、B(3, 0)、(0, 3)． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 是直线B 上方抛物线上一点，求出△PB 的最大面积及此时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平 面内一点，是否存在以B 为边，点B、、M、为顶点的四 边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在， 请说明理由． 图1 例 2023 年安徽省中考第23 题 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线y＝x2＋bx（≠0）经过点(3, 3)，对称轴 为直线x＝2． （1）求、b 的值； （2）已知点B、在抛物线上，点B （2）已知点B、在抛物线上，点B 的横坐标为t，点的横坐标为t＋1，过点B 作x 轴 的垂线交直线于点D，过点作x 轴的垂线交直线于点E． （）当0＜t＜2 时，求△BD 与△E 的面积之和； （）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B、、D、E 为顶点的四边形的面积 为 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；如不存在，请说明理由． 例 2023 年十堰市中考第25 题 已知抛物线y＝x2＋bx＋8

几何探究动点问题 1、如图，四边形BD 中，D B ∥，∠=90°，D=1 厘米，B=3 厘米，B=5 厘米，动点P 从点B 出发以1 厘米/秒的速度 沿B 方向运动，动点Q 从点出发以2 厘米/秒的速度沿D 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点Q 到达点D 时停止 运动，点P 也随之停止，设运动时间为t 秒（t＞0）． （1）求线段D 的长； （2）t 为何值时，线段PQ 将四边形BD 两部分？ （3）伴随P，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l． ① t 为何值时，l 经过点？ ②求当l 经过点D 时t 的值，并求出此时刻线段PQ 的长． 解：（1）如答图 过点D 作DE⊥B 于点E ∵ D // B， ∴ 四边形BED 是矩形 ∴ , ∴ , 在RT△DE 中，∵ ∴ 厘米 （2）如答图，∵ 点P 的速度为1 厘米/秒，点Q 的速度为2 厘米/秒，运动时间为t 厘米/秒，运动时间为t 秒， ∴ 厘米， 厘米， 厘米， 厘米 且 过点Q 作Q⊥B 于点 ∴ ED // Q ∴ ∵ ∴ △DE∽△Q ∴ ∴ ∴ ∴ ， S 四边形BD 分两种情况讨论： ① 当S△PQ:：S 四边形BD =1：3 时， ， ， ， （舍） ② 当S△PQ:：S 四边形BD =2：3 时， ， ∵ ∴ 方程无解 ∴ 当t 为 秒时，线段PQ

数轴中的动点问题 数轴动点问题本学期必考压轴题型，是高分考生必须要攻克的一块内容，对考生的综合素 养要求较高。 【解题技巧】数轴动点问题主要步骤： ①画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； ②写点——写出所有点表示的数：一般用含有t 的代数式表示，向右运动用“+”表示，向 左运动用“-”表示； ③表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； ④列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动。 题型1 单动点问题 例1（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知，B（B 在的左侧）是数轴上的两点，点 对应的数为8，且B＝12，动点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动， 在点P 的运动过程中，M，始终为P，BP 的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论 中正确的有（ ） ①B 对应的数是－4；②点P 到达点B 时，t＝6；③BP＝2 时，t＝5；④在点P 的运动过程 中，线段M 的长度不变 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点 P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，由题意求出P 的长，再利用路程除以速度即可；④ 分两种情况，点P 在点B 的右侧，点P 在点B 的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．

轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数． （一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 点表示的整数有___________ 解：∵P+PB＝5， ∴点P 在，B 两点之间，，B 两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1， 变式训练 【变式1-1】．如图，点为原点，、B 为数轴上两点，B＝15，且＝2B，点P 从点B 开始以 每秒4 个单位的速度向右运动，当点P 开始运动时，点、B 开始运动时，点、B 分别以每秒5 个单位和每秒 2 个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t 秒，若3P+2P﹣mBP 的值在某段时间内 不随着t 的变化而变化，则m＝ 25 或 55 ． 解：∵B＝15，＝2B， ∴＝ B＝10，B＝ B＝5， ∴点对应数为﹣10，B 点对应数为5， 设经过t 秒，则P＝ ＝ ，P＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，

18 因动点产生的线段和差问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例15 2023 年张家界市中考第23 题 如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋的图像与x 轴交于点(－2, 0)和点 B(6, 0)，与y 轴交于点(0, 6)．点D 为线段B 上一动点． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，求△D 周长的最小值； （3）如图2，过动点D （3）如图2，过动点D 作DP//交抛物线第一象限部分于点P，连结P、PB，记 △PD 与△PBD 的面积和为S，当S 取得最大值时，求点P 的坐标，并求出此时S 的最大值． 图1 图2 例 2023 年枣庄市中考第23 题 如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋经过(－1, 0)、(0, 3)两点，并交x 轴于另一点B，点M 是抛物线的顶点，直线M 是抛物线的顶点，直线M 与y 轴交于点D． （1）求该抛物线的表达式； （2）若点是x 轴上一动点，分别连接M、D，求M＋ D 的最小值； （3）若点P 是抛物线上一动点，问在对称轴上是否 存在点Q，使得以D，M，P，Q 为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标； 若不存在，请说明理由．

几何动点与变换综合性问题 【真题再现】 1．（2020 年淮安第26 题）[初步尝试] （1）如图①，在三角形纸片B 中，∠B＝90°，将△B 折叠，使点B 与点重合，折痕为 M，则M 与BM 的数量关系为 M ＝ BM ； [思考说理] （2）如图②，在三角形纸片B 中，＝B＝6，B＝10，将△B 折叠，使点B 与点重合，折 痕为M，求AM [拓展延伸] （3）如图③，在三角形纸片B 中，B＝9，B＝6，∠B＝2∠，将△B 沿过顶点的直线折叠， 使点B 落在边上的点B′处，折痕为M． ①求线段的长； ②若点是边的中点，点P 为线段B′上的一个动点，将△PM 沿PM 折叠得到△′PM，点的 对应点为点′，′M 与P 交于点F，求PF MF 的取值范围． 【分析】（1）利用平行线的方向的定理解决问题即可． （2）利用相似三角形的性质求出BM，M ，由此即可解决问题． ②证明△PF′∽△MF，推出PF FM = PA ' CM ，因为M＝5，推出PF FM = PA ' 5 即可解决问题． 【解析】（1）如图①中， ∵△B 折叠，使点B 与点重合，折痕为M， ∴M 垂直平分线段B， ∴＝B， ∵∠MB＝∠B＝90°， ∴M∥， ∵＝B， ∴M＝BM． 故答为M＝BM． （2）如图②中， ∵＝B＝6， ∴∠＝∠B，

轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数． （一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 点表示的整数有___________ 解：∵P+PB＝5， ∴点P 在，B 两点之间，，B 两点之间的整数有﹣2，﹣1，0，1， 变式训练 【变式1-1】．如图，点为原点，、B 为数轴上两点，B＝15，且＝2B，点P 从点B 开始以 每秒4 个单位的速度向右运动，当点P 开始运动时，点、B 开始运动时，点、B 分别以每秒5 个单位和每秒 2 个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t 秒，若3P+2P﹣mBP 的值在某段时间内 不随着t 的变化而变化，则m＝ 25 或 55 ． 解：∵B＝15，＝2B， ∴＝ B＝10，B＝ B＝5， ∴点对应数为﹣10，B 点对应数为5， 设经过t 秒，则P＝ ＝ ，P＝5+4t，BP＝5+4t﹣（5+2t）＝2t，

轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数． （一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 点表示的整数有___________ 变式训练 【变式1-1】．如图，点为原点，、B 为数轴上两点，B＝15，且＝2B，点P 从点B 开始以 每秒4 个单位的速度向右运动，当点P 开始运动时，点、B 分别以每秒5 个单位和每秒 2 个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t ． 【变式1-2】．已知数轴上两点、B 对应的数分别是6，﹣8，M、、P 为数轴上三个动点， 点M 从点出发，速度为每秒2 个单位，点从点B 出发，速度为M 点的3 倍，点P 从原 点出发，速度为每秒1 个单位． （1）若点M 向右运动，同时点向左运动，求多长时间点M 与点相距46 个单位？ （2）若点M、、P 同时都向右运动，求多长时间点P 到点M，的距离相等？ （3）当时间t