年六升七数学衔接期因式分解分组分解法应用试卷及答案 一、单项选择题 1. 将多项式\(x^2 + 3x + 2x + 6\) 分组后因式分解，结果正确的 是： A. \((x+3)(x+2)\) B. \((x+1)(x+6)\) C. \(x(x+6)\) D. \((x+2)^2\) 2. 多项式\(2a^2 + 4a + 3a + 6\) 使用分组分解法，因式分解后 D. \(2a(a+2)+3(a+2)\) 3. 下列哪个多项式适合用分组分解法进行因式分解？ A. \(x^2 - 4\) B. \(3x^3 + 6x^2 - x - 2\) C. \(4y^2 + 9\) D. \(z^2 + 5z + 6\) 4. 将\(3x^2 + 6x + x + 2\) 分组，得到的第一步是： A. \((3x^2 + 6x) + (x + 2)\) 2)\) 5. 多项式\(m^2 - m + n - mn\) 使用分组分解法后，结果为： A. \((m-1)(m+n)\) B. \((m-1)(1-n)\) C. \(m(m-1) - n(1-m)\) D. \((m-1)(1+n)\) 6. 对于\(4b^2 + 8b + b + 2\)，分组分解法的正确结果是： A. \((4b+1)(b+2)\) B. \((2b+1)(2b+2)\)

2025 年六升七数学衔接期因式分解分组分解法入门试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共20 分） 1. 将多项式\(2ax + 4ay + 3bx + 6by\) 分组后，正确的分解方式 是（） A. \((2ax + 3bx) + (4ay + 6by)\) B. \((2ax + 4ay) + (3bx + 6by)\) C. \(2a(x + 2y) 2nx\) 分组分解，第一步应分为（） A. \((5m + mx) + (-10n - 2nx)\) B. \((5m - 10n) + (mx - 2nx)\) C. \(5(m - 2n) + x(m - 2n)\) D. \((5 + x)(m - 2n)\) 3. 多项式\(ab + ac - b^2 - bc\) 分组后提取公因式的结果是（） 4x - 8y\) 按前两项与后两项分组，可提取的 公因式是（） A. \(3x\) 和\(-4\) B. \(3x\) 和\(4\) C. \(3x(x + 2y)\) 和\(-4(x + 2y)\) D. \(x(3x + 6y)\) 和\(-4(x + 2y)\) 5. 下列分组方式中，能直接提取公因式的是（）

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 （2） . 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等 2．（2023·海南·校联考模拟预测）已知数列 为单调递增的等比数列，且 ， ． (1)求数列 的通项公式； (2)若 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的性质计算即可； （2）分组求和即可. 【详解】（1） 数列 为等比数列， ， ． 设 的公比为 ， 则 ， ， ，解得 或 ． 由 单调递增，得 ， 故 ． （2）由上可知， ， ． 3．（2023·福建厦门·统考模拟预测）已知数列

题型17 手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 技法04 奇偶并项的应用及解题技巧 技法05 周期与类周期的综合应用及解题技巧 分组求和是把数列分为两组求和，一般为等差+等比，此类题型较简单，利用公式求和即可，也是高考中 的常考考点，需强加练习 所以 的前 项和 . 1．（2023·黑龙江大庆·统考二模）设数列 是首项为1，公差为d 的等差数列，且 ， ， 是等

题型25 8 类排列组合与4 类二项式定理解题技巧 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环 排、涂色解题技巧 知识迁移 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列， 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定 要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分 组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要 除以全排列数． 隔板法 将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有 种。解决此类问题 常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02

题型25 8 类排列组合与4 类二项式定理解题技巧 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环 排、涂色解题技巧 知识迁移 求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列， 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定 要除以A(n 为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分 组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． ． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要 除以全排列数． 隔板法 将 个相同元素放入 个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有 种。解决此类问题 常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这 技法01 捆绑、插空、特殊元素（位置）、隔板、定序倍缩、分组分配、直排环排、涂色解题技巧 技法02

【加试题】（10分） （1）实验思路 ① 取试管9只，进行编号。 ②实验分组： 表：不同染色剂鉴别不同细胞悬液的实验分组 染色剂甲 染色剂乙 染色剂丙 细胞悬液 A 1.A+甲 2.A+乙 3.A+丙 细胞悬液 B 4.B+甲 5.B+乙 6.B+丙 细胞悬液 C 7.C+甲 8.C+乙 9.C+丙 ③按上述分组，在各试管中分别加入等量细胞悬液和染色剂溶液，摇 匀。 ④一 ④一段时间后，制作装片，显微镜下观察各试管中细胞的颜色，并记 录。 （2）预测实验结果与结论 ①若某瓶细胞悬液的分组试管中只有一支显色，则说明该瓶有一种细 胞。 ②若某瓶细胞悬液的分组试管中只有两支显色，则说明该瓶有两种细 胞。 ③若某瓶细胞悬液的分组试管中三支均显色，则说明该瓶有三种细胞。

分，共10 题） 1. 哪些图形有四个边？ A. 三角形B. 正方形C. 长方形D. 圆形 2. 计数图形的方法包括？ A. 点数B. 分组C. 测量重量D. 忽略 3. 图形计数易出错的情况是？ A. 图形重叠B. 图形大小不一C. 图形颜色相同D. 没有错误 4. 一个正方形可以是？ 在组合图形中计数正方形，可能包括？ A. 小正方形B. 大正方形C. 长方形D. 三角形 10. 选择错误计数方法，例如？ A. 用重量计数B. 用颜色分组C. 点数D. 分组 三、判断题（每题2 分，共10 题） 1. 所有三角形都有三个边。（） 2. 一个长方形有四个角。（） 3. 圆形有直边。（） 4. 点数法是图形计数最准确的方法。（） 一年级学生不会在图形计数上出错。（） 四、简答题（每题5 分，共4 题） 1. 描述如何准确计数一个图形中的三角形数量。 2. 解释为什么在组合图形中容易漏掉小图形。 3. 比较点数法和分组法的区别。 4. 举例说明选择错误计数方法如何导致计数错误。 答案： 一、1.B 2.B 3.A 4.C 5.B 6.C 7.B 8.B 9.A 10.A 二、1.BC 2.AB 3.AB

情况讨论是解答本题的关键． 课后训练 1．因式分解： ． 【答】 【分析】根据多项式特点，进行分组，两次运用公式法分解因式即可 【详解】解： 故答为： 【点睛】本题无法直接提公因式或运用乘法公式进行分解因式，结合式子特点，对多项式 分组，两次运用公式法进行分解，要注意符号问题，正确分组是解题关键 2．如果 为完全平方数，则正整数为 ． 【答】2 或14 或11 【分析】分情况讨论，分别设 【点睛】本题考查了完全平方式的形式，掌握完全平方式的形式是解题的关键． 3．分解因式： ． 【答】 【分析】先分组，然后再运用提取公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】解： = = = = ． 故答为 ． 【点睛】本题考查了运用分组法、提取公因式法、公式法因式分解，对原式正确的分组是 正确解答本题的关键． 4．分解因式： (1) (2) (3) (4) 【答】(1) (2) 【详解】解：依题意，三次四项式 分解因式后有一个因式是 ， ∴ 时，原式 ∴ ， ∵ ∴另一个因式为 【点睛】本题考查了因式分解的意义，解题时要根据分组分解法、提公因式法、公式法分 解因式，难点是采用两两分组还是三一分组，要考虑分组后还能进行下一步分解，注意分 解因式要彻底，直到不能再分解为止． 6．对任意一个三位数m，如果其个位上的数字与百位上的数字之和等于十位上的数字，则 称m

需满足第一排中的数越来越大，第二排中的数越来越小．例如，轩轩将“1，2，3，4” 进行如下分组： 第一列 第二列 第一排 1 2 第二排 4 3 然后把每列两个数的差的绝对值进行相加，定义为该分组方式的“M 值”． 例如，以上分组方式的“M 值”为M＝|1 4|+|2 3| ﹣ ﹣＝4． （1）另写出“1，2，3，4”的一种分组方式，并计算相应的“M 值”； （2）将4 个自然数“，6，7，8”按照题目要求分为两排，使其“M 【分析】（1）按要求分组，利用分组方式的“M 值”的意义计算即可； （2）利用分类讨论的方法，分0＜＜6 和＞8 两种情况解答，按要求分组，利用分组方 式的“M 值”的意义计算即可； （3）利用分类讨论的方法，分＜﹣5，﹣5＜＜﹣2，﹣2＜＜1，1＜d＜2 四种情况解答， 按要求分组，利用分组方式的“M 值”的意义计算即可． 【解答】解：（1）将“1，2，3，4”进行如下分组： ∴以上分组方式的“M 4|+|3 2| ﹣ ﹣＝4； （2）①当0＜＜6 时， 将4 个自然数“，6，7，8”按照题目要求进行如下分组： 1 ∵以上分组方式的“M 值”为6， | 8|+|7 6| ∴﹣ ﹣＝6． ∴＝3； ②当＜8 时， 将4 个自然数“，6，7，8”按照题目要求进行如下分组： ∵以上分组方式的“M 值”为6， | 6|+|7 8| ∴﹣ ﹣＝6． ∴＝11； 综上，＝3 或11． 故答为：3