#一秒钟反转的亲情 单元楼门口遇到一对母子，男孩初中生模样，两人并肩走， 听见妈妈轻声说：“怎么才能和你有共同话题，我又不会打游戏。 男生投来感动的表情，瞬间反转 男孩：你给我游戏里充点钱就好了。

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点动型 类型一：单动点 【例1】如图，点 是菱形 边上的一动点，它从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ，设 的面积为 ， 点的运动时间为 ，则 关于 的函数图象大致为 ． B． ． D． 【解答】解：分三种情况： ①当 在 边上时，如图1， 设菱形的高为 ， ， 随 的增大而增大， 不变， 随 的增大而增大， 故选项 和 不正确； ②当 在边 上时，如图2， ， 和 的增大而减小， 点从点 出发沿在 路径匀速运动到点 ， 在三条线段上运动的时间相同， 故选项 正确； 故选： ． 【变式训练1】如图，正方形 的边长为4， 为正方形边上一动点，运动路线是 ， 设 点经过的路程为 ，以点 、 、 为顶点的三角形的面积是 ，则下列图象能大致反映 与 的 函数关系的是 ． B． ． D． 【解答】解：当点 由点 向点 运动，即 时， ； 当点 在 上运动，即 上运动，即 时， ，是一个定值； 当点 在 上运动，即 时， 随 的增大而减小． 故选： ． 【变式训练2】如图，点 是长方形 边上一动点，沿 的路径移动，设 点经过 的路径长为 ， 的面积是 ，则下列能大致反映 与 的函数关系的图象是 ． B． ． D． 【解答】解：点 沿 运动， 的面积逐渐变大； 点 沿 移动， 的面积不变； 点 沿 的路径移动， 的面积逐渐减小． 故选：

场景一：女主在家，对男主撒娇 女主（鼓着腮帮子）老公，我想吃甜品！ 男主（无奈地说）好好，给你去买 几分钟后 男主（把手放后面）我给你买回甜品了 女主（兴奋地喊道）快给我看，买了一点点还是。。 男主（从手上拿出一袋白砂糖）不止一点点哦，呐，那么多呢 女主（生气的甩过头去）我要跟你分手

动点引起的角度问题 【一题多解 · 典例剖析】 【角度等于具体度数】 例题1（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中， 斜边上的高为1， ，将 绕原点顺时针旋转 得到 ，点的对应点恰好在函数 的图象上，若在 的图象上另有一点M 使得 ，则点M 的坐标 为_________． 【答】（ ，1） 【解析】解：如图，过点作E⊥y 轴于E，过点M 作MF⊥x 轴， 由题意可知：∠B=∠D=∠MF=30°，E=1， 练习1．（2021·辽宁丹东中考）如图，已知点 ，点 ，直线 过点 B 交y 轴于点，交x 轴于点D，抛物线 经过点、、D，连接 、 ． （1）求抛物线的表达式； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）E 为直线 上方的抛物线上一点，且 ，求点E 的坐标 【答】（1） ；（2）△B 为直角三角形，∠B=90°；（3）E（ ， ） 【解析】解：（1）直线y=2x+m 过点B 交y 轴于点， 将B（-5 ， ∴F=4，=3 ∴F（-11,4） 练习2．（2021·四川省内江市中考）如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于点 ．直线与抛物线交于 、 两点，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ． （1）求抛物线的解析式与直线的解析式； （2）若点 是 轴上的点，且 ，求点 的坐标． 【答】（1）y= x2+x+3，直线l 的解析式为y= x+1；（2）（0， ）或（0，-9）． 【解析】解：（1）将（-2

类导数大题综合 （证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （2）设函数 ．证明: ． （1） （2）（2）[方法一]：转化为有分母的函数 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ． （ⅱ）当 时， ，同理可证得 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 【答案】(1)a= ；增区间为 ，减区间为 ．(2)证明见解析. 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用 ，求得a= ，从而确定出函数的解析式，再解不等

（证明不等式、恒成立、有解、零点、方程的根、双变量、隐零点、 极值点偏移） 技法01 利用导数证明不等式 例1．（2021·全国·统考高考真题）设函数 ，已知 是函数 的极值点． （1）求a； （2）设函数 ．证明: ． 技法01 利用导数证明不等式 技法02 利用导数研究恒成立问题 技法03 利用导数研究能成立（有解）问题 技法04 利用导数研究函数的零点问题 技法05 利用导数研究方程的根 利用导数研究方程的根 技法06 利用导数研究双变量问题 技法07 导数中的隐零点问题 技法08 导数中的极值点偏移问题 不等式是数学中的一个重要概念，而导数作为一种重要的数学工具，在不等式证明中发挥着非常关键的作 用。通过构造函数、利用导数的单调性等知识，我们可以更加便捷、快速地证明不等式，此类题型难度中 等，是高考中的常考考点，需强加练习 （1） （2）（2）[方法一]：转化为有分母的函数 ，所以 ． （ⅰ）当 时， ，所以 ，即 ，所以 ． （ⅱ）当 时， ，同理可证得 ． 综合（ⅰ）（ⅱ）得，当 且 时， ，即 ． 1．（全国·高考真题）已知函数 ． （1）设 是 的极值点．求 ，并求 的单调区间； （2）证明：当 时， ． 2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； (2)证明：当 ，且 时， ． 3．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数

15 因动点产生的面积问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年达州市中考第24 题 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋过点(－1, 0)、B(3, 0)、(0, 3)． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 是直线B 上方抛物线上一点，求出△PB 的最大面积及此时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平 面内一点，是否存在以B 为边，点B、、M、为顶点的四 边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在， 请说明理由． 图1 例 2023 年安徽省中考第23 题 在平面直角坐标系中，点是坐标原点，抛物线y＝x2＋bx（≠0）经过点(3, 3)，对称轴 为直线x＝2． （1）求、b 的值； （2）已知点B、在抛物线上，点B （2）已知点B、在抛物线上，点B 的横坐标为t，点的横坐标为t＋1，过点B 作x 轴 的垂线交直线于点D，过点作x 轴的垂线交直线于点E． （）当0＜t＜2 时，求△BD 与△E 的面积之和； （）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B、、D、E 为顶点的四边形的面积 为 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；如不存在，请说明理由． 例 2023 年十堰市中考第25 题 已知抛物线y＝x2＋bx＋8

费马点求最小值 内容导航 方法点拨 P Q E A B C Q P A B C E △P≌△QE，且△PQ 为等边三角形， ∴P=QE，P=PQ ∴P+BP+P=BP+PQ+QE 当B、P、Q、E 共线时，P+BP+P 和最小 例题演练 题组 1 ：费马点在三角形中运用 例1．如图，在△B 中，P 中，P 为平面内一点，连结P，PB，P，分别以P 和为一边向右作等边三角形 △PM 和△D． 【探究】求证：PM＝P，MD＝P 【应用】若B＝，＝b，∠B＝60°，则P+PB+P 的最小值是 （用，b 表示） 【解答】【探究】证明：∵以P 和为一边向右作等边三角形△PM 和△D， ∴PM＝P，＝D，P＝M，∠PM＝∠D＝60°， ∴∠P＝∠MD， 在△P 和△DM 中，B＝2，将△B 绕点B 顺时针旋转60°得到△′B′′，则′＝ ； 问题探究 （2）如图②，在△B 中，B＝B＝3，∠B＝30°，点P 为△B 内一点，连接P、PB、P，求P+PB+P 的最小值，并说明理由； 问题解决 （3）如图③，在四边形BD 中，D∥B，B＝6，D＝4，∠B＝∠BD＝60°．在四边形BD 内部有一点， 满足∠PD＝120°，连接BP、P，点Q 为△BP

几何探究动点问题 1、如图，四边形BD 中，D B ∥，∠=90°，D=1 厘米，B=3 厘米，B=5 厘米，动点P 从点B 出发以1 厘米/秒的速度 沿B 方向运动，动点Q 从点出发以2 厘米/秒的速度沿D 方向运动，P，Q 两点同时出发，当点Q 到达点D 时停止 运动，点P 也随之停止，设运动时间为t 秒（t＞0）． （1）求线段D 的长； （2）t 为何值时，线段PQ 将四边形BD 两部分？ （3）伴随P，Q 两点的运动，线段PQ 的垂直平分线为l． ① t 为何值时，l 经过点？ ②求当l 经过点D 时t 的值，并求出此时刻线段PQ 的长． 解：（1）如答图 过点D 作DE⊥B 于点E ∵ D // B， ∴ 四边形BED 是矩形 ∴ , ∴ , 在RT△DE 中，∵ ∴ 厘米 （2）如答图，∵ 点P 的速度为1 厘米/秒，点Q 的速度为2 厘米/秒，运动时间为t 厘米/秒，运动时间为t 秒， ∴ 厘米， 厘米， 厘米， 厘米 且 过点Q 作Q⊥B 于点 ∴ ED // Q ∴ ∵ ∴ △DE∽△Q ∴ ∴ ∴ ∴ ， S 四边形BD 分两种情况讨论： ① 当S△PQ:：S 四边形BD =1：3 时， ， ， ， （舍） ② 当S△PQ:：S 四边形BD =2：3 时， ， ∵ ∴ 方程无解 ∴ 当t 为 秒时，线段PQ