R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 2 ﹣BD•B•s∠DB ＝300+1200 2×10 ﹣ ×20 × ＝900， ∴D＝30（海里），则需要的时间t＝ ＝1（小时）． 答：救援船到达D 点需要1 变式训练 【变式2-1】．在四边形BD 中，B＝B＝D＝26，D＝30 ，，BD 交于点，∠B＝60°．求 S 四边形BD＝ 506 ． 解：设B＝x，＝y，＝，D＝b， 由余弦定理，得 ． 由（③+④）﹣（①+②）得：x+by+b+xy＝2024． 所以S 四边形BD＝ xys60°+ xs120°+ bs60°+ bys60°＝ xy+ x+ b+ by＝ （x+by+b+xy），

R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 2 ﹣BD•B•s∠DB ＝300+1200 2×10 ﹣ ×20 × ＝900， ∴D＝30（海里），则需要的时间t＝ ＝1（小时）． 答：救援船到达D 点需要1 变式训练 【变式2-1】．在四边形BD 中，B＝B＝D＝26，D＝30 ，，BD 交于点，∠B＝60°．求 S 四边形BD＝ 506 ． 解：设B＝x，＝y，＝，D＝b， 由余弦定理，得 ． 由（③+④）﹣（①+②）得：x+by+b+xy＝2024． 所以S 四边形BD＝ xys60°+ xs120°+ bs60°+ bys60°＝ xy+ x+ b+ by＝ （x+by+b+xy），

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 17．在△B 中，s＝ ，sB＝ ，s＝ ，我们称为余弦定理， 请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题： （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 17．在△B 中，s＝ ，sB＝ ，s＝ ，我们称为余弦定理， 请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题： （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 ） A． B． C． D． 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交双曲线的右支于 、 两点．点 满足 ，且 ，者 ， 则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示，取线段 的中点 ，连接 ， 用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 A． B． C． D． 不妨设 在第一象限，由题意， 的横坐标为， 令 ，解得 ，即 . 设 ，又 ， ， ， 由 可得： ，解得 ， 又 在椭圆上，即 ， 整理得 ，解得 . 故选：A 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交双曲线的右支于 、 两点．点 满足 ，且 ，者 ， 则双曲线的离心率是（

延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 与△ACD 中，分别使 用余弦定理，解方程组可求出 或 ，依题意排除 ，利用余弦定理即可求出 . 【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ①， 由已知得： ②， 由①②联立得： ， 因为 ，所以 ． 故AB，AD，AC 成等比数列； （2）在△ABC 中，记A，B，C 的对边分别为a，b，c， 故 ，由（1）知： ③， 在△ABD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， 即 ④， 在△ACD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， ⑤， 由⑤＋④×2 整理得： ⑥， 由③⑥联立整理得： ， 解得： 或 ， 当 时，由 可求得 ，所以 故舍去， 当 时，由 可求得 ，满足 ， 在△ABC 中，由余弦定理得 综上： 2．（2023·全国·模拟预测）在 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c， ，点D 是边BC 上的一点，且 ． (1)求证： ；

中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，若 ，则 必为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理即可判断三角形形状. 【详解】由余弦定理，得 ，因为 ，所以 ，所以 为 钝角三角形． 故选：A 7. 在平行四边形 中，E 为 上一点， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 所以 ． 故选:D. 8. 在 中，已知 ， ， ，则 （ ） A. 16 B. 9 C. －9 D. －16 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理求出 ，再由数量积的定义及诱导公式计算可得； 【详解】解：由余弦定理，可得 ， 所以 ． 故选：C． 9. 如图，飞机飞行的航线 和地面目标 在同一铅直平面内，在 处测得目标 的俯角为 ，飞行10 千米到达 处，测得目标 的俯角为 个正三角形），则图3 中最小的正三角形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用余弦定理得到边长之间的关系，进而可求出最小正三角形的边长，然后利用面积公式即得． 【详解】设最大正三角形的边长为 ，则 ，其内部迭代出的正三角形的边长分别为 ， 由余弦定理得 ， 同理得 ， ∴ ， ∴最小的正三角形的面积 ． 故选：C． 二、填空题：本题共4 小题. 13

【分析】法一：利用全等三角形的证明方法依次证得 ， ，从而得到 7/22 ，再在 中利用余弦定理求得 ，从而求得 ，由此在 中利用余弦定理与三 角形面积公式即可得解； 法二：先在 中利用余弦定理求得 ， ，从而求得 ，再利用 空间向量的数量积运算与余弦定理得到关于 的方程组，从而求得 ，由此在 中 利用余弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】法一： 连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图， 又 ， ，所以 ，则 ， 又 ， ，所以 ，则 ， 在 中， ， 则由余弦定理可得 ， 故 ，则 ， 故在 中， ， 所以 ， 7/22 又 ，所以 ，所以 的面积为 . 法二： 8/22 连结 交于 ，连结 ，则 为 的中点，如图， 因为底面 为正方形， ，所以 ， 在 中， ， 则由余弦定理可得 ，故 ， 所以 ，则 ， 不妨记 ， 因为 ，所以 ， 即 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出 的面积，即可得到点 的坐标，从而得出 的 值； 方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，再结合中线的向量公式以及数量积 即可求出； 方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出 ，即可根据中线定理求出． 【详解】方法一：设 ，所以 ， 由 ，解得： ， 由椭圆方程可知， ， 所以， ，解得： ， 即 ，因此 ．

的内切圆面积为 D． 边上的中线长度为 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理和余弦定理可知 ，满足 ，即A 正确；根据海伦公式可得 ， 所以周长为 ，故B 错误；由等面积法可知内切圆的半径 ，可知C 正确，由利用余弦定理可得 边上的中线长度为 ，即D 正确. 【详解】对于A，由正弦定理可知 ， 设 ， ， ， 由余弦定理可得 ， 所以 ， ，故角A，B，C 构成等差数列，故A 正确； 对于B，根据海伦公式得 从而求得角 ；（2）根据三角形的面积 和角 的值求得 ，由余弦定理求得边 得到 的周长. 试题解析：（1）由已知可得 （2） 又 ， 的周长为 考点：正余弦定理解三角形. 3．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ． (1)求 ； (2)若 ，求 面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理即可解出； （2）由（1）可知，只需求出 即可得 【分析】由正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式化简 , 由 的范围特殊角的三 角函数值求出 ，代入三角形的面积公式列出方程，利用余弦定理列出方程， 变形后整体代入求出的值. 【详解】由 可得 在 中，由正弦定理得： 由 得， 由 得 得 ∴由余弦定理得 解得 ， 故答案为： . 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 知识迁移 角平分线定理 （1）在Δ ABC 中，AD