R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 2 ﹣BD•B•s∠DB ＝300+1200 2×10 ﹣ ×20 × ＝900， ∴D＝30（海里），则需要的时间t＝ ＝1（小时）． 答：救援船到达D 点需要1 变式训练 【变式2-1】．在四边形BD 中，B＝B＝D＝26，D＝30 ，，BD 交于点，∠B＝60°．求 S 四边形BD＝ 506 ． 解：设B＝x，＝y，＝，D＝b， 由余弦定理，得 ． 由（③+④）﹣（①+②）得：x+by+b+xy＝2024． 所以S 四边形BD＝ xys60°+ xs120°+ bs60°+ bys60°＝ xy+ x+ b+ by＝ （x+by+b+xy），

R 正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 R 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． R 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 在△DB 中，由正弦定理得 ， ∴DB＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝10 （海里）， 又∠DB＝∠DB+∠B＝30°+（90° 60° ﹣ ）＝60°，B＝20 海里， 在△DB 中，由余弦定理得 D2＝BD2+B2 2 ﹣BD•B•s∠DB ＝300+1200 2×10 ﹣ ×20 × ＝900， ∴D＝30（海里），则需要的时间t＝ ＝1（小时）． 答：救援船到达D 点需要1 变式训练 【变式2-1】．在四边形BD 中，B＝B＝D＝26，D＝30 ，，BD 交于点，∠B＝60°．求 S 四边形BD＝ 506 ． 解：设B＝x，＝y，＝，D＝b， 由余弦定理，得 ． 由（③+④）﹣（①+②）得：x+by+b+xy＝2024． 所以S 四边形BD＝ xys60°+ xs120°+ bs60°+ bys60°＝ xy+ x+ b+ by＝ （x+by+b+xy），

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 17．在△B 中，s＝ ，sB＝ ，s＝ ，我们称为余弦定理， 请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题： （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s

正弦定理：三角形B 的三边长分别为、b 、，其分别对应∠、∠B 、∠；则有 余弦定理：在△B 中，余弦定理可以表示为： 2＝b2+2 2 ﹣bs∠ b2＝2+2 2s ﹣ ∠B 2＝2+b2 2 ﹣bs∠． 正弦面积公式： S△B＝ bs＝ bs＝ sB 模型介绍 例题精讲 【例1】．如图，∠XY＝45°，一把直角三角尺△B 的两个顶点、B 分别在X，Y 上移动，其 中B＝10，则点到顶点的距离的最大值为 17．在△B 中，s＝ ，sB＝ ，s＝ ，我们称为余弦定理， 请用余弦定理完成下面的问题．请用余弦定理完成下面的问题： （1）如图，已知△DEF，∠E＝60°，DE＝4，DF＝ ，求EF 的长度； （2）通过合理的构造，试求s105°． 18．阅读：△B 中，，b，分别是∠，∠B，∠的对边，△B 的边角有如下性质： ①正弦定理： ＝ ＝ ②余弦定理：2＝b2+2 2 ﹣bs，b2＝2+2 2s

类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当 6 2tan C 2 1+tan 2 C 2 ¿ 理论上上所有公式都是万能公式。但是真正提起万能公式的时候，是指三角函数中的正切半角公式，或称 以切表弦公式 。这组公式可以将角的正弦、余弦、正切这几个三角函数统一用半角的正切值来表示，实现 ¿ 1+tan 2 A 2 tan A 2 + 3(1+tan 2 C 2 ) tan C 2 ¿ 1 tan A 2 2．（2021·全国·高三竞赛）已知 满足 ，则 的最小值是 ． 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 知识迁移 正余弦平方差公式是数学中一个重要的公式，它涉及到三角函数和代数运算，具有广泛的应用，需强加练 习 正弦平方差公式: sin 2 A−sin 2B=sin ( A+B)sin ( A−B) 余弦平方差公式: cos 2 A−sin 2B=cos ( A+B)cos (

类三角恒等变换解题技巧 （拼凑思想、升（降）幂、三倍角、半角、万能、正余弦平方差公 式） 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 知识迁移 技法01 拼凑思想的应用及解题技巧 技法02 升（降）幂公式的应用及解题技巧 技法03 三倍角公式的应用及解题技巧 技法04 半角公式的应用及解题技巧 技法05 万能公式的应用及解题技巧 技法06 正余弦平方差公式的应用及解题技巧 在三角函数求值题目当 ， 所以 . 故选：A． 2．（2023·河南·统考模拟预测）已知 则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定的条件，利用辅助角公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式计算即得. 【详解】由 ，得 ， 所以 . 故选：C 3．（2023·全国·模拟预测）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用辅助角公式及两角和差的正弦公式化简，再根据 D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数的平方关系及半角的余弦公式，再结合诱导公式即可求解. 【详解】由 ，得 ， ， ， ， 所以 . 故选：A. 3．（2023·全国·模拟预测）已知 是锐角， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倍角公式的变形求出 ， ，再由两角和的余弦公式求解. 【详解】因为 是锐角，所以 ， 因为 ， ， 所以

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） A． B． C． D． 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 的离心率为（ ） A． B． C． D． 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交双曲线的右支于 、 两点．点 满足 ，且 ，者 ， 则双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【详解】如下图所示，取线段 的中点 ，连接 ， 用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大题

题型23 6 类圆锥曲线离心率问题解题技巧 （定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程 求离心率） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 知识迁移 椭圆公式1: ，公式2: 变形 ，双曲线公式1: ，公式 例1-1．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知椭圆 的长轴长是短轴长的2 倍，则 的 离心率为（ ） 技法01 椭圆、双曲线中的定义法求离心率 技法02 焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率 技法03 斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率 技法04 定比分点求椭圆、双曲线的离心率 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 技法06 构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率 定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中 考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习 A． B． C． D． 不妨设 在第一象限，由题意， 的横坐标为， 令 ，解得 ，即 . 设 ，又 ， ， ， 由 可得： ，解得 ， 又 在椭圆上，即 ， 整理得 ，解得 . 故选：A 技法05 余弦定理求椭圆、双曲线的离心率 例5．（2023·福建宁德·校考二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，过 的直线交双曲线的右支于 、 两点．点 满足 ，且 ，者 ， 则双曲线的离心率是（

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； 与△ACD 中，分别使 用余弦定理，解方程组可求出 或 ，依题意排除 ，利用余弦定理即可求出 . 【详解】（1）在 中，由正弦定理得： ①， 由已知得： ②， 由①②联立得： ， 因为 ，所以 ． 故AB，AD，AC 成等比数列； （2）在△ABC 中，记A，B，C 的对边分别为a，b，c， 故 ，由（1）知： ③， 在△ABD 中，设 ，由已知得 ， 由余弦定理得： ， 即 ④，

题型14 4 类解三角形大题综合 （双正弦及双余弦、周长及面积类最值、边长和差、积商类最值、图 形类解三角形综合） 技法01 双正弦及双余弦模型 例1．（2023·江苏·高三专题练习）如图，在 中，角 的对边分别为 .已知 . (1)求角 ； (2)若 为线段 延长线上一点，且 ，求 . 技法01 双正弦及双余弦模型 技法02 周长及面积类最值问题 技法03 边长和差、积商类最值问题 边长和差、积商类最值问题 技法04 图形类解三角形综合 双正弦及双余弦模型是通过正余弦定理列方程组来求解相关问题，此类题型难度中等，是高考中的常考考 点，需强加练习 （1） （2）设 ，在 和 中，由正弦定理可得 于是 ，又 ， 则 ， ， ； 综上， ， . 1．（2022 秋·安徽合肥·高三统考期末）在 中，点D 在BC 上，满足AD＝BC， ． (1)求证：AB，AD，AC 成等比数列； 因为 ， 图形类解三角形综合是通过在图形中寻找正余弦定理来求解，此类题型难度中等，是高考中的常考考点， 需强加练习 所以 ， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ， 所以 . （2）已知角C 的平分线交AB 于点D，且 ， . 在 中，由正弦定理得 , 在 中，由正弦定理得 , 因为 ， ，所以 ， 所以 . 设 ，由余弦定理得 ， 即 ， 解得 ， 因为 ， 所以