上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 （1）证明：当在MD 上或在M 上时，如图， 显然∠M＞∠MD（三角形的外角大于不相邻的内角）， 当不在MD 上或在M 上时，如图， 设MD 与圆交于E 点，连接E， 则∠ME＝∠M（同弧上的圆周角相等）， 而∠ME＞∠MD， ∴∠M＞∠MD； （2）解：设过M、作圆F 与相切于点Q， 由（1）知：∠MQ 即为所求角， 作M 的垂直平分线分别交、B 于G、， 则圆心F 在G 上， 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 解：当△DB∽△D 时，∠B

上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 3．已知点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点为x 的终点的正上方竖直悬挂一幅高度 DE＝4m 的广告画．已知广告画的最低点D 到地面的距离为65m，该电梯的高B 为4m， 它所占水平地面的长为8m．小明从点B 出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视 角为∠DPE．已知小明的眼睛P 到脚底的距离PQ 为15m，电梯在竖直B 方向上的下降 速度为20m/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE 取得最大值． 11．问题背景 （1）如图（1）△B

上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 （1）证明：当在MD 上或在M 上时，如图， 显然∠M＞∠MD（三角形的外角大于不相邻的内角）， 当不在MD 上或在M 上时，如图， 设MD 与圆交于E 点，连接E， 则∠ME＝∠M（同弧上的圆周角相等）， 而∠ME＞∠MD， ∴∠M＞∠MD； （2）解：设过M、作圆F 与相切于点Q， 由（1）知：∠MQ 即为所求角， 作M 的垂直平分线分别交、B 于G、， 则圆心F 在G 上， 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 解：当△DB∽△D 时，∠B

上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 表示足球门边框（不考虑球门的高度）的两个端点，点表示射门点，连接， B，则∠B 就是射门角．在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能 性就越大．球员甲带球线路ED 与球门B 垂直，D 为垂足，点在ED 上，当∠B 最大时就 是带球线路ED 上的最佳射门角．若B＝4，BD＝1，则当球员甲在此次带球中获得最佳 射门角时D 的长度为（ ） ．2 B．3 ． D． 3．已知点、B 的坐标分别是（0，1）、（0，3），点为x 的终点的正上方竖直悬挂一幅高度 DE＝4m 的广告画．已知广告画的最低点D 到地面的距离为65m，该电梯的高B 为4m， 它所占水平地面的长为8m．小明从点B 出发，站在该电梯上观看广告画DE，其观看视 角为∠DPE．已知小明的眼睛P 到脚底的距离PQ 为15m，电梯在竖直B 方向上的下降 速度为20m/s，求当小明站在电梯上多长时间时，∠DPE 取得最大值． 11．问题背景 （1）如图（1）△B

专题15 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的 ..............................2 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................................................................2 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直）............................. ................................................................8 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）...................................................................13 ...................................

专题15 全等三角形模型之角平分线模型 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各 类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全 等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的 ..............................2 模型1 角平分线垂两边（角平分线+外垂直）.............................................................................................2 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直）............................. ................................................................5 模型3 角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等）.....................................................................7 ..................................

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考 ..........................2 模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2 模型2 双角平分线模型（一内角一外角）...................... .............................................................................8 模型3 双角平分线模型（双外角）........................................................................................................

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考 ..........................2 模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2 模型2 双角平分线模型（一内角一外角）...................... .............................................................................5 模型3 双角平分线模型（双外角）........................................................................................................

专题23 解直角三角形模型之新定义模型 解直角三角形的新定义模型，是体现选拔功能的试题中对初高中知识衔接的考查。高中数学为这类试 题的命制提供了广阔的空间背景，命题者将高中数学的一些概念、定理、法则、公式等初中化（用初中数 学知识内容包装、初中试题命制技术设置）处理，命制出具有高中数学背景味道的试题。这类试题往往对 学生思维能力和创新能力要求较高，能有效检验学生是否具备进入高中学习的潜能，所以平时学挖掘这方 【知识储备】 模型1、新定义模型 此类模型主要包含高中数学中的三角函数和解三角形的相关定理（公式），而这些定理（公式）也可 利用初中数学知识证明。 若无特殊说明，一般认为△B 的3 个角∠、∠B、∠，分别对应边、b、； 1）正弦定理：如图1， a sin A = b sin B = c sinC =2 R （其中R 是三角形外接圆的半径）。 图1 2）余弦定理：如图2， ． 3）正弦面积公式：如图2， SΔ=1 2 absinC=1 2 bcsin A=1 2 acsin B 4）同角三角函数的基本关系式: ， 。 5）和（差）、二倍角角公式： ; ; 例1．（2022·湖南·中考真题）阅读下列材料： 在 中， 、

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 合理构造辅助圆来求解。实际 上，这样的问题中隐含了几何的“最大视角”与“定角定高”模型，需要对其中的动点轨迹加以剖析，借 助圆的特性来探究最值情形。而轨迹问题是近些年中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 M O N A B C B A O N M C 【模型证明】如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角，∠B 是圆周 角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 D B A O N M C C' 在三角形’D 中， 又