专题26 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 【模型解读】 结论1：如图，点M 为△B 内任意一点，连接M、BM、M，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时， M+MB+M 的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△B 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是 最大角的 为一边向外作等边三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． ∵△BE 为等边三角形，∴B＝BE，∠BE＝60°．而∠MB＝60°，∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中，∵ ，∴△MB≌△EB（SS）． 连接M．由△MB≌△EB 知，M＝E．∵∠MB＝60°，BM＝B，∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M．∴M+BM+M＝E+M+M．∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小．

专题26 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 【模型解读】 结论1：如图，点M 为△B 内任意一点，连接M、BM、M，当M 与三个顶点连线的夹角为120°时， M+MB+M 的值最小。 注意：上述结论成立的条件是△B 的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是 最大角的 为一边向外作等边三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． ∵△BE 为等边三角形，∴B＝BE，∠BE＝60°．而∠MB＝60°，∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中，∵ ，∴△MB≌△EB（SS）． 连接M．由△MB≌△EB 知，M＝E．∵∠MB＝60°，BM＝B，∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M．∴M+BM+M＝E+M+M．∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小．

平面内一定的D 和Y上动点M 的连线中，当连线过圆心时，线段DM 有最 大值和最小值。分以下情况讨论：（设D=d，Y的半径为r） 点D 在Y外时，d＞r，如图： ①当D、M、三点共线时，线段DM 出现最值，DM 的最大值为d+r，DM 的最 小值为d-r; ②当点D 在Y上时，d=r，如图： 当D、、M 三点共线时，线段DM 有最值；DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 模型介绍 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ﹣．

专题31 圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共 圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点 共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四 点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上 ，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于 定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点、、B、、D，使得=B==D， 结论：、B、、D 四点共圆（其中圆心为）。 例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板B 的斜边 ），其中量角器0 刻度线的端点与点重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以每秒3 度的速度旋转， 与量角器的半圆弧交于点E，第20 秒时点E 在量角器上运动路径长是 ． 【答】 【分析】首先连接 ，由 ，易得点 ， ， ，共圆，然后由圆周角定理，求得点E 在量角 器上对应的读数． 【详解】解：连接 ， ∵ ，∴，B，在以点为圆心，B 为直径的圆上，∴点E，，B，共圆， ∵

平面内一定的D 和Y上动点M 的连线中，当连线过圆心时，线段DM 有最 大值和最小值。分以下情况讨论：（设D=d，Y的半径为r） 点D 在Y外时，d＞r，如图： ①当D、M、三点共线时，线段DM 出现最值，DM 的最大值为d+r，DM 的最 小值为d-r; ②当点D 在Y上时，d=r，如图： 当D、、M 三点共线时，线段DM 有最值；DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在Y内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 R 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 模型介绍 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 解：以点E 为圆心，E 长度为半径作圆，连接E，当点G 在线段E 上时，G 的长取最小 值，如图所示 根据折叠可知：GE＝E＝ B＝2． 在Rt△BE 中，BE＝ B＝2，B＝6，∠B＝90°， ∴E＝ ＝2 ， ∴G 的最小值＝E﹣GE＝2 2 ﹣．

圆中的重要模型之四点共圆模型 四点共圆是初中数学的常考知识点，近年来，特别是四点共圆判定的题目出现频率较高。相对四点共 圆性质的应用，四点共圆的判定往往难度较大，往往是填空题或选择题的压轴题，而计算题或选择中四点 共圆模型的应用（特别是最值问题），通常能简化运算或证明的步骤，使问题变得简单。本文主要介绍四 点共圆的四种重要模型。 四点共圆：若在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。 一般简称为“四点共圆”。 模型1、定点定长共圆模型（圆的定义） 【模型解读】若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于 定长点的集合。 条件：如图，平面内有五个点、、B、、D，使得=B==D， 结论：、B、、D 四点共圆（其中圆心为）。 例1．（2023 春·广东梅州·九年级校考期中）如图，量角器的直径与直角三角板B 的斜边 重合（ ），其中量角器0 ），其中量角器0 刻度线的端点与点重合，射线 从 处出发沿顺时针方向以每秒3 度的速度旋转， 与量角器的半圆弧交于点E，第20 秒时点E 在量角器上运动路径长是 ． 例2．（2021·浙江嘉兴·统考中考真题）如图，在 中， ，B==5，点 在 上，且 ，点E 是B 上的动点，连结 ，点 ，G 分别是B，DE 的中点，连接 ， ，当G=FG 时， 线段 长为（ ） ．

平面内一定的D 和上动点M 的连线中，当连线过圆心时，线段DM 有最 大值和最小值。分以下情况讨论：（设D=d，的半径为r） 点D 在外时，d＞r，如图： ①当D、M、三点共线时，线段DM 出现最值，DM 的最大值为d+r，DM 的最 小值为d-r; ②当点D 在上时，d=r，如图： 当D、、M 三点共线时，线段DM 有最值；DM 最小值为 d-r=0(即点D 与点M 重合） ③当点D 在内时，d＜r，如图 当点D、、M 三点共线时，DM 有最值；DM 最大值为d+r，DM 最小值为|d- r|=r-d; 点圆最值：平面内一定点到圆上一点的距离的最值问题 方法：求出该定点到圆心的距离d，则最大值为d+r,最小值为|d-r| 【例1】．如图，在长方形纸片BD 中，B＝4，D＝6．点E 是B 的中点，点F 是D 边上的 模型介绍 模型介绍 例题精讲 一个动点．将△EF 沿EF 所在直线翻折，得到△GEF．则G 长的最小值是（ ） ． B． ．2 D．2 变式训练 【变式1-1】如图，在平行四边形BD 中，B＝6，D＝2 ，∠＝45°，M 是D 边的中点， 是B 边上的一动点，将△M 沿M 所在直线翻折得到△′M，连接′，则′长度的最小值是 ． 【变式1-2】．如图，矩形BD 中，B＝6，B＝9，以D

专题35 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 .................................................................................................................................. .............1 模型1 费马点模型........................................................................................................................................... 1 模型2 加权费马点模型.....................

专题35 最值模型之费马点模型 费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考 试中都以中高档题为主。本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 【模型背景】皮耶·德·费马，17 世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位 不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之 贡献，除此之 外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三 个顶点距离之和最小的点。 .................................................................................................................................. .............1 模型1 费马点模型........................................................................................................................................... 1 模型2 加权费马点模型.....................

不系之舟 《庄子·列御寇》有云：“巧者劳而智者忧，无能者无所求，饱食而遨 游，泛若不系之舟，虚而遨游者也。” 不系之舟，意思是说逍遥自在的人生，如同随水流浮泛的小舟，无拘 无束。 庄子认为，真正的大德之人，顺应环境与自然，通晓世事天理，不为 结果所羁绊，尽人事而听天命。现代社会处处充满竞争，充满诱惑， 很多人因为得不到自己想要的结果，患得患失，压抑苦闷。实际上， 过多的欲望,是一切