结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD ＝DE2+B2+EP2+P2 ＝PB2+PD2， ∴P2+P2＝PB2+PD2， 2 ∴2+42＝32+PD2， ∴PD＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ 23 ． 解：∵⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠D＝∠B＝90°， ∴B2+2＝B2，2+ ∴P＝D﹣PD＝1， ∴PE＝ ＝ ， ∵点G，分别是E，FD 的中点， ∴G＝ EP＝ ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD ＝DE2+B2+EP2+P2 ＝PB2+PD2， ∴P2+P2＝PB2+PD2， 2 ∴2+42＝32+PD2， ∴PD＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ 23 ． 解：∵⊥BD， ∴∠B＝∠D＝∠D＝∠B＝90°， ∴B2+2＝B2，2+ ∴P＝D﹣PD＝1， ∴PE＝ ＝ ， ∵点G，分别是E，FD 的中点， ∴G＝ EP＝ ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B

勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 【结论】如图，四边形BD 的对角线⊥BD， 则①B²＋D²＝D²＋B2 S ② 四BD＝ 1 2 ·BD 【证明】 B² ①∵ ＝²＋b2² D²＝²＋d2² B² ∴ ＋D²＝²＋b²＋²＋d2² B² ∵ ＝2＋ d2² D²＝ b²＋2² 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形， 在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形BD 的两对角线交于点，试探究B，D，B，D 之间有怎样的数量关系？写 【分析】（1）根据菱形和正方形的对角线互相垂直、垂美四边形的概念判断即可； （2）根据线段垂直平分线的性质、垂美四边形的概念判断即可； （3）根据垂美四边形的概念、勾股定理计算，得到答； （4）证明△GB △ ≌E，进而得出E⊥BG，根据（3）的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是③菱 形，④正方形， ∴③菱形，④正方形一定是垂美四边形， 故答为：③④；

结论：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，如图所示则有：B2+D2＝D2+B2 【证明】∵⊥BD， ∴∠D＝∠B＝∠B＝∠D＝90°， 由勾股定理得： B2+D2＝2+B2+2+D2， D2+B2＝2+D2+B2+2，∴B2+D2＝D2+B2 方法点拨 ①对角线垂直的四边形对边的平方和相等； ②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形 模型介绍 【例1】．如图，在四边形BD 2的值． 【例2】．已知点P 是矩形BD 内的一点，且P＝2，PB＝3，P＝4，则PD＝ ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美” 四边形BD，对角线、BD 交于点．若D＝ ，B＝3 ，则B2+D2＝ ． 【变式2-2】．如图，在△B 中，＝3，B＝4，若，B 边上的中线BE，D 垂直相交于点，则 的中点，连接E，FD，点 G、分别是E，FD 的中点，连接G，则G 的长度为 ． 5．如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形 吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 的对角线，BD 交于点．猜想：B2+D2与D2+B2 有什么关系？并证明你的猜想． （3）解决问题：如图3，分别以Rt△B

勾股定理 模型（二十八）——垂美四边形模型 【概念】 对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 【结论】如图，四边形BD 的对角线⊥BD， 则①B²＋D²＝D²＋B2 S ② 四BD＝ 1 2 ·BD 【证明】 B ①∵²＝²＋b2² D²＝²＋d2² B ∴²＋D²＝²＋b²＋²＋d2² B ∵²＝2＋ d2² D²＝ b²＋2² 1．（2022·山西忻州·八年级期末）（1）【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四 边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______ （只填序号） （2）【概念理解】如图2，在四边形BD 中，B＝D，B＝D，问四边形BD 是垂美四边形吗？请说明理由． （3）【性质探究】如图1，垂美四边形BD 的两对角线交于点，试探究B，D，B，D 之间有怎样的数量关 系 E，BG，GE 已知＝8，B＝10，求GE 长． 1．（2021·湖南永州·八年级期末）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在下列四边形中，①正方形；②矩形；③菱形；④平行四边形．是垂美四边形的是： （填写序号）； （2）性质探究：如图1，垂美四边形BD 中，⊥BD，垂足为，试猜想：两组对边B，D 与B，D 之间的数 量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图2，分别以Rt△B

专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578 模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互 补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对 ............................................................................................2 模型1 垂美四边形模型.............................................................................................. .....42 模型1 垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S

专题09 三角形中的重要模型之垂美四边形与378、578 模型 全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就对角互 补模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对 ............................................................................................2 模型1 垂美四边形模型.............................................................................................. .....42 模型1 垂美四边形模型 垂美四边形的定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形。 图1 图2 图3 图4 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半，即S

名言金句+解析+「跨界与守界+和谐之美」 金句名言： 你的心灵常常是战场。在这个战场上，你的理性和你的热情开战。 愿我成为你们心灵的和平使者，将你们本质的一切冲突与对抗变为和谐的旋律。倘若 你们自身不是和平使者，不是钟爱自身本质的人，我又怎么可以完成呢？ 你们的理性与热情，是你们远航之魂的舵与帆。如果你们的舵或帆断了，你们就只得 在海上颠簸漂浮，或者滞留在海中央。 理性独自掌权，是一 ——让你们的心在静谧中说：“上帝憩于理性。”——纪伯伦《论理性与热情》摘录 《乌合之众：大众心理研究》是一部影响百年的经典论著，本书细致考察群体的一般 性心理特征，探讨群体的道德观、情感、想象力、信念等诸多层面，指出个人进入群体之 后容易丧失自我意识，在集体意志的压迫下成为盲目、冲动、狂热、轻信的“乌合之众” 的一员。 人一到群体中，智商就严重降低，为了获得认同，个体愿意抛弃是非，用智商去换取 主人；凡是让他们幻灭的，都会成为他们的 牺牲品。 数量，即是正义。 群体中的个人是沙中之沙，风可以随意搅动他们。 所以不要轻易地成为集体的一份子，这样很容易被别有用心的人利用，即使你以为自 己只不过是随声附和了一下而已，实际上你已经成了帮凶。 群体不善推理，却又急于行动。 ——法国 勒庞《乌合之众》摘录 知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。 ——老子 （庄子）冷眼看穿却熟肠

探索音乐之美：2025 小学音乐基础知识试卷（含答案） 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 下列哪个音符的时值最长？ A. 四分音符B. 二分音符C. 全音符D. 八分音符 2. 钢琴属于哪一类乐器？ A. 弦乐器B. 打击乐器C. 键盘乐器D. 管乐器 3. “ ” 音乐中表示强的符号是？ A. p

专题10 三角形中的重要模型-垂美四边形与378、578 模型 模型1、垂美四边形模型 规定：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形 图1 图2 图3 条件：如图1，已知四边形BD，对角线、BD 交于点，且⊥BD； 结论： 结论：①B2+D2＝D2+B2；②“垂美”四边形的面积等于对角线乘积的一半。 【变形1】 条件：如图2，在矩形BD 中，P 为D 边上有一点，连接P、BP； 结论：DP2+BP2=P2+P2 【变形2】 条件：如图3，在矩形BD 中，P 为矩形内部任意一点，连接P、BP，P，DP；结论：P2+P2=DP2+BP2 用处：①对角线垂直的四边形对边的平方和相等；②已知三边求一边的四边形，可以联想到垂美四边形。 例 例1．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的 “垂美”四边形BD，对角线、BD 交于点．若D=3，B=5，则 ____________． 【答】34 【分析】在Rt△B 和Rt△B 中，根据勾股定理得B2+2=B2，D2+2=D2，进一步得B2+2+D2+2=9+25，再根据 B2=B2+2，D2=2+D2，最后求得B2+D2=34．