有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． ∴∠D＝∠， ∵点E 是D 的中点， ∴DE＝E， 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）， ∴E＝FE，D＝F＝5， ∴BF＝B﹣F＝5， 在Rt△BF 中，F＝ ＝ ＝13， ∴E＝ F＝ ． 故选：B． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在菱形BD 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． ∴∠D＝∠， ∵点E 是D 的中点， ∴DE＝E， 在△DE 和△FE 中， ， ∴△DE≌△FE（S）， ∴E＝FE，D＝F＝5， ∴BF＝B﹣F＝5， 在Rt△BF 中，F＝ ＝ ＝13， ∴E＝ F＝ ． 故选：B． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图，在菱形BD 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（

有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半； ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一 半 在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。 模型一、双中点-中位线模型 如图，D 、E 、F 分别为△B 三边中点，连接DE 、DF 、EF ，则 ， ， ， 模型二、 单中点-倍长中线模型 模型二、 单中点-“三线合一”模型 如图，在△B 中，B＝，D 为B 的中点，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线（D 是角平分线、中线、垂线） 模型介绍 考点一：单中点-倍长中线模型 【例1】．如图，已知B＝12，B⊥B 于B，B⊥D 于，D＝5，B＝10．点E 是D 的中点，则 E 的长为（ ） ．6 B． 中，∠＝110°，E，F 分别是边B 和B 的中点，EP⊥D 于 点P，则∠FP＝（ ） ．35° B．45° ．50° D．55° 【变式1-2】．如图，在△B 中，B＝12，＝20，求B 边上中线D 的范围为 ． 例题精讲 考点二：双中点中位线模型 【例2】．如图，在△B 中，D 是B 上一点，D＝，E⊥D，垂足为点E，F 是B 的中点，若 BD＝16，则EF 的长为

中点模型知识精讲 1 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形 的“三线合一”性质来解决问题例： 已知：在△B 中，B＝，取B 的中点D，连接D，则D 平分∠B，D 是边B 上的高，D 是B 边 上的中线 【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法 2 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问 题，例： （1）如图，在Rt△B 中，D 为斜边B 的中点，连接D，则D＝D＝BD （2）如图，在Rt△B 中，B＝2B，作斜边B 上的中线D，则D＝BD＝D＝B，△BD 是等边三 角形 【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题 的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角 3 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例： 线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等， 利用等角对等边证明两条线段相等 5 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例： 如图，已知点为 边E 上一点，为B 的中点，延长至点D，使得 ，连接 D、BD，则 ， ，四边形DB 为平行四边形 6 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例： 如图，F 为△B 的中线，作BD⊥F

几何图形初步 模型（一） 线段双中点 ◎结论1：已知点在线段B 上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M+ = ∴ ∴ 1 2 + 1 2 B = 1 2 （+B）= 1 2 B ◎结论2：已知点在线段B 延长线上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B， 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 M，分别是 ，B 的中点，则M= 1 2 B 无论线段之间的和差关系如何变 ，M 的长度只与B 有关即M= 1 2 B 1（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段 ，在线段 上任取一点，其中线段 的中点为 E、线段 的中点为F．则线段 的长度是_______． 【答】 ##25m【也可根据双中点结论，直接得出结果】 【分析】先画出图形，再根据线段中点的定义可得 ，再根据

【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = B+ 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 4+2 ． 例题精讲 解：取B 的中点E，连接E，E， ∴E＝4， 在Rt△E 中，由勾股定理得， E＝ ＝ ＝2 ， ∵∠B＝90°，点E 为B 的中点， ∴E＝ B＝4， ≤ ∵E+E， ∴当点、E、共线时，最大值为4+2 ， 故答为：4+2 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，矩形BD，B＝2，B＝4，点在x 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大 距离为（ ） ． B．2 ． D． 解：如图，取D 的中点，连接，， ∵矩形BD，B＝2，B＝4， ∴D＝B＝2，D＝B＝4， ∵点是D 的中点， ∴＝D＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠D＝90°，点是D 的中点， ∴ ， 在△中，＜+， 当点在上时，＝+， ∴的最大值为 ， 故选：． 【变式1-2】．如图，∠M＝90°，已知△B

专题39 重要的几何模型之中点模型（二） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四 边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中 点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着 十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 合一”模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：直角三角形斜边中线模型 定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 如图1，若D 为 斜边上的中线，则： （1 ） ；（2 ） ， 为等腰三角形；（3 ） ， ． D C B A D 图1 图2 拓展：如图2，在由两个直角三角形组成的图中，M 为中点，则（1） ；（2） ． 模型运用条件：连斜边上的中线（出现斜边上的中点时） 例1．（2023·江苏盐城·统考中考真题）如图，在Rt 中， 为斜边 上的中线，若 ，则 ． 【答】4 【分析】根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可解决问题；

专题38 重要的几何模型之中点模型（一） 中点模型是初中数学中一类重要模型，它在不同的环境中起到的作用也不同，主要是结合三角形、四 边形、圆的运用，在各类考试中都会出现中点问题，有时甚至会出现在压轴题当中，我们不妨称之为“中 点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着 十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1：垂直平分线 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 如图，在三角形B 中，DE⊥B，且D 为B 中点，则BE=E。 模型运用条件：当遇到三角形一边垂线过这边中点时，可以考虑用垂直平分线的性质。 在 边上，连接 ，点 E 是 的中点， 交 于点F， ，若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】设 ， ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ，先证明 ，得 ，设 ， ，再在 中，根据勾股定理即 可． 【详解】解： 点E 是 的中点， ， 中， ， 交 于点F， ， 设 ， ，延长 至点 ，使 ，连接 ， ， 点E 是 的中点， ， ， ， ， ， ， ，

几何图形初步 模型（一） 线段双中点 ◎结论1：已知点在线段B 上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 2 B】 M = M+ = ∴ ∴ 1 2 + 1 2 B = 1 2 （+B）= 1 2 B ◎结论2：已知点在线段B 延长线上，点M、分别是，B 的中点，则M= 1 2 B 【证明】∵点M、分别是，B 的中点， M= ∴ 1 2 ，= 1 2 B， 【奇思妙想消消消：等号左边M，消掉共同字母,得M。 等号右边 1 2 ， 1 2 B 消掉共同字母，得 1 ，B 的中点，则M= 1 2 B 无论线段之间的和差关系如何变 ，M 的长度只与B 有关即M= 1 2 B 1（2022·山西晋城·七年级期末）已知线段 ，在线段 上任取一点，其中线段 的中点为 E、线段 的中点为F．则线段 的长度是_______． 2（2022·甘肃·凉州区中佳育才学校七年级期末）如图，是线段B 上一点，M 是的中点，是B 的中点． (1)若M=1，B=4，求M

【结论】线段B 的两端在坐标轴上滑动，∠B=90°，B 的中点为Q，连接Q，Q， 当，Q，三点共线时，取得最大值 【简证】如图在 Rt△B 中，点Q 是中点，∴Q= B 在 Rt△B 中，由勾股定理得 Q= 若要取得最大值，则 ，Q，三点共线，即 =Q+Q， 即 = B+ 【小结】梯子模型的题，关键是取两个图形的公共边的中点作为桥梁 【例1】．如图，已知，∠M＝∠B＝90°，且点在M 点在M 上运动，点B 在上运动，若B＝8，＝ 6，则的最大值为 4+2 ． 例题精讲 解：取B 的中点E，连接E，E， ∴E＝4， 在Rt△E 中，由勾股定理得， E＝ ＝ ＝2 ， ∵∠B＝90°，点E 为B 的中点， ∴E＝ B＝4， ≤ ∵E+E， ∴当点、E、共线时，最大值为4+2 ， 故答为：4+2 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，矩形BD，B＝2，B＝4，点在x 也随之在y 轴上运动，在这个运动过程中，点到原点的最大 距离为（ ） ． B．2 ． D． 解：如图，取D 的中点，连接，， ∵矩形BD，B＝2，B＝4， ∴D＝B＝2，D＝B＝4， ∵点是D 的中点， ∴＝D＝2， ∴ ＝ ＝ ， ∵∠D＝90°，点是D 的中点， ∴ ， 在△中，＜+， 当点在上时，＝+， ∴的最大值为 ， 故选：． 【变式1-2】．如图，∠M＝90°，已知△B