【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知

【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知

【结论】分类讨论： 若B＝，则点在以点为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若B＝B，则点在以点B 为圆心，线段B 的长为半径的圆上； 若＝B，则点在线段B 的垂直平分线PQ 上．以上简称“两圆一中垂”． “两圆一中垂”上的点能构成等腰三角形，但是要除去原有的点，B，还要除去因共线无法 构成三角形的点M，以及线段B 中点E(共除去5 个点)，需要注意细节 【例1】．如图，平面直角坐标系中，已知

C． D．-1 或2 4. 若圆 与圆 有三条公切线，则 的值为 A．2 B． C．4 D．6 5. 两圆交于点 和 ，两圆的圆心都在直线 上， 则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 如图所示， 分别为椭圆 的左、右焦点，点P 在椭圆上， 的面积 为 的正三角形，则 (1)求圆A 的方程． (2)当 时，求直线l 方程． 20.（本小题共12 分）已知圆 过点 ，(1,-1)， ： . (1)求圆 的标准方程； (2)求圆 与 的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程. 21.（本小题共12 分）已知直线 与圆C： 相交于点 M、N,且 （O 为坐标原点）. (1)求圆C 的标准方程； (2)若A（0,2），点P、Q 分别是直线 距离为 1 知 得 ． 所以 或 为所求直线 l 方程． 20.【答案】解： 圆 ： ； 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 即 ,所以所求公共弦长为 ； 解：由 得 代入圆 ： ，化简可得 当 时， ；当 时， 设所求圆的圆心坐标为 ，则 过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程为 21.【答案】解： 圆C： ； （2 ）点 A （0,2 ）关于直线

C． D．-1 或2 4. 若圆 与圆 有三条公切线，则 的值为 A．2 B． C．4 D．6 5. 两圆交于点 和 ，两圆的圆心都在直线 上， 则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 6. 如图所示， 分别为椭圆 的左、右焦点，点P 在椭圆上， 的面积 为 的正三角形，则 (1)求圆A 的方程． (2)当 时，求直线l 方程． 20.（本小题共12 分）已知圆 过点 ，(1,-1)， ： . (1)求圆 的标准方程； (2)求圆 与 的公共弦长； (3)求过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程. 21.（本小题共12 分）已知直线 与圆C： 相交于点 M、N,且 （O 为坐标原点）. (1)求圆C 的标准方程； (2)若A（0,2），点P、Q 分别是直线 距离为 1 知 得 ． 所以 或 为所求直线 l 方程． 20.【答案】解： 圆 ： ； 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 即 ,所以所求公共弦长为 ； 解：由 得 代入圆 ： ，化简可得 当 时， ；当 时， 设所求圆的圆心坐标为 ，则 过两圆的交点且圆心在直线 上的圆的方程为 21.【答案】解： 圆C： ； （2 ）点 A （0,2 ）关于直线

是圆x2＋y2＝9 的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A．x＋2y－5＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0 7.两圆交于点 和 ，且这两圆的圆心都在直线 上， 则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．椭圆 的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x 已知两点A(－2,0)，B(0,2),点C 是圆x2＋y2－2x＝0 上任意一点,则△ABC 面积的最小值是( ) A．3－ B．3＋ C．3－ D. 11. 两圆 与 在交点处的切线互相垂直，则R=（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 12. 设点M(x0，1),若在圆O：x2＋y2＝1 上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是 设动直线 l 方程为： 或 ，显然 符合题意． 由 到直线 l 距离为 1 知 得 ． 所以 或 为所求直线 l 方程． 20.【答案】解： 圆 ： ； 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 即 ,所以所求公共弦长为 ； 21.【答案】（1）圆C： ； （2）因为 , ∴反射光线所在直线过点 ，设反射光线所在直线方程为： ； 所以 ，

是圆x2＋y2＝9 的弦，PQ 的中点是(1,2)，则直线PQ 的方程是( ) A．x＋2y－5＝0 B．x＋2y－3＝0 C．2x－y＋4＝0 D．2x－y＝0 7.两圆交于点 和 ，且这两圆的圆心都在直线 上，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．椭圆 的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x 已知两点A(－2,0)，B(0,2),点C 是圆x2＋y2－2x＝0 上任意一点,则△ABC 面积的最小值是( ) A．3－ B．3 ＋ C．3－ D. 11. 两圆 与 在交点处的切线互相垂直，则R=（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 12. 设点M(x0，1),若在圆O：x2＋y2＝1 上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是 设动直线 l 方程为： 或 ，显然 符合题意． 由 到直线 l 距离为 1 知 得 ． 所以 或 为所求直线 l 方程． 20.【答案】解： 圆 ： ； 将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即 即 ,所以所求公共弦长为 ； 21.【答案】（1）圆C： ； （2）因为 , ∴反射光线所在直线过点 ，设反射光线所在直线方程为： ； 所以 ，

【答案】 【解析】解：圆 与圆 的圆心分别为 ， ， 半径分别为 ， ， 两圆的圆心间的距离 ， 而半径之差的绝对值 ． 半径之和 因此， 所以两圆的位置关系是相交． 故选：． 由题意可得两圆的圆心都为 ， ，半径分别为 ， ，根据圆心距和半径 之间的关系即可求解结论． 本题给出两圆的方程，求它们的位置关系．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系 等知识，属于基础题． 本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题． 7.【答案】 【解析】解：根据题意得：圆心 ， 圆心在直线 上，故存在直线 与所有圆都相交，选项 正确； 考虑两圆的位置关系， 圆：圆心 ，半径为 ， 圆 ：圆心 ，即 ，半径为 ， 两圆的圆心距 ， 两圆的半径之差 ， 任取 或时， ， 含于 之中，选项 错误； 若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项 错误； 将 代入圆的方程，则有 ，即 ，即 ， 因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项 正确． 则真命题的代号是 ． 故选：． 由已知圆心 ，由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，能判断出真命题个 数． 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属 于中档题． 8.【答案】 【解析】解：如图， 设点是点在平面 上的投影，则 ，点在直线 上，设球的半径为，

，因此，直线 与 交点P 的轨迹是以线段AB 为直径的圆， 其方程为： ，圆心 ，半径 ，而圆C 的圆心 ，半径 ， 如图： ，两圆外离，由圆的几何性质得： ， ， 所以 的取值范围是： . 故选：B 【点睛】思路点睛：判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一 般不采用代数法. 二、多选题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离可判断A，利用圆的性质可得切线长 利用点到直线的距离 可判断B，由题可得四边形AMBP 面积为 ，可判断C，由题可知点A，B，在以 为直 径的圆上，利用两圆方程可得直线AB 的方程，即可判断D. 【详解】由圆M： ，可知圆心 ，半径 ， ∴圆心 到直线l： 的距离为 ，圆M 上恰有一个点到直线l 的距离为 ， 故A 错误； 由圆的性质可得切线长 ，所以 . 故答案为：5 15. 已知 的圆心在 轴上，半径为1，且过点 ， ，则 与 的公共弦长为___________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】待定系数法求出圆 的方程，然后两圆方程相减，消去二次项可得公共弦所在直线方程，利用 可得. 【详解】根据题意设圆 的方程为 ，则有 ，解得 ，所以圆 的方程 为 ，即 ①， 将圆 化为一般方程得： ②， - ①②得公共弦所在直线l

【变式1-2】（2022•杭州模拟）现有两个圆，⊙1的半径等于篮球的半径，⊙2的半径等于 一个乒乓球的半径，现将两个圆的周长都增加1 米，则面积增加较多的圆是（ ） ．⊙1 B．⊙2 ．两圆增加的面积是相同的 D．无法确定 【变式1-3】（2022•浙江）如图，B 是⊙的直径，把B 分成几条相等的线段，以每条线段 1 为直径分别画小圆，设B＝，那么⊙的周长l＝π． 计算：（1）把B 层胶带厚15mm，则这卷胶带长 m．（π≈314，结果保留 4 位有效数字） 1 【变式7-3】（2022•张店区期末）如图，大圆和圆的半径都分别是4m 和2m，两圆外切于 点，一只蚂蚁由点开始BDEFG 的顺序沿着两圆圆周不断地爬行，其中各点分别是两圆 周的四等分点，蚂蚁直到行走2010πm 后才停下来．则这只蚂蚁停在点 ． 1