重庆市缙云教育联盟2021-2022学年高二上学期12月月考数学试题

重庆缙云教育联盟2021-2022 学年（上）12 月月度考试 高二数学 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B 铅笔涂在答题卡中 相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上 均无效，不予记分。 一、单选题（本大题共8 小题，共40.0 分） 1. 已知抛物线 上一点 到其焦点的距离为，则抛物线的标准方 程为 A. B. C. D. 2. 已知命题：“ ， ”，则它的否定为 A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 祖眶，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲 之的儿子．他在 缀术 中提出“幂势既同，则积不容异”的 结论，其中“幂”是面积，“势”是高，意思就是：夹在两个平 行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个 截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，这一原理主要应用于计算一些复 杂几何体的体积．已知某不规则几何体与如图所示的三视图所表示的几何体满足“幂 势既同”，其中半圆和扇形的半径均为，则该不规则几何体的体积为 A. B. C. D. 4. 圆 与圆 的位置关系是 A. 相交 B. 外切 C. 外离 D. 内切 5. 经过两条直线 和 的交点，且垂直于直线 的直线方程为 A. B. C. D. 6. 已知为双曲线： 的一个焦点，则点到双曲线的一条渐近线的距离为 A. B. C. D. 7. 设有一组圆 ： 下列四个命题： 存在一条定直线与所有的圆均相切； 存在一条定直线与所有的圆均相交； 存在一条定直线与所有的圆均不相交； 所有的圆均不经过原点． 其中正确的序号是 A. B. C. D. 8. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用． 球面几何中，球面两点之间最短的距离为经过这两点的大圆的劣弧长，称为测地线． 已知正三棱锥 ，侧棱长为，底面边长为，设球为其外接球，则球对应的 球面上经过，两点的测地线长为 A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4 小题，共20.0 分） 9. 已知直线： ，直线： ，则下列命题正确的是 A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 直线过定点 D. 直线过定点 10. 设 ，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A. 若 ，异面， ， ， ， ，则 B. 若 ， ， ， ，则 C. 若 ， ， ，则 D. 若 ， ， ，则 11. 如图：空间直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ， 则下列选项正确的是 A. 设点在 面内，若 的斜率与 的斜率之积为，则点的轨迹为双曲线 B. 三棱锥 的外接球表面积是 C. 设点在 平面内，若点到直线 的距离与点到直线 的距离相等，则点的 轨迹是抛物线 D. 设点 在 面内，且 ，若向量 与轴正方向同向，且 ，则 最小值为 12. 某同学利用图形计算器研究教材中一例问题“设点 ， ，直线 ， 相 交于点 ，且它们的斜率之积为 ，求点 的轨迹方程”时，将其中已知条件“斜率 之积为 ”拓展为“斜率之积为常数 ”之后，进行了如图所示的作图探究： 参考该同学的探究，下列结论正确的有 A. 时，点 的轨迹为椭圆不含与轴的交点 B. 时，点 的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点 C. 时，点 的轨迹为焦点在轴上的椭圆不含与轴的交点 D. 时，点 的轨迹为焦点在轴上的双曲线不含与轴的交点 三、单空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 空间两点 ， 中点坐标为______． 14. 已知过点 作抛物线： 的两条切线，切点为，，直线 经过抛物 线的焦点，则 ______． 15. 椭圆 内有一点 ，则以为中点的弦所在直线的斜率为______ ． 16. 在长方体 中， ， ， 为平面 内一点， ，则 ______． 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 如图，四棱锥 中， 底面 ， 底面 为直角梯形， ， ， 点在棱 上，且 ． 求证： 平面 ； 求二面角 的正弦值的大小． 18. 已知，是圆： 与轴的两个交点，且在上方． 若直线过点 ，且与圆相切，求的方程； 已知斜率为的直线 过点 ，且与圆交于 ，两点，直线 ， 相交于点 ，证明点在定直线上． 19. 如图，已知正三棱柱 中， ， ， 点为 的中点，点在 上， ． 求 与 所成角的余弦值； 求平面 与平面 夹角的余弦值． 20. 已知抛物线： 上两点 ， ，焦点为满足： ，线段 的垂直平分线过 ． 求抛物线的方程； 过点作直线，使得抛物线上恰有三个点到直线的距离都为，求直线的方程． 21. 如图，三棱锥 中， 是边长为的正三角形， ， 底面 于 点， ，且 ． 求证： 平面 ； 求二面角 的余弦值； 在棱 上是否存在点，使得 平面 ？若存在，求 的值；若不存在，说明 理由． 1. 在平面直角坐标系 中，设 为椭圆 ： 的左焦点，直线 与轴交于点， 为椭圆的左顶点，已知椭圆长轴长为，且 ． 求椭圆的标准方程； 若过点的直线与椭圆交于两点，，设直线 ， 的斜率分别为 ， ． 求证： 为定值； 求 面积的最大值． 答案和解析 1.【答案】 【解析】解：抛物线的准线： ，抛物线 上一点 到其焦点的 距离为， 点到准线的距离为 ， ， 抛物线方程为 ． 故选：． 由抛物线的准线方程，结合已知条件求解，由此能求出抛物线方程． 本题考查抛物线方程的求法，抛物线的简单性质的应用，是基础题． 2.【答案】 【解析】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题：“ ， ”， 则它的否定为： ， ． 故选：． 利用含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，求解即可． 本题考查了含有量词的命题的否定，要掌握其否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 属于基础题． 3.【答案】 【解析】解：由题意可知几何体是半径为的球的，如图：所以几何体的 体积为： ． 故选：． 判断几何体的形状，然后求解几何体的体积即可． 本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是基础题． 4.【答案】 【解析】解：圆 与圆 的圆心分别为 ， ， 半径分别为 ， ， 两圆的圆心间的距离 ， 而半径之差的绝对值 ． 半径之和 因此， 所以两圆的位置关系是相交． 故选：． 由题意可得两圆的圆心都为 ， ，半径分别为 ， ，根据圆心距和半径 之间的关系即可求解结论． 本题给出两圆的方程，求它们的位置关系．着重考查了圆的标准方程、圆与圆的位置关系 等知识，属于基础题． 5.【答案】 【解析】解：解方程组： ，解得交点坐标为 ， 直线垂直于直线 ，可设直线的方程为： ，则直线过点 ， ， ， 直线的方程为： ， 故选：． 求出两条直线的交点，两条直线垂直时，斜率乘积为 ，可以直接解出． 本题考查了直线相交，两条相互垂直的直线的条件，属于基础题． 6.【答案】 【解析】解：由双曲线： ，得 ， ， ， 不妨取 ，一条渐近线方程为 ，即 ， 则点到双曲线的一条渐近线的距离为 ． 故选：． 由已知求得双曲线的一个焦点坐标及一条渐近线方程，再由点到直线的距离公式求解． 本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，是基础题． 7.【答案】 【解析】解：根据题意得：圆心 ， 圆心在直线 上，故存在直线 与所有圆都相交，选项 正确； 考虑两圆的位置关系， 圆：圆心 ，半径为 ， 圆 ：圆心 ，即 ，半径为 ， 两圆的圆心距 ， 两圆的半径之差 ， 任取 或时， ， 含于 之中，选项 错误； 若取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项 错误； 将 代入圆的方程，则有 ，即 ， 因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在使上式成立，即所有圆不过原点，选项 正确． 则真命题的代号是 ． 故选：． 由已知圆心 ，由两圆的位置关系、圆心距、两圆的半径之差，能判断出真命题个 数． 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用，属 于中档题． 8.【答案】 【解析】解：如图， 设点是点在平面 上的投影，则 ，点在直线 上，设球的半径为， ， ， ，则 ， 在 中， ，解得 ． ，可得 ， 球对应的球面上经过，两点的测地线长为 ． 故选：． 设点是点在平面 上的投影，则 ，点在直线 上，设球的半径为， 然后在直角三角形 中利用勾股定理建立的方程，求解，再由 得答案． 本题考查多面体的外接球的半径及球面距离的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查 运算求解能力，是中档题． 9.【答案】 【解析】解：对于 ：当直线 ： ，直线 ： ，若 ，则 ，解得 或 ，故A 错误； 对于：若 ，则 ，解得 ，故B 正确； 对于：直线： ，满足 ，故经过定点 ，故C 正确； 对于：直线 ： ，满足 ，故经过定点 ，故D 正 确． 故选： ． 直接利用定点直线系和直线的方程的应用判断、、、的结论． 本题考查的知识要点：直线的方程的应用，定点直线系，主要考查学生的运算能力和数学 思维能力，属于基础题． 10.【答案】 【解析】解：若 ，异面， ， ，由线面平行的性质定理可得内存在直线 ，由线面平行的判定定理可得 ， 又 ，且，相交， ，则 ，故A 正确； 若 ， ，且 ，相交， ， ，则 ，故B 错误； 若 ， ， ，则 或 ，或、相交，故C 错误； 若 ， ，则 ，又 ，由线面平行和垂直的性质定理，可得 ，故D 正确． 故选： ． 由线面平行和面面平行的判定定理，可判断；由面面平行的判定定理可判断；由线面的 位置关系可判断；由线面平行和垂直的性质定理，结合面面平行的性质定理，可判断． 本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和空间想象能力、推理能力 属于基础题． 11.【答案】 【解析】解：对于：设点在 面内坐标为 ， ， ，所以 ， ， 所以 ，所以 ，所以 ，所以 ， 所以点的轨迹是双曲线去掉两个顶点，故A 错误； 对于，因为，关于平面 对称，所以球心在平面 内，又 ，所以球心在 与轴上的坐标互为相反数，设球心坐标为 所以 ，解得 ，所以 ，所以 表面积为 ，故B 正确； 对于：在 平面内，若点到直线 的距离即为到的距离，又点到直线 的距离 与点到直线 的距离相等， 所以点到的距离与到直线 的距离相等，所以点的轨迹是抛物线； 对于：点 在 面内，且 ，又 ，所以点 的轨迹是以，为 焦点的椭圆，且 ， ，所以 ， ， 所以椭圆方程为 ，设 到的距离为， 到的距离为， ，要使 的值最小，则 最小， 又 ，所以 ，即 ， 所以 ，故D 正确； 故选： ． 由 ， 得 ，化简可得轨迹方程可判断；由对称性知球心坐标可 设为 ， ，求解得的值，进而可求半径，可判 断，由已知可得点到的距离与到直线 的距离相等，可判断，可求 的轨迹方程为 ，设 到的距离为， 到的距离为，表示出 进而计算可得最 小值可判断． 本题考查点的轨迹问题，两点间的距离，以及最小值问题，属中档题． 12.【答案】 【解析】解：设 ，则 ， ， 由题意可得， ， 故 ． 若 ，方程化为 ，表示了以原点为圆心，为半径的圆除，点； 若 ，方程化为 ，点 的轨迹为焦点在轴的椭圆不含与轴的交点 ； 若 ，方程化为 ，表示焦点在轴，以、为短轴端点的椭圆除， 点； 时，方程化为 ，点 的轨迹为焦点在轴的双曲线不含与轴的交点． 综上可知，BCD 正确． 故选： ． 设 ，求出 ， 所在直线的斜率，由题意可得 ，对分类讨论可 得结论． 本题考查曲线与方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，是基础 题． 13.【答案】 【解析】解：空间两点 ， 中点坐标为 ； 故答案为： ． 直接利用空间中点坐标公式求解即可． 本题考查空间点的坐标的求法，中点坐标公式的应用，是基础题． 14.【答案】 【解析】解：设 ，在抛物线： ，过切点与抛物线相切的直线斜率为， 则以 为切点的切线方程为 ， 与抛物线： 联立方程直线方程与抛物线方程得 ， 所以 ，整理得 ， 所以 ，解得 ， 所以以 为切点的切线方程为 ，整理得 ， 同理，设 ，在抛物线 ： ，过切点 与抛物线相切的直线方程为 ， 又因为 在切线 和 ， 所以 ， ， 所以直线 的方程 ， 又因为直线 经过抛物线的焦点， 所以令 得 ，即 ， 所以抛物线方程为 ，直线 的方程 ， 联立方程直线方程与抛物线方程得 或 ， 所以 ， ， ， ， 所以 ， 故答案为： ． 设出点的坐标，与抛物线方程联立，结合题意和韦达定理整理计算即可求得结果． 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题． 15.【答案】 【解析】解：设以点为中点的弦所在直线与椭圆相交于点 ， ，斜率为． 则 ， ， 两 式 相 减 得 ， 又 ， ， ， 代入解得 ． 故答案为： ． 利用中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”即可得出结果． 熟练掌握中点坐标公式、斜率计算公式、“点差法”是解题的关键，是中档题． 16.【答案】 【解析】解：如图所示，令表示三棱锥 和四棱锥 分别以三角形 和四边形 为底面的高， 则 ， 下研究矩形 ，由题意 ， 以为坐标原点如图建立平面直角坐标系， 则 ，不妨设 ， 故 ， ， ， ， 故答案为： ． 转化 ，研究矩形 ，建立平面直角坐标系，确定的位置，即得体 积的比值． 本题主要考查空间向量及其运算，空间几何体体积的相关计算等知识，属于中等题． 17.【答案】解： 连接 ， ，交点为． ， ∽ ，且 ． ， 在三角形 中， ， ． ． 在平面 内， 平面 ． 以为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直 角坐标系． 底面 ， 底面 为直角梯形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由题得向量 是平面 的一个法向量． 设向量 是平面 的一个法向量， ， ，令 ，得 ， 设二面角 的平面角是， 则 ， ． 二面角 的正弦值 ． 【解析】 连接 ， ，交点为 由 ∽ ，且 知 ，在三 角形 中， ， 故EG 由此能够证明 平面 ． 以为原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直 角坐标系．则 ， ， ，由题得向量 是平 面 的一个法向量．设向量 是平面 的一个法向量，由 ，知 ，故 ，由向量法能够求出二面角 的正弦值． 本题考查直线与平面平行的证明和求二面角的正弦值，考查运算求解能力，推理论证能力 考查化归与转化思想．综合性强，难度大，易出错，是高考的重点．解题时要认真审题， 仔细解答，注意向量法的灵活运用． 18.【答案】 解：点 的坐标满足 ，所以为圆上一点． 圆： 的圆心为 ，则 ，所以直线的斜率为 ，所以直线的方程 为 ，即 ， 证明：设 ， ，直线 的方程为 ， 由圆： ，可得 ， ． 联立方程组 ， 消去并化简得 ， 所以 ， ． 直线 的方程为 ， 直线 的方程为 ， 由 知 ． 由 ，化简得 故点在定直线 上． 【解析】 求出直线的斜率，利用点斜式求解直线的方程． 设 ， ，直线 的方程为 ，求出 坐标，联立方程组，利用 韦达定理结合斜率关系，推出结果即可． 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，是中档题． 19.【答案】解： 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系 如图所示， 则 ， ， ， ， 所以 ， ， 设 与 所成角为， 则 ， 故ED 与 所成角的余弦值为 ； 由待定系数法求出平面 法向量为 ，平面 的法向量 ， 所以 ， 故平面 与平面 夹角的余弦值为 ． 【解析】 建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和两条直线方向向量的坐标， 由向量的夹角公式求解即可； 利用待定系数法求出平面 与平面 的法向量，由向量的夹角公式求解即可． 本题考查了空间向量在立体几何的综合应用，异面直线所成角以及二面角的求解，在求解 有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向 量问题进行研究，属于中档题． 20.【答案】解： 由抛物线的定义，易知： ， ， 点 在线段 的垂直平分线上， ， 即： ， 又 ， ， ， 整理得： ， ， ，即： ， 解得： ，抛物线的方程为 ． ，直线： ， 设与平行的直线： ， 由 得： ， ， 又 ， ， 故直线的方程： ． 【解析】 由抛物线的定义知： ，由点 在线段 的 垂直平分线上，知 ，由此能求出抛物线的方程． 只需与平行的直线： ，与抛物线相切，并且两直线间距离为，即可． 本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题． 21.【答案】证明： 因为 ， ， ，所以 ，所以 ． 因为 为正三角形，所以 ． 又由已知可知 为平面四边形，所以 ． 因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ． 由点在平面 上的射影为可得 平面 ，所以 ， ． 如图，以为坐标原点， 所在直线为轴， 所在直线为轴， 所在直线为轴，建立 空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ． 易知平面 的一个法向量为 ，设 为平面 的法向量， ，令 ，则 ， ，所以平面 的一个法向量为 ， 所以 ， ． 由题意及图形知，二面角 是钝二面角，所以二面角 的余弦值为 ． 由 可得： ， ， 因为 ，所以 与 不垂直， 所以在棱 上不存在点，使得 平面 ． 【解析】 推导出 ，又 为平面四边形，从而 ，由此能 证明 平面 ； 由点在平面 上的射影为可得 平面 ，以为坐标原 点，建立空间直角坐标系，运用向量法求出二面角 的余弦值； 由 求出 ， ，由 ，得出在线段 上不存在点 使得 平面 ． 本题考查线面平行的判定定理、二面角的大小的求法、空间向量在立体几何中的应用，属 中档题． 22.【答案】解： 因为 ，所以 ， 又 ， 所以 ， 所以 ， ， 所以椭圆的标准方程为 ． 当 的斜率为时，显然 ， ． 当 的斜率不为时，设 ： ， 由 得 ， 设 ， ， 故有 ， 所以 ． 因为 ， 所以 ． 综上所述，恒有 为定值． ， 即 ， 当且仅当 ，即 时取等号此时适合 ， 所以 面积的最大值为 ． 【解析】 由题意 ，得出边长的方程，解得的长，再得椭圆方程即可， 设出直线的斜率，再联立椭圆与直线方程，得斜率之和即可， 联立直线与椭圆，由韦达定理，求面积即可． 本题考查直线与椭圆的综合应用，属于难题．