几何模型3—一线三等角模型 【模型介绍】 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这 两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 【解题关键】 构造相似或是全等三角形 【典型例题】 【题型一：一线三直角模型】 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 中，∠B＝45°，B＝2❑ √2， D＝E，∠DE＝90°，E＝❑ √5，求D 的长； 小胖经过思考后，在D 上取点F 使得∠DEF＝∠DB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图 构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△EF∽△DE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程． （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△B 中，∠B＝∠D＝∠B，D＝E，1 ∴RE＝RB＝DT， ∵B＝，∠B＝∠B，∠RB＝∠T， △ ∴BR △ ≌T（S） ∴BR＝T， ∴DT＝T， ∴D＝2DT， ∴BE DE = DT CD ＝1 2 【练3】数学模型（“一线三等角”模型） (1)如图1，∠B＝90°，B＝，BD⊥D 于点D，E⊥D 于点E．求证：△BD △ ≌E． (2)如图2，在△B 中，B＝，点D，，E 都在直线l 上，并且∠BD＝∠E＝∠B＝α．若E＝，

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C 【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 8 m2． 解：过点D 作D⊥B，交B 的延长线于点， ∵∠B＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∵（，1）（＞0） ∴＝D＝1，＝BD＝． ∴B（1+，1﹣） ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点 ×1 ∴ ＝（1+）（1﹣） ∴＝ ∴k＝1×＝ 故选：． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2 ．3

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C 【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 8 m2． 解：过点D 作D⊥B，交B 的延长线于点， ∵∠B＝90°， ∴∠B+∠B＝90°， ∵（，1）（＞0） ∴＝D＝1，＝BD＝． ∴B（1+，1﹣） ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点 ×1 ∴ ＝（1+）（1﹣） ∴＝ ∴k＝1×＝ 故选：． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2 ．3

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C R【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 m2． 变式训练 【变式1-1】．如图，在线段BG 上，BD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，＝B，∠B＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的 图象经过，B 两点．若点的坐标为（，1），则k 的值为（ ） ． B． ． D． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2 ．3

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C R【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 m2． 变式训练 【变式1-1】．如图，在线段BG 上，BD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，＝B，∠B＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的 图象经过，B 两点．若点的坐标为（，1），则k 的值为（ ） ． B． ． D． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2 ．3

相似形 模型（四十二）——一线三等角模型 一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上 ◎结论1：如图 ∠＝∠DBE＝∠， 则①△DB∽△BE；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） ◎结论2：如图 ∠＝∠DBE＝∠，B 点是的中点， 则①△BD∽△BED∽△EB；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） DB ③ 、EB 平分∠DE 和∠DE 模型图解 模型图解 外角：∠DB＝∠＋∠DB ∠DBE＋∠EB＝∠＋∠DB， ∠EB＝∠DB。 同理：∠DB＝∠BE， △DB∽△BE ∴ ∴AD CB ＝AB CE 改为乘积式：DE＝BB 一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右 证明：△BD∽△EB ∴AB CE ＝AD CB ＝BD EB , AD CB ＝BD EB B ∵＝B ∴AD AB ＝BD EB 又∵∠DB＝∠DBE 一线三等角模型应用的四种情况： 1 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 2 图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题； 3 图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题； 4 图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型 解题。 1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形

相似形 模型（四十二）——一线三等角模型 一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上 ◎结论1：如图 ∠＝∠DBE＝∠， 则①△DB∽△BE；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） ◎结论2：如图 ∠＝∠DBE＝∠，B 点是的中点， 则①△BD∽△BED∽△EB；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） DB ③ 、EB 平分∠DE 和∠DE 模型图解 模型图解 外角：∠DB＝∠＋∠DB ∠DBE＋∠EB＝∠＋∠DB， ∠EB＝∠DB。 同理：∠DB＝∠BE， △DB∽△BE ∴ ∴AD CB ＝AB CE 改为乘积式：DE＝BB 一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右 证明：△BD∽△EB ∴AB CE ＝AD CB ＝BD EB , AD CB ＝BD EB B ∵＝B ∴AD AB ＝BD EB 又∵∠DB＝∠DBE 一线三等角模型应用的四种情况： 1 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 2 图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题； 3 图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题； 4 图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型 解题。 1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形

专题14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 一线三等角（K 型图）模型 【模型解读】在某条直线 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： + E=DE 证明思路： + 任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： + 任意一边相等 的判定方法及能利用同角的余角相等证明 是关键． 模型2 一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形 的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也 相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型）

专题14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 一线三等角（K 型图）模型 【模型解读】在某条直线 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： + E=DE 证明思路： + 任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： + 任意一边相等 ， ， 的数量关系，不必证明． 模型2 一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形 的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也 相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型）

专题19 全等与相似模型之一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 .............................. ..........................2 模型1 一线三等角模型（全等模型）...........................................................................................................2 模型2 一线三等角模型（相似模型）........................... 模型1 一线三等角模型（全等模型） 一线三等角模型是指三个相等的角的顶点在同一条直线上，这个模型在七八年级阶段往往用来证明三条线 段的和差或线段的求值及角度的证明等，是一类比较典型的全等模型；模型主要分为同侧型和异侧型两类。 1）一线三等角（K 型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： ，E=DE；