80 一线三等角模型

几何模型3—一线三等角模型 【模型介绍】 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这 两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 【解题关键】 构造相似或是全等三角形 【典型例题】 【题型一：一线三直角模型】 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 【例1】如图1 所示，已知△ABC中，∠ACB=90° , AC=BC，直线m 经过点，过、B 两点分别作直线m 的垂线，垂足分别为E、F． （1）如图1，当直线m 在、B 两点同侧时，求证：EF=AE+BF； （2）若直线m 绕点旋转到图2 所示的位置时（BF< AE），其余条件不变，猜想EF与AE， BF有什么数量关系？并证明你的猜想； （3）若直线m 绕点旋转到图3 所示的位置时（BF> AE）其余条件不变，问EF与AE， BF的关系如何？直接写出猜想结论，不需证明． 【答】（1）见解析； （2）EF=AE−BF，证明见解析； （3）EF=BF−AE，证明见解析 【解析】 （1）证明：∵AE⊥EF，BF ⊥EF，∠ACB=90°， ∠ ∴ E=∠BF=∠B=90°， ∴∠E+∠E=90°，∠FB+∠E=90°， ∴∠E=∠FB， 在△EAC和△FC B中， { ∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC ， ∴△EAC ≌△FCB( AAS)， ∴CE=BF，AE=CF， ∵EF=CF+CE， ∴EF=AE+BF； （2）解：EF=AE−BF，理由如下： ∵AE⊥EF，BF ⊥EF，∠ACB=90°， ∠ ∴ E=∠BF=∠B=90°， ∴∠E+∠E=90°，∠FB+∠E=90°， ∴∠E=∠FB， 在△EAC和△FC B中， { ∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC ， ∴△EAC ≌△FCB( AAS)， ∴CE=BF，AE=CF， ∵EF=CF−CE， ∴EF=AE−BF； （3）解：EF=BF−AE，理由如下： ∵AE⊥EF，BF ⊥EF，∠ACB=90°， ∠ ∴ E=∠BF=∠B=90°， ∴∠E+∠E=90°，∠FB+∠E=90°， ∴∠E=∠FB， 在△EAC和△FC B中， { ∠AEC=∠CFB ∠EAC=∠FCB AC=BC ， ∴△EAC ≌△FCB( AAS)， ∴CE=BF，AE=CF， ∵EF=CE−CF， ∴EF=BF−AE． 【练1】如图，在平面直角坐标系中，将直线y=−3 x向上平移3 个单位，与y轴、x轴分 别交于点、B，以线段B 为斜边在第一象限内作等腰直角三角形B．若反比例函数 y= k x ( x>0)的图象经过点，则k的值为（ ） ．2 B．3 ．4 D．6 【答】 【解析】解：过点作E⊥x 轴于点E，作F⊥y 轴于点F，如图所示， ∵E⊥x 轴，F⊥y 轴， ∠ ∴ EF＝90°． △ ∵B 为等腰直角三角形， ∠ ∴ F＋∠FB＝∠FB＋∠BE＝90°，＝B， ∠ ∴ F＝∠BE． 在△F 和△BE 中， { ∠AFC ＝∠BEC ＝90° ∠ACF ＝∠BCE AC ＝BC ， ∴△F △ ≌BE（S）， ∴S△F＝S△BE， ∴S 矩形EF＝S 四边形B＝S△B＋S△B． ∵将直线y＝−3x 向上平移3 个单位可得出直线B， ∴直线B 的表达式为y＝−3x＋3， ∴点（0，3），点B（1，0）， ∴AB＝ ❑ √O A 2＋O B 2=❑ √10， ∵△B 为等腰直角三角形， ∴AC=BC= ❑ √2 2 AB=❑ √5， ∴S 矩形EF＝S△B＋S△B＝1 2×1×3＋1 2 ×❑ √5×❑ √5＝4． ∵反比例函数y= k x （x＞0）的图象经过点， ∴k＝4， 故选． 【练2】如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OBA=60°，若点在反比例函数 y=3 x ( x>0)的图象上，则经过点B 的反比例函数表达式为（ ） ．y=−3 x B．y=3 x ． D．y= 1 x 【答】 【解析】解：作AD⊥x轴于D，BC ⊥x轴于，如图， ∵∠AOB=90°，∠ABO=60°， ∴∠BAO=30°， ∴OB= ❑ √3 3 O A． ∵点在反比例函数y=3 x ( x>0)的图象上， ∴xy=OD∙AD=3． ∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠DAO=90°， ∴∠BOC=∠DAO， ∴Rt△B∽Rt△D， ∴S△BOC S△DAO =( OB OA) 2 =1 3． ∵S△DAO=1 2 OD∙AD=1 2 ×3=3 2， ∴S△BOC=1 2， 即1 2|k|=1 2， ∴|k|=1． ∵k<0， ∴k=−1， ∴经过点B 的反比例函数解析式为y=−1 x ． 故选：． 【练3】如图，已知l1∥l2∥l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角△B 的三个顶 点分别在这三条平行直线上，则sin α的值是（ ） ． 1 3 B 6 17 ．❑ √5 5 D ❑ √10 10 【答】D 【解析】如图，过点作D⊥l1于点D，过点B 作BE⊥l1于点B，设l1，l2，l3之间的距离为1 ∠ ∵ D+∠D=90°，∠BE+∠D=90° ∠ ∴ D=∠BE 在等腰直角△B 中，=B，∠D=∠BE=90° △ ∴D △ ≌BE ∴D=BE=1 在Rt△D 中 =❑ √AD 2+CD 2= ❑ √2 2+1 2=❑ √5 在等腰直角△B 中 B=❑ √2=❑ √2×❑ √5=❑ √10 ∴sin α= 1 ❑ √10= ❑ √10 10 故选：D 【练4】如图1，等腰Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，直线ED 经过点B，过作D⊥ED 于D， 过作E⊥ED 于E 则易证△DB≌△BE．这个模型我们称之为“一线三垂直”它可以把倾斜的 线段B 和直角∠B 转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用 模型应用： (1)如图2，点（0，4)，点B(3，0），△B 是等腰直角三角形． ①若∠B＝90°，且点在第一象限，求点的坐标； ②若B 为直角边，求点的坐标； (2)如图3，长方形MF，为坐标原点，F 的坐标为（8，6），M、分别在坐标轴上，P 是线 段F 上动点，设P＝，已知点G 在第一象限，且是直线y＝2x 一6 上的一点，若△MPG 是 以G 为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点G 的坐标 【答】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）； （2）（4，2）、( 20 3 , 22 3 ) 【解析】解：（1）①如图，过作D 垂直于x 轴， 根据“一线三垂直”可得△B △ ≌BD，∴=BD，B=D， ∵点（0，4)，点B(3，0），∴=4，B=3 ， ∴D=3+4=7， ∴点的坐标为（7,3）； ②如图，若B 为直角边，点的位置可有4 处， 、若点在①的位置处，则点的坐标为（7,3）； b、若点在C1的位置处，同理可得，则点C1的坐标为（4,7）； 、若点在C2的位置处，则C1、C1关于点对称， ∵点（0，4)，点C1（4,7），∴点C2的坐标为（-4,1）； d、若点在C3的位置处，则C3、关于点B 对称， ∵点B(3，0），点（7,3），∴点C3的坐标为（-1,-3）； 综上，点的坐标为（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）； （2）当点G 位于直线y=2x-6 上时，分两种情况： ①当点G 在矩形MF 的内部时，如图，过G 作x 轴的平行线B，交y 轴于，交直线F 于点 B，设G（x，2x-6）； 则=2x-6，M=6-（2x-6）=12-2x，BG=B-G=8-x； 则△MG △ ≌GBP，得M =BG， 即：12-2x=8-x，解得x=4， ∴G（4，2）； 当点G 在矩形MF 的外部时，如图，过G 作x 轴的平行线B，交y 轴于，交直线F 的延长 线于点B，设G（x，2x-6）； 则=2x-6，M=（2x-6）-6=2x-12，BG=B-G=8-x； 则△MG △ ≌GBP，得M =BG， 即：2x-12=8-x，解得x=20 3 ， ∴G ( 20 3 , 22 3 )； 综上，G 点的坐标为（4，2）、( 20 3 , 22 3 ) 【题型二：一线三锐角与一线三钝角】 如图，若∠1、∠2、∠3 都为锐角，则有△P∽△BPD． 3 C D B P A 证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠P，∠＝180°－∠1－∠P，而∠1＝∠3 ∠ ∴ ＝∠DPB， ∠ ∵ 1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C 【例2】如图，在等腰三角形B 中，∠B＝120°，B＝＝2，点D 是B 边上的一个动点（不与 B、重合），在上取一点E，使∠DE＝30°． （1）设BD＝x，E＝y，求y 关于x 的函数关系式并写出自变量x 的取值范围； （2）当△DE 是等腰三角形时，求E 的长． E C D B A 【答】（1）y=1 2 x 2−❑ √3 x+2(0<x<2❑ √3) (2) E＝4－2❑ √3或E＝2 3 【解析】解（1）∵△B 是等腰三角形，且∠B＝120°， ∠ ∴ BD＝∠B＝30°， ∠ ∴ BD＝∠DE＝30°， ∠ ∵ D＝∠DE＋∠ED＝∠BD＋∠DB， ∠ ∴ ED＝∠DB， △ ∴BD∽△DE； ∵B＝＝2，∠B＝120°， 过作F⊥B 于F， ∠ ∴ FB＝90°， ∵B＝2，∠BF＝30°， ∴F＝1 2 AB＝1， ∴BF＝❑ √3， ∴B＝2BF＝2❑ √3， 则D＝2❑ √3−x，E＝2－y △ ∵BD∽△DE， ∴AB BD = DC CE ， ∴2 x =2❑ √3−x 2−y ， 化简得：y=1 2 x 2−❑ √3 x+2(0<x<2❑ √3)． （2）①当D＝DE 时，如图， E C D B A △BD △ ≌DE， 则B＝D，即2＝2❑ √3−x， x＝2❑ √3−2，代入y=1 2 x 2−❑ √3 x+2 解得：y＝4−2❑ √3，即E＝4−2❑ √3， ②当E＝ED 时，如图， A B C D E ∠ED＝∠ED＝30°，∠ED＝120°， 所以∠DE＝60°，∠ED ＝90° 则ED＝ 1 2 E，即y＝1 2 （2－y） 解得y＝2 3，即E＝2 3； ③当D＝E 时，有∠ED－∠ED＝30°，∠ED＝120° 此时点D 和点B 重合，与题目不符，此情况不存在． 所以当△是DE 等腰三角形时，E＝4－2❑ √3或E＝2 3 【练1】如图，在△B 中， B==2，∠B=40°，点D 在线段B 上运动（点D 不与点B、重合）， 连接D，作∠DE=40°，DE 交线段于点E． （1）当∠BD=115°时，∠ED=______°，∠ED=______°； （2）线段D 的长度为何值时，△BD △ ≌DE，请说明理由； （3）在点D 的运动过程中，△DE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BD 的度数； 若不可以，请说明理由． 【答】（1）25°，65°； （2）2，理由见解析； （3）可以，110°或80° 【解析】 解：（1）∵∠B=40°∠DB=115°， ∠ ∴ BD=180°-∠B-∠DB=180°-115°-40°=25°， ∵B=， ∠ ∴ =∠B=40°， ∠ ∵ ED=180°-∠DB-∠DE=25°， ∠ ∴ DE=180°-∠ED-∠=115°， ∠ ∴ ED=180°-∠DE=180°-115°=65°； （2）当D=2 时，△BD≌△DE， 理由：∵∠=40°， ∠ ∴ DE+∠ED=140°， 又∵∠DE=40°， ∠ ∴ DB+∠ED=140°， ∠ ∴ DB=∠DE， 又∵B=D=2， 在△BD 和△DE 中， { ∠ADB＝∠DEC ∠B＝∠C AB＝DC △ ∴BD △ ≌DE（S）； （3）当∠BD 的度数为110°或80°时，△DE 的形状是等腰三角形， ∠ ∵ BD=110°时， ∠ ∴ D=70°， ∠ ∵ =40°， ∠ ∴ D=70°， △ ∴DE 的形状是等腰三角形； ∵当∠BD 的度数为80°时， ∠ ∴ D=100°， ∠ ∵ =40°， ∠ ∴ D=40°， △ ∴DE 的形状是等腰三角形． 【练2】阅读材料：小胖同学遇到这样一个问题，如图1，在△B 中，∠B＝45°，B＝2❑ √2， D＝E，∠DE＝90°，E＝❑ √5，求D 的长； 小胖经过思考后，在D 上取点F 使得∠DEF＝∠DB（如图2），进而得到∠EFD＝45°，试图 构建“一线三等角”图形解决问题，于是他继续分析，又意外发现△EF∽△DE． （1）请按照小胖的思路完成这个题目的解答过程． （2）参考小胖的解题思路解决下面的问题： 如图3，在△B 中，∠B＝∠D＝∠B，D＝E，1 2∠ED+∠EBD＝90°，求BE：ED． 【答】D=5； （1）证明见解析； （2）1 2 【解析】解：（1）在D 上取点F，使∠DEF＝∠DB， ∵D＝E，∠DE＝90°， ∴DE＝❑ √2D＝❑ √2E， ∠ ∵ B＝45°，∠DE＝45°， 且∠D＝∠DE+∠ED， ∠ ∴ BD＝∠ED， ∠ ∵ BD＝∠DEF， △ ∴DB∽△DEF， ∴DF AB = DE AD ＝❑ √2， ∵B＝2❑ √2， ∴DF＝4， 又∵∠DE+∠＝45°， ∠ ∴ EF＝∠DE， △ ∴EF∽△DE， ∴CE CF = DC CE ， 又∵DF＝4，E＝❑ √5， ∴ ❑ √5 CF =CF+4 ❑ √5 ， ∴F＝1 或F＝5（舍去）， ∴D＝F+4＝5； （2）如图3，作∠DT＝∠BDE，作∠RT＝∠DE， ∠ ∵ B＝∠D＝∠B， ∴B＝，D＝D， ∵D＝E， ∠ ∴ ED＝∠DE， ∵1 2∠ED+∠EBD＝90°， ∠ ∴ ED+2∠EBD＝180°，且∠ED+2∠ED＝180°， ∠ ∴ EBD＝∠ED＝∠DE， ∠ ∵ BD＝∠DT+∠TD＝∠BDE+∠DE， ∠ ∴ DE＝∠TD＝∠EBD，且∠BDE＝∠DT， △ ∴DBE∽△TD， ∴BE DT = DE AD ，∠DT＝∠BED， ∴BE DE = DT AD ，且D＝D， ∴BE DE = DT CD ， ∠ ∵ RT＝∠DE，∠DE＝∠TD， ∠ ∴ RE＝∠DT，∠ED＝∠RT＝∠DE＝∠TD， ∴R＝T，且∠RE＝∠DT，∠RE＝∠TD， △ ∴RE △ ≌TD（S） ∠ ∴ DT＝∠ER，DT＝ER， ∠ ∴ BED＝∠ER， ∠ ∴ ED＝∠BER＝∠EBD， ∴RE＝RB＝DT， ∵B＝，∠B＝∠B，∠RB＝∠T， △ ∴BR △ ≌T（S） ∴BR＝T， ∴DT＝T， ∴D＝2DT， ∴BE DE = DT CD ＝1 2 【练3】数学模型（“一线三等角”模型） (1)如图1，∠B＝90°，B＝，BD⊥D 于点D，E⊥D 于点E．求证：△BD △ ≌E． (2)如图2，在△B 中，B＝，点D，，E 都在直线l 上，并且∠BD＝∠E＝∠B＝α．若E＝， BD＝b，求DE 的长度（用含，b 的代数式表示）； (3)如图3，D，E 是直线l上的动点，若△BF 和△F 都是等边三角形，且∠BD＝∠E＝∠B＝α， 试判断△DEF 的形状，并说明理由． 【答】(1)见解析 (2)+b (3)△DEF 是等边三角形，理由见解析． 【解析】(1)证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠＝90°， ∠ ∴ 1＝∠， 在△BD 和△E 中， { ∠1=∠C ∠ADB=∠CEA=90° AB=AC ， ∴△BD △ ≌E（S）， (2)解：∵∠BD＝∠B＝α， ∠ ∴ DB+∠BD＝180° α ﹣＝∠BD+∠E， ∠ ∴ E＝∠BD， 在△BD 和△E 中， { ∠ABD=∠CAE ∠BDA=∠AEC AB=AC ∴△BD △ ≌E（S）， ∴D＝E，BD＝E， ∵E＝，BD＝b， ∴DE＝D+E＝BD+E＝+b； (3)解：△DEF 是等边三角形，理由如下： △ ∵BF 和△F 都是等边三角形 ∴B＝， 由（2）知：△BD △ ≌E， ∴BD＝E，∠BD＝∠E， △ ∵F 是等边三角形，△BF 是等边三角形， ∠ ∴ F＝60°，B＝F， ∠ ∴ BD+∠BF＝∠E+∠F， 即∠DBF＝∠FE， 在△BDF 和△EF 中， { FB=FA ∠FBD=∠FAE BD=AE ， ∴△BDF △ ≌EF（SS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠FE， ∠ ∴ DFE＝∠FD+∠FE＝∠FD+∠BFD＝60°， △ ∴DEF 是等边三角形． 【练4】数学模型学习与应用．【学习】如图1，∠BAD=90°，AB=AD，BC ⊥AC 于点，DE⊥AC于点E．由∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D；又 ∠ACB=∠AED=90°，可以通过推理得到△ABC≌△DAE．我们把这个数学模型称为 “一线三等角”模型； (1)【应用】如图2，点B，P，D 都在直线l 上，并且∠ABP=∠APC=∠PDC=α．若 BP=x，AB=2，BD=5，用含x 的式子表示D 的长； (2)【拓展】在△ABC中，点D，E 分别是边B，上的点，连接D，DE， ∠B=∠ADE=∠C，AB=5，BC=6．若△CDE为直角三角形，求D 的长； (3)如图3，在平面直角坐标系xy 中，点的坐标为(2,4 )，点B 为平面内任一点．△AOB是 以为斜边的等腰直角三角形，试直接写出点B 的坐标． 【答】(1)CD=−1 2 x 2+ 5 2 x (2)3 (3)(3,1)或(−1,3) 【解析】 (1)解：∵∠ABP=∠APC=∠PDC=α， ∴∠A+∠APB=∠APB+∠CPD， ∴∠A=∠CPD， 又∵∠ABP=∠PDC， ∴△ABP∽△PDC， ∴AB PD = BP CD ， 即x CD = 2 5−x ， ∴CD=−1 2 x 2+ 5 2 x． (2)解：如图4，当∠CED=90°时， ∵∠ADE=∠C，∠CAD=∠DAE， ∴△ACD∽△ADE， ∴∠ADC=∠AED=90°， ∵∠B=∠C，∠ADC=90° ∴点D 为B 的中点， ∴CD=1 2 BC=1 2 ×6=3． 如图5，当∠EDC=9