几何模型3—一线三等角模型 【模型介绍】 一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的角与这 两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 【解题关键】 构造相似或是全等三角形 【典型例题】 【题型一：一线三直角模型】 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． ❑ √10 10 故选：D 【练4】如图1，等腰Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，直线ED 经过点B，过作D⊥ED 于D， 过作E⊥ED 于E 则易证△DB≌△BE．这个模型我们称之为“一线三垂直”它可以把倾斜的 线段B 和直角∠B 转化为横平竖直的线段和直角，所以在平面直角坐标系中被大量使用 模型应用： (1)如图2，点（0，4)，点B(3，0），△B 是等腰直角三角形． ① 【答】（1）①（7,3）；②（7,3）、（4,7）、（-4,1）、（-1,-3）； （2）（4，2）、( 20 3 , 22 3 ) 【解析】解：（1）①如图，过作D 垂直于x 轴， 根据“一线三垂直”可得△B △ ≌BD，∴=BD，B=D， ∵点（0，4)，点B(3，0），∴=4，B=3 ， ∴D=3+4=7， ∴点的坐标为（7,3）； ②如图，若B 为直角边，点的位置可有4

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C 【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 8 m2． 解：过点D 作D⊥B，交B 的延长线于点， ∵∠B＝90°， ∵（，1）（＞0） ∴＝D＝1，＝BD＝． ∴B（1+，1﹣） ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点 ×1 ∴ ＝（1+）（1﹣） ∴＝ ∴k＝1×＝ 故选：． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C 【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 8 m2． 解：过点D 作D⊥B，交B 的延长线于点， ∵∠B＝90°， ∵（，1）（＞0） ∴＝D＝1，＝BD＝． ∴B（1+，1﹣） ∵反比例函数y＝ （x＞0）的图象经过，B 两点 ×1 ∴ ＝（1+）（1﹣） ∴＝ ∴k＝1×＝ 故选：． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C R【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 m2． 变式训练 【变式1-1】．如图，在线段BG 上，BD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，＝B，∠B＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的 图象经过，B 两点．若点的坐标为（，1），则k 的值为（ ） ． B． ． D． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2

一线三等角：两个三角形中相等的两个角落在同一条直线上，另外两条边所构成的 角与这两个角相等，这三个相等的角落在同一直线上，故称“一线三等角” 如下图所示，一线三等角包括一线三直角、一线三锐角、一线三钝角 类型一：一线三直角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 都为直角，则有△P∽△BPD． 3 2 1 D B P A C 类型二：一线三锐角与一线三钝角模型 如图，若∠1、∠2、∠3 ∵∠1＝∠2， ∴△P∽△BPD 如图，若∠1、∠2、∠3 都为钝角，则有△P∽△BPD．（证明同锐角） 2 3 1 D B P A C R【解题关键】构造相似或全等三角形 考点一：一线三等角直角模型 【例1】如图，四边形BD 中，∠B＝∠D＝90°，＝D，B＝4m，则△BD 的面积为 m2． 变式训练 【变式1-1】．如图，在线段BG 上，BD 和DEFG 都是正方形，面积分别为7 【变式1-4】．如图，在平面直角坐标系中，＝B，∠B＝90°，反比例函数y＝ （x＞0）的 图象经过，B 两点．若点的坐标为（，1），则k 的值为（ ） ． B． ． D． 考点二：一线三等角锐角或钝角模型 【例2】．如图，已知△B 和△DE 均为等边三角形，D 在B 上，DE 与相交于点F，B＝9， BD＝3，则F 等于（ ） ．1 B．2

相似形 模型（四十二）——一线三等角模型 一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上 ◎结论1：如图 ∠＝∠DBE＝∠， 则①△DB∽△BE；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） ◎结论2：如图 ∠＝∠DBE＝∠，B 点是的中点， 则①△BD∽△BED∽△EB；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） DB ③ 、EB 平分∠DE 和∠DE 模型图解 模型图解 外角：∠DB＝∠＋∠DB ∠DBE＋∠EB＝∠＋∠DB， ∠EB＝∠DB。 同理：∠DB＝∠BE， △DB∽△BE ∴ ∴AD CB ＝AB CE 改为乘积式：DE＝BB 一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右 证明：△BD∽△EB ∴AB CE ＝AD CB ＝BD EB , AD CB ＝BD EB B ∵＝B ∴AD AB ＝BD EB 又∵∠DB＝∠DBE 一线三等角模型应用的四种情况： 1 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 2 图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题； 3 图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题； 4 图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型 解题。 1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形

相似形 模型（四十二）——一线三等角模型 一线三等角：三个相等的角的顶点在一条直线上 ◎结论1：如图 ∠＝∠DBE＝∠， 则①△DB∽△BE；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） ◎结论2：如图 ∠＝∠DBE＝∠，B 点是的中点， 则①△BD∽△BED∽△EB；②D×E（竖着的）=B×B（躺着的） DB ③ 、EB 平分∠DE 和∠DE 模型图解 模型图解 外角：∠DB＝∠＋∠DB ∠DBE＋∠EB＝∠＋∠DB， ∠EB＝∠DB。 同理：∠DB＝∠BE， △DB∽△BE ∴ ∴AD CB ＝AB CE 改为乘积式：DE＝BB 一线三等角经典结论：左乘右＝左乘右 证明：△BD∽△EB ∴AB CE ＝AD CB ＝BD EB , AD CB ＝BD EB B ∵＝B ∴AD AB ＝BD EB 又∵∠DB＝∠DBE 一线三等角模型应用的四种情况： 1 图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； 2 图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”，利用模型解题； 3 图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角”，利用模型解题； 4 图形中只有45°角，直角或直角三角形，可构造“一线三等（直）角”，利用模型 解题。 1．（2021·重庆渝北·九年级期末）如图，在等边三角形

专题14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 一线三等角（K 型图）模型 【模型解读】在某条直线 等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： + E=DE 证明思路： + 任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： + 任意一边相等 角形的判定方法及能利用同角的余角相等证明 是关键． 模型2 一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形 的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也 相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型）

更多资料添加微信号：DEM2008 淘宝搜索店铺：星哲育 址：sp432575988tbm 一线串珠法 一线串珠法 所谓一线串珠法，就是指在记叙文的课篇布局中，以一条主要线索贯事全文，把一些相对分散、独点 的材料事联起来，使之相辅相成彼此烘托、构成一篇完整的史章的写作方法。记叙类文章的行文，除了以 具体事物为线索外，还可以考虑以入物为线索，以感情为线索，以中心事件为线索，以时空帮移为线常， 以主题为线常于。在具体写作中，有时会设置一亲线索，并围绕其来姐织材料。一唱三叹，反复吟咏，组 合成篇；有时会设置两条线常，问时展开故事情节，形成两个故事，或平行前进，成交织发展，在特定的 契合点汇合，完成对主旨的表达。 “一线串珠”写作的构思 1 确定中心，明确方向。写作，都是有一定的中心和写作目的的。要采用这种手法，首先要仔细 审读写作要求，根据自己生活的积累和写作方向，确定自己写作的中心，为下文多角选材做好准备。 行文有方，凸显线索。确定了素材和线索，还要想办法在文章中凸显这条线。或者采用打标题 突出，或者将线索在文章的各个阶段重复出现；或者交代作者思想感情的变化等等。只要凸显了这条 主线，读者就会一目了然。 4 珠联璧合，结构完整。采用一线串珠方法写文章，在结尾处还要将线索和中心交汇。方法是可 借助议论抒情，或者概括总结、画龙点睛等手法，再一次强调线索，既收束全文，又呼应开头。这样， 文章才结构完整，珠联璧合。 名家经典 生 病

专题14 全等与相似模型-一线三等角（K 字）模型 全等三角形与相似三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位。相似三角形与其它知识点结合以综 合题的形式呈现，其变化很多，难度大，是中考的常考题型。如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本 解题模型，再遇到该类问题就信心更足了．本专题就一线三等角模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1 一线三等角（K 型图）模型 【模型解读】在某条直线 等。 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K 型图”） 钝角一线三等角 条件： + E=DE 证明思路： + 任一边相等 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件： + 任意一边相等 系又会发生变化，请直接写出 ， ， 的数量关系，不必证明． 模型2 一线三等角模型（相似模型） 【模型解读与图示】“一线三等角”型的图形，因为一条直线上有三个相等的角，一般就会有两个三角形 的“一对角相等”，再利用平角为180°，三角形的内角和为180°，就可以得到两个三角形的另外一对角也 相等，从而得到两个三角形相似． 1）一线三等角模型（同侧型）