专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答】 / 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练 掌握：一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ， ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式进行计算即 可． 【详解】解：根据题意得 ， ， ∴ = ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的 两根，则有 ， ． 例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系求出 ，把 代入方程得到关系式，变形后代入 计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， ∴把 代入方程 得： ， 可得 ， ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一 元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．

专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 例4．已知方程 例4．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ． 【变式训练1】已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围． (2)若两个实数根分别是 ， ，且 ，求m 的值． 【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个根，则代数 的值为 ． 类型二、降幂思想求值 例．若 ， 是方程 的两根，则 ． 【变式训练1】设方程 的两个根是 ，则 的取值是 是方程 的两个实数根，则 【变式训练3】设、b 是方程 的两实数根，则 ． 类型三、构造方程化简求值 例．已知实数 、 满足 ， ，则 ． 【变式训练1】非零实数m， 满足 ， ，则 ． 【变式训练2】若实数、b 满足 ， ，则 的值是 ． 类型四、求参数值（易错点） 例．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 ，则实数

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根， ， ，掌握根与系数的关系是解题关键． 的两个根，则 的值等于 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出 , ，代入求值 即可． 【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ，则 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 【分析】由根与系数的关系及根的定义可知+b＝﹣1，b＝﹣1，2+＝1，据此对32 b ﹣ 进行变形计算可 得结果 【详解】解：由题意可知：+b＝﹣1，b＝﹣1，2+＝1， ∴原式＝3（1﹣）﹣b+ ＝3 3 b+ ﹣﹣ ＝3 2 ﹣﹣（+b）+ ＝3 2+1+ ﹣ ＝4 2+ ﹣ ＝4+ ＝4+ ＝4+4＝8， 故答为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【变式训练1】已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于 ． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 的值是 ． 【变式训练3】若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【变式训练4】已知实数 【变式训练4】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 ． 类型二、降幂思想求值 例．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值为 【变式训练1】若 是方程 的两个实数根，求 的值． 【变式训练2】若 ，那么代数式 的值是 【变式训练3】已知 ， 是方程 的两个根，那么 ______． 类型三、构造方程思想求值 例．如果x、y 是两个实数（ ）且 ， ，则 的值等于 （ ） 【变式训练2】已知、b、均为实数，且 ， ，则 ． 【变式训练3】已知实数、b 满足 ，求 的值． 类型四、根的大小问题 例m 为何值时，关于x 的方程3（m 1 ﹣）x2 4 ﹣mx+（m 3 ﹣）＝0 (1)两个正根； (2)一正一负两根； (3)两根都大于1． 【变式训练】已知关于x 的一元二次方程：x2-2x-=0，有下列结论： ①当＞-1 时，方程有两个不相等的实根；

这家公司的成长史。牛根生的蒙 牛是一个从头到脚都在运用杠杆的企业，这是一头牛，却跑出了火箭的速度，他是怎么做 的？第1 步刚开始时牛根生没有钱，只有100 万的现金要进入主业，几乎不可能，怎么 办？找老朋友投资5 个月后获得了1000 多万元，这是资金杠杆。 第2 步有了点钱怎么办？没有钱的时候，大家的思路都是一样的，要么找人投钱，要么 找人借钱，可是戒指有了钱的时候，牛根生开始显示出与大家不一样的思维了，这笔钱怎 知名度才能有市场，而他提出逆向经营的思路，新建市场再建工厂。他说企业不惜成本地 建起厂房，引进了设备，设备投放之日起，设备的折旧就开始了，而且大量的资金被消耗 在固定资产投资中，企业再也没有资金去搞经营，刘根生的计划是把有限的资金用于市场 的推广中，然后把全国的工厂化变为自己的加工车间，杠杆借力就是要把力气用到最关键 的地方，生意的成败关键在于营销。 第三步，蒙牛乳业向伊利学习，创内蒙古乳业第二品牌，排，这是蒙牛在呼和浩特时打出 个行业老大，任何报复性的市场手段都可能造成一荣俱荣，一损俱损。 第四部在狂潮蒙牛品牌的同时，牛根生与中国营养学会联合开发了系列新产品，然后与乳 品厂合作，已投入品牌技术，配方采用托管、or 租赁，委托生产等形式，将所有产品打 上蒙牛商标，他找合作伙伴，要求只对其设备及人员进行使用和支配，但不做资产的转移。 企业所有的设备等都归企业所有，牛根生只是利用这些资源，用自己的管理自己的品牌， 使双方互利互惠。 拥有中国

为什么毛孔粗大总也断不了根？ 很多妹子经常跟我抱怨：老师，为啥毛孔问题断不了根儿呢？护肤品用的时候毛孔小，一停用 就打回原形。是不是产品不好呢？ 护肤品表示：这个锅我不背。 用护肤品收缩毛孔是大家最常想到也最方便用到的方法。但是需要注意的是：毛孔问题是无法 彻底杜绝的，因为你的皮脂腺只要一直保持比较活跃的状态，收缩的毛孔还是会大回去的。就 像我们头发洗了还会脏一样。 但是，如果我们在

专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 【答】D 【分析】方程 ，只有一个实数解，则有两种情况，二次项系数为0，一次项系数不 为0；二次项系数不为0 时，二次方程有两个相等的实数根． 【详解】方程 ，只有一个实数解，有两种情况： ①当 故选：D． 【点睛】本题考查了方程根的判别式，解题的关键是分一次方程与二次方程两种情况讨论． 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【答】B 【分析】利用判别式和一元二次方程的根的关系进行判断即可． 【详解】解：根据题意得， ， 则关于x 的方程 有两个不相等实数根，故选B． 【点睛】本题考 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握 ，一元二次方程有两个不相等的实 数根； ，一元二次方程有一个实数根； ，一元二次方程无实数根是解题的关键． 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（ ） ． B． 且 ． D． 且 【答】 【详解】解：当k=0 时，方程化为-x-1=0，解得x=-1； 当k≠0 时，根据题意得Δ=（-1）2-4k×（-1）≥0，解得k≥-

专题05 与根的判别式有关的两种考法 类型一、参数位置的问题 例1（二次项含参）关于x 的方程 ，只有一个实数解，则m 的值等于（ ） ．0，2 B．1，2 ．0， ，1 D．0，2，1 例2（二次项不含参）关于x 的方程 根的情况是（ ） ．没有实数根 B．有两个不相等实数根 ．有两个相等实数根 D．只有一个实数根 【变式训练1】若关于x 的方程 有实数根，则k 的取值范围是（ 有两个相等的实数根，则 的值是 ． 【变式训练3】已知关于x 的一元二次方程 ． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)选择一个m 的值，使得方程至少有一个正整数根，并求出此时方程的根． 【变式训练4】若方程 没有实数根，试判断方程 根的情况并说明 理由． 类型二、分情况讨论（是否是二次方程） 例1m 为何值时，关于x 的方程 有唯一的根，并求这个根． 例2．（不需要讨论）关于的一元二次方程 ，则方程必有两个不相等 的实数根；②若 ，则方程必有两个不相等的实数根．正确的是（ ） ． 【变式训练1】已知，关于x 的一元二次方程 ． (1)k 取何值时，此方程有两个不相等的实数根？ (2)如果此方程的一个根为 ，求k 的值和另一个根． 【变式训练2】已知关于 的一元二次方程 ． （）求证：方程总有两个实数根； （ ）记该方程的两个实数根为 和 若以 ， ， 为三边长的三角形是直角三角形，求

男（更加激动了，愤愤地说）：那你能不能别老在我面前谈钱啊钱啊的，建立在金钱上的 爱情犹如一盘散沙，风一吹就散了！ 女（生气地转身走开）：够了，不就是让你给我买根雪糕吗？至于吗？我自己去买！ 男（愤怒的表情一下收敛，跟在后面喊）：你花钱的话，给我带一根！

2025 二年级科学下册植物的根吸水实验操作专项试卷及答案 一、单项选择题（每题2 分，共10 题） 1. 植物的根主要有什么作用？ A. 吸收阳光 B. 吸收水分和养分 C. 开花结果 D. 制造食物 2. 做根吸水实验时，最好选择哪种植物？ A. 带根的完整小植物 B. 植物的叶子 C. 植物的花朵 D. 干枯的树枝 3 3. 实验中，将植物的根放入水中是为了观察什么？ A. 根的颜色变化 B. 根是否会长大 C. 根是否能吸水 D. 根会不会腐烂 4. 以下哪种容器最适合做根吸水实验？ A. 不透明的盒子 B. 透明玻璃瓶 C. 塑料袋 D. 铁罐 5. 实验中，水位下降说明什么？ A. 水蒸发了 B. 根在吸收水分 C D. 植物在吐水 6. 根吸水的主要部位是？ A. 根尖 B. 根的中部 C. 根的顶部 D. 根毛区 7. 下列哪项不是根的功能？ A. 固定植物 B. 吸收水分 C. 进行光合作用 D. 储存营养 8. 实验中，为什么要用带根的新鲜植物？ A. 更美观 B. 根吸水能力更强 C. 容易观察变化