模型38 梅涅劳斯定理、塞瓦定理（解析版）(1)

梅涅劳斯定理：任何一条直线截三角形的各边，都使得三条不相邻线段之积等于另外三 条线段之积．当直线交三角形B 三边所在直线B、B、于D、E、F 点时，则有E×BD×F＝ EB×D×F 塞瓦定理：塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长、B、分别交对边于D、E、F，则 BD×E×F＝D×E×FB． 考点一：梅涅劳斯定理 例题精讲 【例1】．如图，等边△B 的边长为2，F 为B 中点，延长B 至D，使D＝B，连接FD 交于 E，则四边形BEF 的面积为 ． 解：∵DEF 是△B 的梅氏线， ∴由梅涅劳斯定理得， • • ＝1， 即 • • ＝1，则 ＝ ， 连F，S△BF＝ S△B，S△EF＝ S△B， 于是SBEF＝S△BF+S△EF ＝ S△B ＝ × ×2×2s60° ＝ × ＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式1-1】．如图，D、E、F 内分正△B 的三边B、B、均为1：2 两部分，D、BE、F 相 交成的△PQR 的面积是△B 的面积的（ ） ． B． ． D． 解：对△D 用梅涅劳斯定理可以得： • • ＝1，则 ＝ ． 设S△BF＝ ，S△BQ＝ S△BE＝ ，SBPRF＝ S△BD＝ ， ∴S△PQR＝S△BF﹣S△BQ﹣SBPRF＝ S△B． 故选：D． 【变式1-2】．梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（Meelus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如 图（1），如果一条直线与△B 的三边B，B，或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么 一定有 • • ＝1． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作G∥B，交DF 的延长线于点G，则有 ＝ ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在△B 中，B＝＝13，B＝10，点D 为B 的中点，点F 在B 上，且BF＝ 2F，F 与D 交于点E，则E＝ 6 ． 解：（1）补充的证明过程如下： ∵G∥BD， ∴△GE∽△DE． ∴ ， ∴ ； （2）根据梅涅劳斯定理得： ． 又∵ ， ， ∴DE＝E． 在Rt△BD 中，B＝13，BD＝5，∠DB＝90°，则由勾股定理知：D＝ ＝ ＝12． ∴E＝6． 故答是：6． 考点二：塞瓦定理 【例2】．如图：P，Q，R 分别是△B 的B，，B 边上的点．若P，BQ，R 相交于一点M， 求证： ． 证明：如图，由三角形面积的性质，有 ， ， ． 以上三式相乘，得 ． 变式训练 【变式2-1】．请阅读下列材料，并完成相应任务 如图，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边D，E，F 于，则 × × ＝1． 任务：（1）当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点； （2）若△B 为等边三角形，B＝12，E＝4，点D 是B 边的中点，求BF 的长． 解：（1）证明： ∵D，E 分别为边B，的中点， ∴BD＝D，E＝E， ∴ ， 由塞瓦定理，得 ， ∴ ， ∴F＝BF， ∴点F 为B 的中点； （2）解：∵△B 为等边三角形，B＝12， ∴B＝＝B＝12， ∵E＝4， ∴E＝12 4 ﹣＝8， ∵点D 是B 的中点， ∴BD＝D＝6， ∵B＝12， ∴F＝B﹣BF＝12﹣BF， 由赛瓦定理，得 ， ∴ ， ∴BF＝8． 【变式2-2】．请阅读下列材料，并完成相应任务 塞瓦定理 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于D，E， F，则 ． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来 进行三点共线、三线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基 本定理，具有重要的作用． 任务解决： （1）如图2，当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点； （2）若△B 为等边三角形（如图3），B＝12，E＝4，点D 是B 边的中点，求BF 的长， 并直接写出△BF 的面积． （1）证明：∵点D，E 分别为边B，的中点， ∴BD＝D，E＝E， 由赛瓦定理可得： ， ∴ ， ∴F＝BF， 即点F 为B 的中点； （2）∵△B 为等边三角形，B＝12， ∴B＝＝12， ∵点D 是B 边的中点， ∴BD＝D＝6， ∵E＝4， ∴E＝8， 由赛瓦定理可得：BF＝8； △BF 的面积为 ． 1．如图，在△B 中，M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，连接EM 并延长，交B 的延长 线于D，则 ＝（ ） ． B．2 ． D． 解：如图，过点作P∥B，交DE 于P， ∵P∥E， ∴△EM∽△PM， ∴ ＝ ， ∵M 是的中点， ∴M＝M， ∴P＝E， ∵E＝ B， ∴P＝ B， ∴P＝ BE， ∵P∥BE， ∴△DP∽△DBE， ∴ ＝ ＝ ， ∴BD＝3D， ∴B＝2D，即 ＝2． 故选：B． 2．如图，在△B 中，D、E 分别是B、上的点，D 与BE 相交于点G，若G：GD＝4：1， BD：D＝2：3，则E：E 的值是（ ） ． B． ． D． 解：过D 作D∥交BE 于， ∴△DG∽△EG，△BD∽△BE， ∴ ， ， ∴E＝4D，E＝ D， ∴ ， 故选：B． 3．如图，在△B 中，D 是B 边上的中线，F 是D 边上一点．射线F 交B 于点E，且 ， 则 等于 ． 解：如图：过点D 作DG∥E 交B 于G， ∵D 是B 边上的中线， ∴GD 是△BE 的中位线， ∴BD＝D，BG＝GE． ∵ ＝ ， ∴ ＝ ∵DG∥E， ∴ ＝ ＝ ． 故答是： ． 4．如图，在△B 中，点D 是B 边上的一点，且D＝3BD，连接D 并取D 的中点E，连接 BE，若∠D＝∠BED＝45°，且D＝6 ，则B 的长为 4 ． 解：如图，取D 中点F，连接EF，过点D 作DG⊥EF 于G，D⊥BE 于， 设BD＝， ∴D＝3BD＝3，B＝4， ∵点E 为D 中点，点F 为D 中点，D＝6 ， ∴DF＝ ，EF∥，DE＝3 ， ∴∠FED＝∠D＝45°， ∵∠BED＝45°， ∴∠FED＝∠BED，∠FEB＝90°， ∵DG⊥EF，D⊥BE， ∴四边形EDG 是矩形，DG＝D， ∴四边形DGE 是正方形， ∴DE＝ DG＝3 ，D∥EF， ∴DG＝D＝3， ∵D∥EF， ∴∠BD＝∠DFG， ∴△BD∽△DFG， ∴ ， ∴ ＝ ， ∴B＝2， ∴BD＝ ＝ ＝ ， ∴B＝4 ， 故答为：4 ． 5．如图，在△B 中，∠B＝90°，＝8 ，B＝16，D 是边B 的中线，过点作E⊥D 于点E， 连接BE 并延长交于点F，则D 的长是 16 ，EF 的长是 ． 解：过点G 作DG∥，交BF 于点G， ∵D 为B 的中点，B＝16， ∴D＝BD＝8， ∵∠B＝90°，＝8 ， ∴D＝ ＝16， s ∴∠D＝ ， ∴E＝ ＝ ， ∴E＝ ， ∴DE＝D﹣E＝4， ∵DG∥， ∴ ， 设DG＝x，则F＝2x，F＝ ， ∵DG∥， ∴∠DGE＝∠FE，∠EDG＝∠EF， ∴△DEG∽△EF， ∴ ， 即 ， 解得：x＝ ， ∴F＝2x＝ ∴BF＝ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴EF＝ ＝ ． 故答为：16， ． 6．如图，△B 中，D、E 是B 边上的点，BD：DE：E＝3：2：1，M 在边上，M：M＝1： 2，BM 交D、E 于、G，则B：G：GM 等于 51 ： 24 ： 10 ． 解： 过M 作MQ∥B 交E 于，交D 于F，交B 于Q， ∵BD：DE：E＝3：2：1， ∴设E＝，DE＝2，BD＝3， ∵MQ∥B， ∴△M∞△E， ∵M：M＝1：2， ∴ ＝ ＝ ， ∴M＝ ， 同理MF＝2，MQ＝4， ∵MQ∥B， ∴△MG∽△BEG， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ 同理 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ＝ ＝ ∴B：G：GM＝51：24：10， 故答为：51：24：10． 7．如图，▱BD 的对角线相交于点，在B 的延长线上任取一点E，连接E 交B 于点F．若B ＝，D＝，BE＝b，则BF＝ ． 解：取B 的中点M，连接M， ∵四边形BD 是平行四边形， ∴D∥B，B＝D， ∴M∥D∥B，M＝ D＝ ， ∴△EFB∽△EM， ∴ ， ∵B＝，D＝，BE＝b， ∴ME＝MB+BE＝ B+BE＝ +b， ∴ ， ∴BF＝ ． 故答为： ． 8．在△B 中，∠B＝90°，＝B，M 为B 边上的中线，D⊥M 于点D，D 的延长线交于点，求 的值． 解：过点B 作BF⊥B，交E 的延长线于点F， ∵∠B＝90°，＝B， ∴∠BF+∠D＝90°， 又∵BF⊥B，D⊥M， ∴∠BF+∠F＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝∠F，∠BF＝∠D， ∴△M≌△BF（S）， ∴BF＝M， 又∵M 为B 边上的中线， ∴BF＝M＝ B， ∵∠E＝∠BEF， ∴△E∽△BFE， ∴ ＝2． 9．如图，在△B 中，M 是的中点，E、F 是B 上的两点，且BE＝EF＝F，求B：Q：QM 的 值． 解：连接MF，如图， ∵M 是的中点，EF＝F， ∴MF 为△E 的中位线， ∴E＝2MF，E∥MF， ∵E∥MF， ∴ ＝ ＝1， ＝ ＝ ， ∴B＝M，MF＝2F， 设B＝，E＝b，则M＝，MF＝2b，E＝4b， ∴＝3b， ∵∥MF， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴Q＝ ，QM＝ ， ∴B：Q：QM＝： ： ＝5：3：2． 10．如图，△B 中，∠B＝90°，D⊥B 于点D，E 为B 上一点，E 交D 于点F，E⊥B 于点，若 F＝2FD，E＝ ，求E•BE 的值． 解：对于△BD 和截线FE，由梅涅劳斯定理可知： ， ∵F＝2FD， ∴ ， ∴ ， 易知△D∽△EB， ∴ ， ∴ ， 由射影定理可知2＝D•B， ∴BE•E＝ ＝ ＝ ， ∵E＝ ， ∴BE•E＝4． 11．如图，△B 中，D⊥B 于点D，E 是B 上一点，连接DE，2 + ∠∠BDE＝180°． （1）求证：∠BDE＝2∠D； （2）若＝BD，∠ED＝∠B，求证BE＝2D； （3）若E＝kBE，BD＝mD，则 的值为 ． （用含m，k 的式子表示）． （1）证明：∵2 + ∠∠BDE＝180°， + ∴∠ ∠BDE＝90°， ∵D⊥B， + ∴∠∠D＝90°， ∴∠D＝ ∠BDE， ∴∠BDE＝2∠D； （2）证明：如图，延长DE 至F，使DF＝BD，连接BF，在DB 上截取DG＝D，连接 G， ∵D⊥B， ∴∠D＝∠DG＝90°， 在△D 和△DG 中， ， ∴△D≌△DG（SS）， ∴G＝，∠GD＝∠D，∠G＝∠B， ∴∠G＝2∠D， ∵∠BDF＝2∠D， ∴∠BDF＝∠G， ∵＝BD， ∴＝BD＝G＝DF， ∴△BDF≌△G（SS）， ∴BF＝G，∠DFB＝∠G＝∠B， ∵∠ED＝∠B，∠ED＝∠BEF， ∴∠DFB＝∠BEF， ∴BF＝BE， ∴BE＝G， ∵G＝2D， ∴BE＝2D； （3）解：如图，记G 与DE 的交点为，设D＝y，则BD＝my， 延长DE 至F，使DF＝BD＝my，连接BF，在DB 上截取DG＝D＝y，连接G， 则G＝D＝2y， 由（2）知，△D≌△DG， ∴＝G，∠D＝∠GD， ∴∠G＝2∠D， 由（1）知，∠BDE＝2∠D， ∴∠BDE＝∠G， ∵DF＝BD，＝G， ∴ ， ∵△DBF∽△G， ∴∠DBF＝∠G， ∴G∥BF， ∴△DG∽△DFB， ∴ ， ∴D＝DG＝y， ∵G∥BF， ∴△BEF∽△E， ∴ ， ∵E＝kBE， ∴ ＝ ＝ ， ∴E＝kEF， ∵DF＝D+E+EF＝y+kEF+EF＝my， ∴EF＝ ， ∴E＝ ， ∴DE＝E+D＝ +y＝ ， ∴ ＝ ＝ ， 故答为： ． 12．如图1，Rt△B 中，∠B＝90°，D 是中线，BE⊥D，垂足为E，点F 在D 上，∠F＝ ∠DBE． （1）求证：∠BD＝∠FD； （2）探究线段F，DE 的数量关系，并证明你的结论； （3）如图2，延长BE 交F 于点P，B＝ F，求 的值． （1）证明：设∠DBE＝∠FD＝α， ∵BE⊥D， ∴∠BED＝90°， ∴∠DB+α＝90°， 又∵∠B＝90°，D 是中线， ∴D＝BD＝D， ∴∠BD＝∠BD， ∴∠DB+2∠BD＝180°， 2 ∴∠BD＝90°+α， 又∵∠FD＝∠D+∠F＝∠D+α＝90°﹣∠BD+α＝2∠BD﹣∠BD＝∠BD， ∵∠BD＝∠BD， ∴∠BD＝∠FD； （2）解：F＝2DE． 理由：过点作M⊥D 交D 的延长线于点M， ∵D 是中线， ∴BD＝D， ∵∠MD＝∠BED＝90°，∠DM＝∠BDE， ∴△DM≌△BDE（S）， ∴DM＝DE，M＝BE， 又∵∠BD＝∠FM，∠EB＝∠MF， ∴△MF≌△BE（S）， ∴E＝MF， ∴E﹣EF＝MF﹣EF， ∴F＝EM， 又∵EM＝2DE， ∴F＝2DE； （3）解：过点作M⊥D 交D 的延长线于点M， 由（2）可知，F＝2DE，D＝D，设DE＝x，则F＝2x， ∵B＝ F， ∴B＝2 x， ∴B＝2 x， 设EF＝y， ∴E＝y+2x，D＝D＝y+3x， 由（2）可知，BE＝M， ∴B2﹣E2＝D2﹣DM2， ∴ ＝（y+3x）2﹣x2， 解得y＝3x，y＝﹣8x（舍去）， ∴E＝5x， ∵∠BDE＝∠FE，∠EB＝∠PEF， ∴△BE∽△PEF， ∴ ． 13．如图1，△B 中，B＝，点D 在B 的延长线上，点E 在B 上，DE＝D，点F 是DE 与的 交点，且DF＝FE． （1）图1 中是否存在与∠BDE 相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在， 说明理由； （2）求证：BE＝E； （3）若将“点D 在B 的延长线上，点E 在B 上”和“点F 是DE 与的交点，且DF＝ FE”分别改为“点D 在B 上，点E 在B 的延长线上”和“点F 是ED 的延长线与的交点， 且DF＝kFE”，其他条件不变（如图2）．当B＝1，∠B＝时，求BE 的长（用含k、的式 子表示）． 解：（1）∠D＝∠BDE． 证明：∵B＝，D＝DE， ∴∠B＝∠B，∠DE＝∠DE． ∴∠BDE＝∠DE﹣∠DB＝∠DE﹣∠B＝∠D． （2）过点E 作EG∥，交B 于点G，如图1， 则有∠D＝∠DGE． 在△D 和△EDG 中， ∴△D≌△EDG（S）． ∴D＝EG，＝DG． ∴DG＝B． ∴D＝BG． ∵F∥EG，DF＝EF， ∴D＝G． ∴G＝BG． ∵EG∥， ∴BE＝E． （3）过点E 作EG∥，交B 的延长线于点G，如图2， ∵B＝，D＝DE， ∴∠B＝∠B，∠DE＝∠DE． ∴∠BDE＝∠DB﹣∠DE＝∠B﹣∠DE＝∠D． ∵∥EG， ∴∠D＝∠DGE． 在△D 和△EDG 中， ∴△D≌△EDG（S）． ∴D＝EG，＝DG ∴DG＝B＝1． ∵F∥EG， ∴△DF∽△GDE． ∴ ． ∵DF＝kFE， ∴DE＝EF﹣DF＝（1﹣k）EF． ∴ ． ∴D＝ ． ∴GE＝D＝ ． 过点作⊥B，垂足为，如图2， ∵B＝，⊥B， ∴B＝． ∴B＝2B． ∵B＝1，∠B＝α， ∴B＝B•s∠B＝sα． ∴B＝2sα． ∵∥EG， ∴△B∽△GBE． ∴ ． ∴ ． ∴BE＝ ． ∴BE 的长为 ． 14．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 塞瓦（Gvev，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678 年发表的 《直线论》一书，塞瓦定理是指如图1，在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于 D，F，E，则 ． 下面是该定理的部分证明过程： 如图2，过点作B 的平行线分别交BE，F 的延长线于点M，．则∠＝∠FB，∠F＝∠FB． ∴△F∽△BF． ∴ ①． 同理可得△∽△D． ∴ ②． 任务一： （1）请分别写出与△M，△ME 相似的三角形； （2）写出由（1）得到的比例线段； 任务二：结合①②和（2），完成该定理的证明； 任务三：如图3，△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝3，D⊥B，垂足为D，点E 为D 的中点， 连接E 并延长，交B 于点F，连接BE 并延长，交于点G．小明同学自学了上面定理之 后解决了如图3 所示的问题，并且他用所学知识已经求出了BF 与F 的比是25：16，请 你直接写出△EG 与△EG 面积的比． 解： 任务一： （1）△M∽△BD；△ME∽△BE； （2） ； ； 任务二： 证明： 如图所示： 由任务一可得： ； ； 同理可得△∽△D；△F∽△BF； ∴ ； ； ∴ ； ∴ ． 任务三： 由任务一和任务二可得： 在△B 中， ＝1； Rt ∵ △B 中，＝4，B＝3， ∴B＝ ； s ∴∠B＝ ； ∴ ； ∴D＝ ； ∴BD＝B﹣D＝ ； ∵ ＝1； ∴ ＝1； 解得 ＝ ； 过点E 作E⊥于； ∴ ＝ ＝ ＝ ． 15．问题提出 如图（1），在△B 中，B＝，D 是的中点，延长B 至点E，使DE＝DB，延长ED 交B 于 点F，探究 的值． 问题探究 （1）先将问题特殊化．如图（2），当∠B＝60°时，直接写出 的值； （2）再探究一般情形．如图（1），证明（1）中的结论仍然成立． 问题拓展 如图（3），在△B 中，B＝，D 是的中点，G 是边B 上一点， ＝ （＜2），延长B 至点E，使DE＝DG，延长ED 交B 于点F．直接写出 的值（用含的式子表示）． 解：（1）如图，取B 的中点G，连接DG， ∵点D 是的中点， ∴DG 是△B 的中位线， ∴DG∥B， ∵B＝，∠B＝60°， ∴△B 是等边三角形， ∵点D 是的中点， ∴∠DB＝30°， ∵BD＝ED， ∴∠E＝∠DB＝30°， ∴DF⊥B， ∵∠GD＝∠DG＝60°， ∴△DG 是等边三角形， ∴F＝ G， ∵G＝ B， ∴F＝ B， ∴ ； （2）取B 的中点，连接D， ∵点D 为的中点， ∴D∥B，D＝ B， ∵B＝， ∴D＝D， ∴∠D＝∠D， ∵BD＝DE， ∴∠DB＝∠DE， ∴∠BD＝∠ED， ∴△DB≌△DE（S）， ∴B＝E， ∴ ， ∵D∥B， ∴△ED∽△EFB， ∴ ， ∴ ， ∴ ； 问题拓展 取B 的中点，连接D， 由（2）同理可证明△DG≌△DE（S）， ∴G＝E， ∴E＝G， ∵ ＝ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵D∥B