专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型（解析版）

专题21 相似模型之梅涅劳斯（定理）模型与塞瓦（定理）模型 梅内劳斯（Meelus，公元98 年左右），是希腊数学家兼天文学家，梅涅劳斯定理是平面几何中的 一个重要定理。 梅涅劳斯（定理）模型：如图1，如果一条直线与 的三边B、B、或其延长线交于F、D、E 点，那 么 ．这条直线叫 的梅氏线， 叫梅氏三角形． 梅涅劳斯定理的逆定理：如图1，若F、D、E 分别是 的三边B、B、或其延长线的三点，如果 ，则F、D、E 三点共线． 图1 图2 塞瓦（G·Gev1647-1734）是意大利数学家兼水利工程师．他在1678 年发表了一个著名的定理，后 世以他的名字来命名，叫做塞瓦定理。 塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△B 内任取一点G，延长G、BG、G 分别交对边于D、E、F， 如图2，则 。 注意：①梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）区别是塞瓦定理的特征是三线共点，而梅涅劳斯定理的特征是 三点共线；②我们用梅涅劳斯（定理）与塞瓦（定理）解决的大部分问题，也添加辅助线后用平行线分线 段成比例和相似来解决。 例1（2023 浙江九年级期中）如图，在 中，D 为中线，过点任作一直线交B 于点F，交D 于点E， 求证： ． 【解析】∵直线FEC 是 ABD △ 的梅氏线，∴ 1 AE DC BF ED BC FA   ． 而 1 2 DC BC  ，∴ 1 1 2 AE BF ED FA  ，即 2 AE AF ED BF  ． 【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线． 例2（2023 重庆九年级月考）如图，在 中， ， ．M 为B 边上的中线， 于点D，D 的延长线交B 于点E．求 ． 【解析】∵F 是 的梅氏线，由题设，在 中， ， ， 由射影定理 2 2 4 AD AD AM AC DM DM AM CM      ．对 和截线ED，由梅涅劳斯定理， 1 AE BC MD EB CM DA   ，即 2 1 1 1 4 AE EB ．∴ 2 AE EB ． 【点睛】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线． 例3（2023 湖北九年级期中）如图，点D、E 分别在 的边、B 上， ， ，BD 与E 交 于点F， ．求 ． F D E C B A 【解析】对 和截线 ，由梅氏定理得： ， 即 ，∴ ．∴ ． ∴ ． 【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题． 例4（2023 江苏九年级月考）已知D 是 的高，点D 在线段B 上，且 ， ，作 于点E， 于点F，连接EF 并延长，交B 的延长线于点G，求G． 【解析】如图，设 ，EFG 是 的梅氏线．则由梅涅劳斯定理 ． 显然的 ， ，于是 ，得 ． 【点睛】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合． 例5（2023 广东九年级专项训练）如图，在 中， 的外角平分线与边B 的延长线交于点P， 的平分线与边交于点Q， 的平分线与边B 交于点R，求证：P、Q、R 三点共线． 【解析】P 是 的外角平分线，则 ① BQ 是 的平分线，则 ② R 是 的平分线，则 ③ 得 ， 因R 在B 上，Q 在上，P 在B 的延长线上， 则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R 三点共线． 【点睛】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用． 例6．（2023 上·广东深圳·九年级校联考期中）梅涅劳斯（Meelus）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳 斯定理，定理的内容是：如图1，如果一条直线与 的三边 或它们的延长线交于 三点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图2，过点 作 ，交 的延长线于点 ，则有 ， ， ∴ ， ． 请用上述定理的证明方法解决以下问题： （1）如图3， 三边 的延长线分别交直线于 三点，证明： ． 请用上述定理的证明方法或结论解决以下问题：（2）如图4，等边 的边长为3，点 为 的中 点，点 在 上，且 与 交于点 ，试求 的长．（3）如图5， 的面积为4，F 为 中点，延长 至 ，使 ，连接 交 于 ，求四边形 的面积． 【答】（1）详见解析；（2） ；（3） 【分析】(1) 过点 作 交 于点 ，根据平行线分线段成比例定理列出比例，化简计算即可． (2) 根据定理，勾股定理，等边三角形的性质解答即可．(3) 根据定理，计算比值，后解答即可． 【详解】（1）证明：如图，过点 作 交 于点 ， 则 ．故： ． （2）解：如图，根据梅涅劳斯定理得： ． 又 ，∴ ， ．在等边 中， ，点 为 的中点， ． 由勾股定理知： ． （3）解： 线段 是 的梅氏线， 由梅涅劳斯定理得， ，即 ，则 ．如图，连接 ， ，于是 ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，等边三角形的性质，三角形面积的计算，熟练 掌握定理是解题的关键． 例7．（2023 山东九年级月考）如图：P，Q，R 分别是△B 的B，，B 边上的点．若P，BQ，R 相交于一点 M，求证： ． 证明：如图，由三角形面积的性质， 有 ， ， ．以上三式相乘，得 ． 例8 （2023 浙江九年级期中）如图，在锐角△B 中，D 是B 边上的高线，是线段D 内任一点，B 和的延长线 分别交、B 于E、F，求证：∠ED=∠FD。 【详解】证明：过点作PQ//B，与DF，DE 的延长线分别交于点P、Q，则D⊥PQ。 对△B 和点应用赛瓦定理可得： ． ∵PQ//B，∴ ,∴ ,∴P=Q 根据垂直平分线，∴PD=QD，∴△PQD 是等腰三角形，∴∠ED=∠FD。 点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键． 例9（2023 北京九年级月考如图，四边形BD 的对边B 和D，D、B 分别相交于L、K，对角线与BD 交 于点M，直线KL 与BD，分别交于F、G，求证： 对△DKL 和点B 应用赛瓦定理可得： ．① 对 和截线 ，由梅氏定理得： ② 由①②得： 点评：本题考查了赛瓦定理，要熟练掌握定理的内容，是解此题的关键． 例10．（2022·山西晋中·统考一模）请阅读下列材料，并完成相应任务： 塞瓦定理：塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》，是意大利数学家塞瓦的重大发现．塞瓦是意大利伟大 的水利工程师，数学家． 定理内容：如图1，塞瓦定理是指在 内任取一点 ，延长，B，分别交对边于D，E，F，则 ． 数学意义：使用塞瓦定理可以进行直线形中线段长度比例的计算，其逆定理还可以用来进行三点共线、三 线共点等问题的判定方法，是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理，具有重要的作用． 任务解决：(1)如图2，当点D，E 分别为边B，的中点时，求证：点F 为B 的中点；(2)若 为等边三角 形（图3）， ， ，点D 是B 边的中点，求BF 的长，并直接写出 的面积． 【答】(1)证明见解析(2) ； 的面积为 【分析】（1）根据塞瓦定和中点的性质即可求解； （2）根据塞瓦定和等边三角形的性质即可求出BF，然后过点F 作FG⊥B 于G，证明 ，可 求出D，从而求出△B 的面积，然后根据 可求△BF 的面积，从而得解． 【详解】（1）证明：在 中，∵点D，E 分别为边B，的中点，∴ ， ． 由赛瓦定理可得： ．∴ ，∴ ．即点F 为B 的中点； （2）解：∵ 为等边三角形， ，∴ ∵点D 是B 边的中点，∴ ， ∵ ，∴ ．由赛瓦定理可得： ；过点F 作FG⊥B 于G， ∴ ， ，∴G=B-BG=8， ∵B=，BD=D，∴D⊥B，∴ ，∴ ， ∴ ，即 ，∴ ，∴ ， ∵B=12，BF=8，∴F=B-BF=4，∴ ，∴ 又 ，∴ ，∴ ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、中点的性质、等边三角形的性质，读懂题意，学会运用塞 瓦定理是解题的关键． 课后专项训练 1．（2023 广东九年级期中）如图，在△B 中，M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，连接EM 并延长，交 B 的延长线于D，则 ＝（ ） ． B．2 ． D． 解：法1：对 和截线 ，由梅氏定理得： ， ∵M 是的中点，E 是B 上一点，E＝ B，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，故选B 法2：如图，过点作P∥B，交DE 于P， ∵P∥E，∴△EM∽△PM，∴ ＝ ， ∵M 是的中点，∴M＝M，∴P＝E， ∵E＝ B，∴P＝ B，∴P＝ BE， ∵P∥BE，∴△DP∽△DBE，∴ ＝ ＝ ， ∴BD＝3D，∴B＝2D，即 ＝2．故选：B． 2（2023 浙江九年级期中）如图，D、E、F 内分正△B 的三边B、B、均为1：2 两部分，D、BE、F 相交成 的△PQR 的面积是△B 的面积的（ ） ． B． ． D． 解：对△D 用梅涅劳斯定理可以得： • • ＝1，则 ＝ ． 设S△BF＝ ，S△BQ＝ S△BE＝ ，SBPRF＝ S△BD＝ ， ∴S△PQR＝S△BF﹣S△BQ﹣SBPRF＝ S△B．故选：D． 3．（广东2023-2024 学年九年级上学期月考数学试题）如图，在 中， ， ， ， ，垂足为D，E 为 的中点， 与 交于点F，则 的长为 ． 【答】 【分析】过点F 作 于，根据勾股定理求得 的值，根据三角形的面积求得 的值，根据勾股定 理求得 的值，根据相似三角形的判定和性质可得 ，设 ， ， ，根据 相似三角形的判定和性质可求得k 的值，即可求得 和 的值，根据勾股定理求得 的值，即可求 解． 【详解】解：如图，过点F 作 于． 在 中， ， ，则 ， ∵ ，∴ ，即 解得： ， 在 中， ， ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，设 ， ， ， ∵ ， ， ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ， ∴ ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和 性质是解题的关键． 4．（2022 年山西中考一模数学试题）如图，在 中， ， ， ． 是 边上的中线．将 沿 方向平移得到 ． 与 相交于点 ，连接 并延长，与边 相 交于点 ．当点 为 的中点时， 的长为 ． 【答】 / 【分析】则E 为 的中点，得 为 的中点，证明 ，推出 ，在 中，利用勾股定理求得 ，再根据相似比即可求解． 【详解】解：∵由平移的性质得 ， ， ∴E 为 的中点， ，∴ ，∴ 为 的中点， ∵D 是 边上的中点，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ， ，∴ ， 在 中， ， ∵ ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平移的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识 解决问题． 5．（2022 年山西省太原市九年级下学期一模数学试题）如图， 为 的直径，为 上一点， 的 切线 交 的延长线于点D，E 为 的中点， 交 的延长线于点F．若 ， ，则 的长为 ． 【答】 / 【分析】连接，B，根据 为 的直径，可得∠B=∠BD=90°，再由E 为 的中点，可得E=BE=DE，从 而得到∠BE=∠BE，然后根据切线的性质可得∠BD=90°，再由=B，可得∠F=90°，然后根据 ，可得 △B 是等边三角形，进而得到∠=30°，∠BD=30°，最后根据锐角三角函数，即可求解． 【详解】解：如图，连接，B， ∵ 为 的直径，∴∠B=∠BD=90°，∵E 为 的中点，∴E=BE=DE，∴∠BE=∠BE， ∵ 是 的切线，∴∠BD=90°，即∠BD+∠B=90°， = ∵B，∴∠B=∠B，∴∠B+∠BE=∠B+∠BD=90°，即∠F=90°， ∵ ，∴B=B=，∴△B 是等边三角形，∴∠B=∠B=60°，∴∠=30°，∠BD=30°， ∵ ，∴ ，∴ ，故答为： 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握相关知 识点是解题的关键． 6．（2023 年山西中考模拟百校联考数学试题）如图，在□BD 中，对角线，BD 相交于点， ， ， ， 的平分线分别交，B 于点E，F．则线段E 的长为 ． 【答】 【分析】由平行四边形的性质求出BD，再由勾股定理分别求出，D，再由角平分线与平行线的性质得到 ∠DF=∠FD，最后由△DE∽△FE 得 ，从而求出E 的长． 【详解】解：∵□BD，B=2，B=3，∴BD=2B=4，D B，D=B，D=B=3， ∵ ，∴∠B=90°，∴ ， ， ∴B=D=5，∵DF 平分∠D，∴∠DF=∠DF， ∵D B，∴∠DF=∠FD，∴∠DF=∠FD，∴F=D=3， ∵D B，∴△DE∽△FE，∴ ，∴ ，∴ ．故答为： ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质、勾股定理，难度适中，解题关键是正 确找出相似三角形． 7．（2023 下·浙江温州·八年级校考阶段练习）如图，等边△B 的边长为5，D 在B 延长线上，D＝3，点E 在 线段D 上，且E＝B，连接BE 交于F，则F 的长为 ． 【答】1 【分析】过点作G BD ⊥ 于点G，过点E 作E∥，交BD 于点，利用等边三角形的性质可求出BG 的长，利用勾 股定理求出G 的长，从而可得到DG 的长，再利用勾股定理求出D 的长，由此可求出DE 的长；再利用平行 线分线段成比例定理求出E，D 的长，再利用平行线分线段成比例定理求出F 的长． 【详解】解：过点作G BD ⊥ 于点G，过点E 作E∥，交BD 于点， B ∵△是等边三角形，∴ D ∵＝3 DG ∴ ＝G＋D＝25＋3＝55 在Rt GD △ 中， ；∴DE＝7－5＝2 E ∵∥，∴ 即 解之： F E ∵∥，∴ 即 解之：F＝1 故答为：1． 【点睛】本题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，掌握勾股定理求出线段长度，运用好平行线分线段 成比例是解题的关键． 8．（2023·重庆·八年级期中）如图， 的面积为 ， 、 分别是 ， 上的点，且 , ．连接 , 交于点 ,连接 并延长交 于点 ．则四边形 的面积为 ． 【答】 【分析】先画出图形,再作D∥E 交B 于,交于K，作DG∥B 交于G，由题推出EF:F=1:3，B:=1:2，求出 △BEF,△BF 的面积即可． 【详解】根据题意画出图形: 作D∥E 交B 于,交于K 作DG∥B 交于G， ∵D∥E,D=D，∴=E,K=KF，∴EF=2K,D=2EF,F=2DK， 设K=m,则EF=2m,D=4m,DK=3m,F=6m，∴EF:F=1:3， ∵E= 2BE，∴BE=E，∵EF∥D，∴BF=DF，∵GD∥B，∴∠GDF=∠FB， ∵∠GFD=∠FB,BF=DF，∴△DFG≌△BF（S），∴DG=B， ∵DG , ∥D=D，∴G=G，∴=2DG，∴B=2， ∵BE= B，∴S△BE= S△B= ，∵EG= E，∴S△BEF= S△BE= ,S△BF= ， ∵B= B，∴S△BF= × = ，∴S 四边形BEF= + = ． 【点睛】本题考查三角形的全等及辅助线的做法,关键在于通过辅助线将面积分成两个三角形面积求证． 9（2023 湖北九年级月考）如图所示， 被通过它的三个顶点与三角形内一点的三条直线分为6 个小 三角形，其中三个小三角形的面积如图所示，则 的面积为 ． 【解析】有题意知： ， 对 和截线 ，由梅氏定理得： ，即 ，∴ ，∴ ∴ 【点睛】这道题主要考查梅氏定理和面积问题． 10．（2023 上·河南洛阳·九年级期末）小明在上学习了梅涅劳斯定理之后，编制了下面一个题，请你解 答．已知△B，延长B 到D，使D=B．取B 的中点F，连结FD 交于点E． (1)求 的值；(2)若B＝，FB＝E，求的长． 【答】(1) (2)的长为 ． 【分析】（1）过点F 作FM∥，交B 于点M．根据平行线分线段成比例定理分别找到E，E 与FM 之间的关 系，得到它们的比值；（2）结合（1）中的线段之间的关系，进行求解． 【详解】（1）解：过点F 作FM∥，交B 于点M， ∵F 为B 的中点，∴M 为B 的中点，FM= ．∵D=B，∴M= D，∴ ， ∵FM∥，∴∠ED=∠MFD，∠ED=∠FMD．∴△FMD∽△ED． ∴ ．∴ ．∴ ； （2）解：∵点F 是B 的中点，B=，∴FB= B= ． ∵FB=E，∴E= ．由（1）知， ，∴= E= × = ，即的长为 ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，作出平行线构造出相似三 角形是解本题的关键． 11．（2023·江西景德镇·九年级校考期末）如图， 三边 ， ， 的延长线分别交直线于 ， ， 三点，证明： ．（即证明梅涅劳斯定理的其中一种形式） 【答】见解析 【分析】连接Y、X ，设到XZ 的距离为1，到XZ 的距离为2，再根据“两个三角形等高时面积之比等于底 边之比”的性质，分别列出 、 、 ，再计算即可 【详解】证明：如图，连接Y、X 设到XZ 的距离为1，到XZ 的距离为2 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，作出辅助线，通过面积写出线段比是解题关键 12．（2023 上·山西临汾·九年级统考期末）梅涅劳斯定理 梅涅劳斯（ ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果 一条直线与 的三边B，B，或它们的延长线交于F、D、E 三点，那么一定有 ． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作 ，交DF 的延长线于点G，则有 ． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在 中， ， ，点D 为B 的中点，点F 在B 上，且 ，F 与D 交于点E，则 ________． 【答】（1）见解析；（2）6 【分析】（1）由题意可得 ，然后根据比例的性质可进行求证；（2）由（1）可得 ，进而由题意易得 ， ，然后可得 ，则由勾股定理可得 ， 最后问题可求解． 【详解】解：（1）补充的证明过程如下： ， ， ； （2）根据梅涅劳斯定理得 ， ∵点D 为B 的中点， ， ， ， ， ∵ ， ，∴D B ⊥，BD=5， ∴在 中， ， ．故答为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（2021·山西·校联考模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 塞瓦（Gvev，1648～1734）意大利水利工程师，数学家，塞瓦定理载于1678 年发表的《直线论》一书， 塞瓦定理是指如图1，在△B 内任取一点，延长，B，分别交对边于D，F，E，则 ．下面是 该定