模型19 费马点最值模型（解析版）

费马点问题思考： 如何找一点P 使它到△B 三个顶点的距离之和P+PB+P 最小？ ，当B、P、Q、E 四点共线时取 得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对3 边张角均为120°的点，是三角形的费马 点。 费马点的性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120° 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题 的方法是运用旋转变换． R 秘诀：以△ B 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 模型探究 【例1】．已知，在△B 中，∠B＝30° （1）如图1，当B＝＝2，求B 的值； （2）如图2，当B＝，点P 是△B 内一点，且P＝2，PB＝ ，P＝3，求∠P 的度数； （3）如图3，当＝4，B＝ （B＞），点P 是△B 内一动点，则P+PB+P 的最小值为 ． 解：（1）如图1 中，作P⊥B 于P． ∵B＝，P⊥B， ∴BP＝P， 在Rt△P 中，∵＝2，∠＝30°， ∴P＝•s30°＝ ， ∴B＝2P＝2 ． （2）如图2 中，将△PB 绕点逆时针旋转120°得到△Q． ∵B＝，∠＝30°， ∴∠B＝120°， ∴P＝Q＝2，PB＝Q＝ ， ∵∠PQ＝120°， ∴PQ＝2 ， 例题精讲 ∴PQ2+P2＝Q2， ∴∠QP＝90°， ∵∠PQ＝30°， ∴∠P＝30°+90°＝120°． （3）如图3 中，将△BP 绕点逆时针旋转60°得到△B′P′，连接PP′，B′，则∠B′＝90°． ∵P+PB+P＝P+PP′+P′B′， ∴当，P，P′，B′共线时，P+PB+P 的值最小，最小值＝B′的长， 由B＝ ，＝4，∠＝30°，可得B＝B′＝3 ， ∴B′＝ ＝ ． 故答为 ． 变式训练 【变式1-1】如图， 是边长为1 的等边 内的任意一点，求 的取 值范围 解：将 绕点 顺时针旋转60°得到 ， 易知 为等边三角形 从而 （两点之间线段最短），从而 过 作 的平行线分别交 于点 ， 易知 因为在 和 中， ①， ②。 又 ，所以 ③ + + ①②③可得 ， 即 综上， 的取值范围为 【变式1-2】．已知点P 是△B 内一点，且它到三角形的三个顶点距离之和最小，则P 点叫 △B 的费马点（Fermtpt）．已经证明：在三个内角均小于120°的△B 中，当∠PB＝∠P＝ ∠BP＝120°时，P 就是△B 的费马点．若点P 是腰长为 的等腰直角三角形DEF 的费马 点，则PD+PE+PF＝ +1 ． 解：如图：等腰Rt△DEF 中，DE＝DF＝ ， 过点D 作DM⊥EF 于点M，过E、F 分别作∠MEP＝∠MFP＝30°， 则EM＝DM＝1， 故s30°＝ ， 解得：PE＝PF＝ ＝ ，则PM＝ ， 故DP＝1﹣ ， 则PD+PE+PF＝2× +1﹣ ＝ +1． 故答为： +1． 【变式1-3】．如图，P 为正方形BD 对角线BD 上一动点，若B＝2，则P+BP+P 的最小值 为______ 解：如图将△BP 绕点顺时针旋转60°得到△EF，当E、F、P、共线时，P+PB+P 最小． 理由：∵P＝F，∠PF＝60°， ∴△PF 是等边三角形， ∴P＝PF＝F，EF＝PB， ∴P+PB+P＝EF+PF+P， ∴当E、F、P、共线时，P+PB+P 最小， 作EM⊥D 交D 的延长线于M，ME 的延长线交B 的延长线于，则四边形BM 是矩形， 在RT△ME 中，∵∠M＝90°，∠ME＝30°，E＝2， ∴ME＝1，M＝B＝ ，M＝B＝2，E＝1， ∴E＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ + ． ∴P+PB+P 的最小值为 + ． 【例2】如图，P 是边长为2 的正方形BD 内一动点，Q 为边B 上一动点，连接P、PD、 PQ，则P+PD+PQ 的最小值为________ 解：如图，将△PD 绕点逆时针旋转60°得到△FE， ∴P＝F，∠PF＝60°＝∠ED，E＝D， ∴△FP 是等边三角形，△ED 是等边三角形， ∴P＝PF＝F， 作E⊥B 于，交D 于G． ∴∠EG＝30°， ∴G＝1，EG＝ ∵P+PD+PQ＝EF+FP+PQ， ∴当点Q，点F，点E，点Q 四点共线且垂直B 时，P+PD+PQ 有最小值为E， ∵G＝B＝2， ∴E＝2+ ， ∴P+PD+PQ 的最小值 +2 变式训练 【变式2-1】．如图，已知矩形BD，B＝4，B＝6，点M 为矩形内一点，点E 为B 边上任 意一点，则M+MD+ME 的最小值为（ ） ．3+2 B．4+3 ．2+2 D．10 解：将△MD 绕点逆时针旋转60°得到△M’D’，MD＝M’D’，易得到△DD’和△MM’均为等 边三角形， ∴M＝MM’， ∴M+MD+ME＝D’M+MM’+ME， ∴D′M、MM′、ME 共线时最短， 由于点E 也为动点， ∴当D’E⊥B 时最短，此时易求得D’E＝DG+GE＝4+3 ， ∴M+MD+ME 的最小值为4+3 ． 【变式2-2】．如图，已知正方形BD 内一动点E 到、B、三点的距离之和的最小值为1+ ，则这个正方形的边长为 ． 解：以为旋转中心，将△BE 顺时针旋转60°得到△M，连E，MB，过M 作MP⊥B 交B 的 延长线于P 点，如图， ∴M＝BE，＝E，∠E＝60°， ∴△E 为等边三角形， ∴E＝E， ∴E+EB+E＝M+E+E， 当E+EB+E 取最小值时，折线ME 成为线段，则M＝1+ ， ∵B＝M，∠BM＝60°， ∴△BM 为等边三角形， ∴∠MB＝150°，则∠PBM＝30°， 在Rt△PM 中，设B＝x，PM＝ x， ∴（1+ ）2＝（ x）2+（ x+x）2 所以x＝ ， ∴B＝ ， 即正方形的边长为 ， 故答为： ． 【变式2-3】．两张宽为3m 的纸条交叉重叠成四边形BD，如图所示，若∠α＝30°，则对 角线BD 上的动点P 到，B，三点距离之和的最小值是 6 m ． 解：如图，过D 作DE⊥B 于E，DF⊥B 于F，把△BP 绕点B 逆时针旋转60°得到△'BP′， 则DE＝DF＝3m， ∵∠α＝30°， ∴D＝2DE＝6m， ∵D∥B，B∥D， ∴四边形BD 是平行四边形， ∴B•DE＝B•DF， ∵DE＝DF， ∴B＝B， ∴平行四边形BD 是菱形， ∴B＝D＝D＝6m， 由旋转的性质得：′B＝B＝D＝6m，BP′＝BP，'P′＝P，∠P′BP＝60°，∠'B＝60°， ∴△P′BP 是等边三角形， ∴BP＝PP'， ∴P+PB+P＝'P′+PP'+P， 根据两点间线段距离最短可知，当P+PB+P＝'时最短， 连接'，与BD 的交点即为到，B，三点距离之和的最小的P 点， 则点P 到，B，三点距离之和的最小值是′． ∵∠B＝∠DE＝∠α＝30°，∠′B＝60°， ′ ∴∠B＝90°， ′ ∴＝ ＝ ＝6 （m）， 因此点P 到，B，三点距离之和的最小值是6 m， 故答为：6 m． 1．如图，正方形BD 内一点E，E 到、B、三点的距离之和的最小值为 ，正方形的 边长为_______． 解：以为旋转中心，将△BE 顺时针旋转60°得到△M，连E，MB，过M 作MP⊥B 交B 的 延长线于P 点，如图， ∴M＝BE，＝E，∠E＝60°， ∴△E 为等边三角形， ∴E＝E， ∴E+EB+E＝M+E+E， 当E+EB+E 取最小值时，折线ME 成为线段，则M＝ ， ∵B＝M，∠BM＝60°， ∴△BM 为等边三角形， ∴∠MB＝150°，则∠PBM＝30°， 在Rt△PM 中，设B＝x，PM＝ 所以 所以x＝2， ∴B＝2， 即正方形的边长为2． 2．如图，在边长为6 的正方形BD 中，点M，分别为B、B 上的动点，且始终保持BM＝． 连接M，以M 为斜边在矩形内作等腰Rt△MQ，若在正方形内还存在一点P，则点P 到 点、点D、点Q 的距离之和的最小值为 3+3 ． 解：设BM＝x，则B＝6﹣x， ∵M2＝BM2+B2， ∴M2＝x2+（6﹣x）2＝2（x 3 ﹣）2+18， ∴当x＝3 时，M 最小， 此时Q 点离D 最近， ∵BM＝B＝3， ∴Q 点是和BD 的交点， ∴Q＝DQ＝ D＝3 ， 过点Q 作QM′⊥D 于点M′，在△DQ 内部过、D 分别作∠M′DP＝∠M′P＝30°，则∠PD＝ ∠PQ＝∠DPQ＝120°，点P 就是费马点，此时P+PD+PQ 最小， 在等腰Rt△QD 中，Q＝DQ＝3 ，QM′⊥D， ∴M＝QM′＝ Q＝3， 故s30°＝ ， 解得：P＝2 ，则PM′＝ ， 故QP＝3﹣ ，同法可得PD＝2 ， 则P+PD+PQ＝2× +3﹣ ＝3+3 ， ∴点P 到点、点D、点Q 的距离之和的最小值为3+3 ， 故答为3+3 ． 3．如图，四个村庄坐落在矩形BD 的四个顶点上，B＝10 公里，B＝15 公里，现在要设立 两个车站E，F，则E+EB+EF+F+FD 的最小值为 公里． 解：如图1，将△EB 绕顺时针旋转60°得△G，连接B、EG，将△DF 绕点D 逆时针旋转60° 得到△DF'M，连接M、FF'， 由旋转得：B＝，E＝G，∠EG＝∠B＝60°，BE＝G， ∴△EG 和△B 是等边三角形，∴E＝EG， 同理得：△DFF'和△DM 是等边三角形，DF＝FF'，F＝F'M， ∴当、G、E、F、F'、M 在同一条直线上时，E+EB+EF+F+FD 有最小值，如图2， ∵＝B，DM＝M，∴M 是B 和D 的垂直平分线，∴M⊥B，M⊥D， ∵B＝10，∴△B 的高为5 ， ∴E+EB+EF+F+FD＝EG+G+EF+FF'+F'M＝M＝15+5 +5 ＝15+10 ， 则E+EB+EF+F+FD 的最小值是（15+10 ）公理．故答为：（15+10 ）． 4．如图，P 为等边三角形B 内一点，∠BP 等于150°，P＝5，PB＝12，求P 的长． 解：如图1，连接PP′， 将△BP 绕点顺时针旋转60°到△P′的位置，由旋转的性质，得P＝P′， ∴△PP′为等边三角形， 由旋转的性质可知∠P′＝∠BP＝150°， ∴∠P′P＝150° 60° ﹣ ＝90°， 又∵PP′＝P＝5，P′＝BP＝12， ∴在Rt△PP′中，由勾股定理，得P＝ ＝13． 故P＝13． 5．将△B 放在每个小正方形的边长为1 的格中，点B、落在格点上，点在B 的垂直平分线 上，∠B＝30°，点P 为平面内一点． （1）∠B＝ 度； （2）如图，将△P 绕点顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（尺规作图，保留痕迹）； （3）P+BP+P 的最小值为 ． 解（1）∵点在B 的垂直平分线上．∴B＝， ∴∠B＝∠B，∵∠B＝30°，∴∠B＝30°．故答为30°． （2）如图△′P′就是所求的三角形． （3）如图当B、P、P′、′共线时，P+PB+P＝PB+PP′+P′的值最小， 此时B＝5，＝′＝ ，B′＝ ＝ ．故答为 ． 6．如图1，P 是锐角△B 所在平面上一点．如果∠PB＝∠BP＝∠P＝120°，则点P 就叫做△B 费马点． （1）当△B 是边长为4 的等边三角形时，费马点P 到B 边的距离为 ． （2）若点P 是△B 的费马点，∠B＝60°，P＝2，P＝3，则PB 的值为 ． （3）如图2，在锐角△B 外侧作等边△B′，连接BB′．求证：BB′过△B 的费马点P． （1）解：延长P，交B 于D， ∵B＝＝B，∠PB＝∠BP＝∠P＝120°， ∴P 为三角形的内心， ∴D⊥B，BD＝D＝2，∠PBD＝30°， ∴BP＝ ＝ ， ∴P＝BP＝ ， ∵D＝ ＝2 ， ∴PD＝D﹣P＝2 ﹣ ＝ ， 故答为： ． （2）解：（1）∵∠PB+∠PB＝180°﹣∠PB＝60°， ∠PB+∠PB＝∠B＝60°， ∴∠PB＝∠PB， 又∵∠PB＝∠BP＝120°， ∴△BP∽△BP， ∴ ＝ ， ∴PB2＝P•P，即PB＝ ＝ ， 故答为： ． （3）证明：在BB′上取点P，使∠BP＝120° 连接P，再在PB′上截取PE＝P，连接E． ∵∠BP＝120°， ∴∠EP＝60°， ∴△PE 为正三角形． ∴P＝E，∠PE＝60°，∠EB′＝120° ∵△B′为正三角形， ∴＝B′，∠B′＝60° ∴∠P+∠E＝∠E+∠EB′＝60°，∠P＝∠EB′， ∴△P≌△B′E， ∴∠P＝∠B′E＝120°，P＝EB′， ∴∠PB＝∠P＝∠BP＝120°， ∴P 为△B 的费马点． ∴BB′过△B 的费马点P． 7．如图（1），P 为△B 所在平面上一点，且∠PB＝∠BP＝∠P＝120°，则点P 叫做△B 的费 马点． （1）若点P 是等边三角形三条中线的交点，点P 是 （填是或不是）该三角形的费 马点． （2）如果点P 为锐角△B 的费马点，且∠B＝60°．求证：△BP∽△BP； （3）已知锐角△B，分别以B、为边向外作正△BE 和正△D，E 和BD 相交于P 点． 如图（2） ①求∠PD 的度数； ②求证：P 点为△B 的费马点． 解：（1）如图1 所示： ∵B＝B，BM 是的中线， ∴MB 平分∠B． 同理：平分∠B，P 平分∠B． ∵△B 为等边三角形， ∴∠BP＝30°，∠BP＝30°． ∴∠PB＝120°． 同理：∠P＝120°，∠BP＝120°． ∴P 是△B 的费马点． 故答为：是． （2）∵∠PB+∠PB＝180°﹣∠PB＝60°，∠PB+∠PB＝∠B＝60°， ∴∠PB＝∠PB， 又∵∠PB＝∠BP＝120°， ∴△BP∽△BP． （3）如图2 所示： ①∵△BE 与△D 都为等边三角形， ∴∠BE＝∠D＝60°，E＝B，＝D， ∴∠BE+∠B＝∠D+∠B，即∠E＝∠BD， 在△E 和△BD 中， ∴△E≌△BD（SS）， 1 ∴∠＝∠2， 3 ∵∠＝∠4， ∴∠PD＝∠6＝∠5＝60°； ②证明：∵△DF∽△FP， ∴F•F＝DF•PF， ∵∠FP＝∠FD， ∴△FP∽△DF． ∴∠PF＝∠D＝60°， ∴∠P＝∠PD+∠PF＝120°， ∴∠BP＝120°， ∴∠PB＝360°﹣∠BP﹣∠P＝120°， ∴P 点为△B 的费马点． 8．定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离之和最小的点 叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的 “最近值”． 【基础巩固】 （1）如图1，在等腰Rt△B 中，∠B＝90°，D 为B 边上的高，已知D 上一点E 满足∠DE ＝60°，＝ ，求E+BE+E＝ 12+ ； 【尝试应用】 （2）如图2，等边三角形B 边长为 ，E 为高线D 上的点，将三角形E 绕点逆时针 旋转60°得到三角形FG，连接EF，请你在此基础上继续探究求出等边三角形B 的“最 近值”； 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形BD 中，过B 的中点E 作B 垂线交D 的延长线于点F，连接、DB， 已知∠BD＝75°，B＝6，求三角形FB“最近值”的平方． 解：（1）∵B＝，∠B＝90°，＝ ， ∴BD＝D＝D＝ ， ∵∠DE＝60°， ∴DE＝ ＝4， ∴E＝D﹣DE＝ ，E＝BE＝2DE＝8， ∴E+BE+E＝ +8×2＝12+ ； 故答为：12+ ； （2）由题意可得：E＝F，∠EF＝60°， ∴△EF 为等边三角形， ∴E＝EF＝F， ∴E+BE+E＝EF+BE+GF， ∵B、G 两点均为定点， ∴当B、E、F、G 四点共线时，EF+BE+GF 最小， ∴∠EB＝120°，∠E＝∠FG＝120°， ∴∠BE＝120°， ∴此时E 点为等边△B 的中心， ∴E+BE+E＝3E＝ ＝12， 故等边三角形B 的“最近值”为12； （3）如图，过点D 作DM⊥B 于点M， ∵∠BD＝75°，B＝D， ∴∠DB＝30°， 2 ∴DM＝D＝B， ∵B∥D， ∴EF＝DM， 2 ∴EF＝B， ∴E＝BE＝EF＝3， ∴△EF 与△BEF 均为等腰直角三角形， ∴△BF 为等腰直角三角形， 设P 为EF 上一点，由（2）得：∠PF＝∠BPF＝∠PB＝120°时，P+PB+PF 最小， 此时：EP＝ ＝ ， ∴P＝BP＝2EP＝ ，FP＝EF﹣EP＝3﹣ ， ∴P+BP+FP＝ ＝3+ ， ∴（P+BP+FP）2＝ ＝ ， ∴三角形FB“最近值”的平方为 ． 9．如图①，点M 为锐角三角形B 内任意一点，连接M、BM、M．以B 为一边向外作等边 三角形△BE，将BM 绕点B 逆时针旋转60°得到B，连接E． （1）求证：△MB≌△EB； （2）若M+BM+M 的值最小，则称点M 为△B 的费马点．若点M 为△B 的费马点，试求 此时∠MB、∠BM、∠M 的度数； （3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费马点的简便方法：如图②，分别以△B 的B、为一边向外作等边△BE 和等边△F，连接E、BF，设交点为M，则点M 即为△B 的 费马点．试说明这种作法的依据． 解：（1）证明：∵△BE 为等边三角形， ∴B＝BE，∠BE＝60°． 而∠MB＝60°， ∴∠BM＝∠EB． 在△MB 与△EB 中， ∵ ， ∴△MB≌△EB（SS）． （2）连接M．由（1）知，M＝E． ∵∠MB＝60°，BM＝B， ∴△BM 为等边三角形． ∴BM＝M． ∴M+BM+M＝E+M+M． ∴当E、、M、四点共线时，M+BM+M 的值最小． 此时，∠BM＝180°﹣∠MB＝120°； ∠MB＝∠EB＝180°﹣∠BM＝120°； ∠M＝360°﹣∠BM﹣∠MB＝120°． （3）由（2）知，△B 的费马点在线段E 上，同理也在线段BF 上． 因此线段E 与BF 的交点即为△B 的费马点． 10．问题提出 （1）如图①，已知△B 中，B＝3，将△B 绕点逆时针旋转90°得△′B′，连接BB′．则BB′ ＝ 3 ； 问题探究 （2）如图②，已知△B 是边长为4 的等边三角形，以B 为边向外作等边△BD，P 为 △B 内一点，将线段P 绕点逆时针旋转60°，点P 的对应点为点Q． ①求证：△DQ≌△BP； ②求P+PB+P 的最小值； 问题解决 （3）如图③，某货运场为一个矩形场地BD，其中B＝500 米