模型50 12345模型（解析版）(1)

初中几何，直角三角形具有举足轻重的地位，贯彻初中数学的始终，无论是一次 函数、平行四边形、特殊平行四边形、反比例函数、二次函数、相似、圆，都离不开 直角三角形。而在直角二角形中，345 的三角形比含有30°的直角二角形的1： ：2 以及含有45°的直角三角形的1：1： 更加特殊更加重要。因为345 不仅仅是自己特 殊，更是可以在变化中隐藏更加特殊的变化(1：2： 及1：3： )，综合性非常大， 深受压轴题的喜爱。现在带领大家领略一下，345 的独特魅力` 【引入】 1．如图，在 3×3 的格中标出了∠ 1 和∠ 2，则∠ 1＋∠ 2＝ 2．如图 ，在△B 中，∠B＝45°，D 是 B 边上的高，BD＝3，D＝2， D 的长为 第2 题 第3 题 3．（0,6）B（3,0）在X 轴上有一点P，若∠PB=45°，则P 点坐标为 模型介绍 【“1 2 3”+“4 5”的来源】 此外，还可以得到 【例1】．如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝（ ）°（点，B，P 是格交点）． ．30 B．45 ．60 D．75 解：延长P 交格点于D，连接BD， 则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10， ∴PD2+DB2＝PB2， ∴∠PDB＝90°， ∴∠DPB＝∠PB+∠PB＝45°， 故选：B． 变式训练 【变式1-1】．如图，正方形BD 的边长为6，点E、F 分别在B，D 上，若E＝3 ，且 ∠EF＝45°，则F 的长为（ ） ．2 B．3 ． D． 解：如图，延长FD 到G，使DG＝BE； 连接G、EF； ∵四边形BD 为正方形， 在△BE 与△DG 中， ， ∴△BE≌△DG（SS）， 例题精讲 ∴G＝E，∠DG＝∠BE， ∴∠GF＝45°， 在△GF 与△EF 中， ， ∴△GF≌△EF（SS）， ∴GF＝EF， ∵E＝3 ，B＝6， ∴BE＝ ＝ ＝3， ∴E＝3， 设F＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x， ∴EF＝ ＝ ， ∴（9﹣x）2＝9+x2， ∴x＝4， 即F＝4， ∴GF＝5， ∴DF＝2， ∴F＝ ＝ ＝2 ， 故选：． 【变式1-2】．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，D 为B 上一点，B＝5，BD＝1，tB＝ ． （1）求D 的长； （2）求sα 的值． 解：（1）∵在Rt△B 中，∠＝90°，tB＝ ， t ∴B＝ ． 设＝3x，则B＝4x． ∵B2+2＝B2， ∴（3x）2+（4x）2＝52． ∴x＝1． ∴＝3，B＝4． ∴D＝B﹣BD＝4 1 ﹣＝3． （2）如图，过点B 作BE⊥D 于点E． ∴∠BED＝90°． ∴∠BED＝∠D． ∵∠BDE 与∠D 是对顶角， ∴∠BDE＝∠D． ∴△BDE∽△D． ∴ ． 在Rt△D 中，∠＝90°， ∴D＝ ． ∴ ． ∴BE＝ ． ∴∠BED＝90°， s ∴α＝ ． 【例2】．如图，在边长为6 的正方形BD 内作∠EF＝45°，E 交B 于点E，F 交D 于点F， 连接EF，将△DF 绕点顺时针旋转90°得到△BG．若DF＝3，则BE 的长为 2 ． 解： 法一：由题意可得， △DF≌△BG， ∴DF＝BG，∠DF＝∠BG， ∵∠DB＝90°，∠EF＝45°， ∴∠DF+∠EB＝45°， ∴∠BG+∠EB＝45°， ∴∠EF＝∠EG， 在△EG 和△EF 中， ， ∴△EG≌△EF（SS）， ∴GE＝FE， 设BE＝x，则GE＝BG+BE＝3+x，E＝6﹣x， ∴EF＝3+x， ∵D＝6，DF＝3， ∴F＝3， ∵∠＝90°， ∴（6﹣x）2+32＝（3+x）2， 解得，x＝2， 即BE＝2， 法二：设BE＝x，连接GF，如下图所示， ∵四边形BD 为正方形， ∴∠BE＝∠GF＝90°， ∵△DF 绕点顺时针旋转90°得到△BG， ∴∠GF＝90°，G＝F， ∴△GF 为等腰直角三角形， ∵∠EF＝45°， ∴E 垂直平分GF， ∴∠EB+∠GF＝90°， ∵在Rt△EB 中，∠EB+∠BE＝90°， ∴∠BE＝∠GF， ∴△BE∽△GF， ∴ ， ∵F＝D﹣DF＝6 3 ﹣＝3，G＝B+BG＝B+DF＝6+3＝9， ∴ ， ∴x＝2， 即BE＝2， 故答为：2． 变式训练 【变式2-1】．如图，在矩形BD 中，B＝4，B＝8，点E，F 分别在B，D 上．若BE＝2， ∠EF＝45°，则DF 的长是 ． 解：取D，B 的中点M，，连接M，交F 于，延长B 至G，使BG＝M，连接G， ∵点M，点是D，B 的中点， ∴M＝MD＝B＝＝4， ∵D∥B， ∴四边形BM 是平行四边形， ∵B＝M＝4， ∴四边形BM 是菱形， ∵∠BD＝90°， ∴四边形BM 是正方形， ∴M＝B＝B＝4，∠M＝90°， ∵B＝M，∠BG＝∠M＝90°，BG＝M， ∴△BG≌△M（SS）， ∴∠BG＝∠M，G＝， ∵∠EF＝45°， ∴∠M+∠BE＝45°， ∴∠GB+∠BE＝∠GE＝∠E＝45°， 又∵G＝，E＝E ∴△EG≌△E（SS） ∴E＝GE， ∴E＝2+M， 在Rt△E 中，E2＝2+E2， ∴（2+M）2＝（4﹣M）2+4， ∴M＝ ∵M∥D， ∴△GM∽△FD， ∴ ∴DF＝ × ＝ ， 故答为： ． 【变式2-2】．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣x+m（m≠0）分别交x 轴，y 轴 于，B 两点，已知点（3，0）．点P 为线段B 的中点，连接P，P，若∠P＝45°，则m 的 值是 18 ． 解：作D＝＝3，连接D．则∠PD＝45°，如图， 由y＝﹣x+m 可得（m，0），B（0，m）． ∴＝B， ∴∠B＝∠B＝45°． 当m＜0 时，∠P＞∠B＝45°， 所以，此时∠P＞45°，故不合题意． ∴m＞0． ∵∠P＝∠B＝45°， ∴∠BP+∠P＝∠BP+∠BP＝135°，即∠P＝∠BP， ∴△PD∽△PB， ∴ ，即 ， 解得m＝18． 故答是：18． 1．如图，在矩形BD 中B＝8，D＝6，将△BE 沿BE 折叠，使点恰好落在对角线BD 上F 处， 则DE 的长是（ ） ．3 B． ．5 D． 解：∵矩形BD， ∴∠BD＝90°， 由折叠可得△BEF≌△BE， ∴EF⊥BD，E＝EF，B＝BF， 在Rt△BD 中，B＝D＝6，B＝D＝8， 根据勾股定理得：BD＝10，即FD＝10 6 ﹣＝4， 设EF＝E＝x，则有ED＝8﹣x， 根据勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 则DE＝8 3 ﹣＝5， 故选：． 2．如图，正方形BD 中，B＝6，G 是B 的中点．将△BG 沿G 对折至△FG，延长GF 交D 于 点E，则DE 的长是（ ） ．2 B．25 ．35 D．4 解：如图， 连接E， ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝D＝B＝B＝6，∠B＝∠＝∠D＝90°， 由折叠得， F＝B，GF＝BG＝ B＝3，∠FG＝∠B＝90°， ∴D＝F，∠FE＝180°﹣∠FG＝90°， ∴∠FE＝∠D， ∵E＝E， Rt ∴ △DE Rt ≌ △FE（L）， ∴DE＝FE， 设DE＝EF＝x，则E＝6﹣x，EG＝EF+FG＝x+3， 在Rt△GE 中，由勾股定理得， EG2﹣E2＝G2， ∴（x+3）2﹣（6﹣x）2＝32， ∴x＝2， ∴DE＝2， 故选：． 3．如图，在矩形纸片BD 中，点E、F 分别在矩形的边B、D 上，将矩形纸片沿E、F 折叠， 点B 落在处，点D 落在G 处，点、、G 恰好在同一直线上，若B＝6，D＝4，BE＝2， 则DF 的长是（ ） ．2 B． ． D．3 解：如图，延长E 交F 于点P，过点P 作M⊥D 于， ∵将矩形纸片沿E、F 折叠，点B 落在处，点D 落在G 处， ∴B＝＝4，∠DF＝∠GF，BE＝E＝2，∠B＝∠E＝90°， 在△P 和△P 中， ， ∴△P≌△P（S）， ∴P＝P，＝＝4， ∵∠B＝∠BD＝90°，M⊥D， ∴四边形BM 是矩形， 又∵＝B＝4， ∴四边形BM 是正方形， ∴M＝BM＝4， ∴EM＝2， ∵EP2＝EM2+PM2， ∴（2+P）2＝4+（4﹣P）2， ∴P＝ ， t ∵∠DF＝ ， ∴ ， ∴DF＝2， 故选：． 4．如图，在边长为3 的正方形BD 中，点E 是边B 上的点，且BE＝2E，过点E 作DE 的垂 线交正方形外角∠BG 的平分线于点F，交边B 于点M，连接DF 交边B 于点，则M 的长 为（ ） ． B． ． D．1 解：作F⊥BG 交于点，作FK⊥B 于点K， ∵BF 平分∠BG，∠KB＝90°， ∴四边形BFK 是正方形， ∵DE⊥EF，∠EF＝90°， ∴∠DE+∠FE＝90°，∠EF+∠FE＝90°， ∴∠DE＝∠EF， ∵∠＝∠EF＝90°， ∴△DE∽△EF， ∴ ， ∵正方形BD 的边长为3，BE＝2E， ∴E＝1，BE＝2， 设F＝，则B＝， ∴ ， 解得＝1； ∵FK⊥B，D⊥B， ∴△D∽△FK， ∴ ， ∵B＝3，BK＝1， ∴K＝2， 设＝b，则K＝2﹣b， ∴ ， 解得b＝ ， 即＝ ， ∵∠＝∠EBM，∠ED＝∠BME， ∴△DE∽△BEM， ∴ ， ∴ ， 解得BM＝ ， ∴M＝B﹣﹣BM＝3﹣ ﹣ ＝ ， 故选：B． 5．如图，在边长相同的小正方形组成的格中，点、B、都在这些小正方形的顶点上，那么 s∠B 的值为 ． 解：过点B 作BD⊥，垂足为D， 由题意得： B＝2，B＝ ＝2 ，＝ ＝2 ， ∵△B 的面积＝ •BD＝ ×2×2， ∴BD＝ ， 在Rt△BD 中，s∠B＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 6．如图，等腰直角三角形B 中，∠＝90°，D 为B 的中点．将△B 折叠，使点与点D 重合． 若EF 为折痕，则s∠BED 的值为 ， 的值为 ． 解：设Rt△B 的直角边＝， ∵△B 是等腰直角三角形， ∴∠＝∠B＝45°， ∵△DEF 是△EF 沿EF 折叠而成， ∴∠＝∠FDE＝∠B＝45°， 2+ ∵∠ ∠B＝∠1+∠FDE，∠FDE＝∠B＝45° 1 ∴∠＝∠2， ∵D 是B 的中点， ∴D＝ ，设F＝x，则F＝DF＝﹣x， 在Rt△DF 中，由勾股定理得，DF2＝F2+D2，即（﹣x）2＝x2+（ ）2， 解得x＝ ， ∴DF＝﹣x＝﹣ ＝ ， s 1 ∴∠＝ ＝ ＝ ， s 2 ∴∠＝ ，即s∠BED 的值为 ； 过D 作DG⊥B， ∵BD＝ ，∠B＝45°， ∴DG＝BD•s∠B＝ × ＝ ， 2 ∵∠＝∠1，∠＝∠DGE， ∴△EDG∽△DF， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 故答为： ， ． 7．如图，在平面直角坐标系xy 中，点和点E（6，﹣2）都在反比例函数y＝ 的图象上， 如果∠E＝45°，那么直线的表达式是 y ＝﹣ 2 x ． 解：∵点E（6，﹣2）在反比例函数y＝ 的图象上， ∴k＝6×（﹣2）＝﹣12， ∴反比例函数为y＝﹣ ， 如图，E 顺时针旋转90°，得到D，连接DE，交于F， ∵点E（6，﹣2）， ∴D（﹣2，﹣6）， ∵∠E＝45°， ∴∠D＝45°， ∵D＝E， ∴⊥DE，DF＝EF， ∴F（2，﹣4）， 设直线的解析式为y＝mx， 把F 的坐标代入得，﹣4＝2m，解得m＝﹣2， ∴直线的解析式为y＝﹣2x， 故答为y＝﹣2x． 8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x 1 ﹣的图象分别交x、y 轴于点、B，将直 线B 绕点B 按顺时针方向旋转45°，交x 轴于点，则直线B 的函数表达式是 y ＝ x 1 ﹣ ． 解：∵一次函数y＝2x 1 ﹣的图象分别交x、y 轴于点、B， ∴令x＝0，得y＝﹣1，令y＝0，则x＝ ， ∴（ ，0），B（0，﹣1）， ∴＝ ，B＝1， 过作F⊥B 交B 于F，过F 作FE⊥x 轴于E， ∵∠B＝45°， ∴△BF 是等腰直角三角形， ∴B＝F， ∵∠B+∠B＝∠B+∠EF＝90°， ∴∠B＝∠EF， ∴△B≌△FE（S）， ∴E＝B＝1，EF＝＝ ， ∴F（ ，﹣ ）， 设直线B 的函数表达式为：y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线B 的函数表达式为：y＝ x 1 ﹣， 故答为：y＝ x 1 ﹣． 9．如图，在正方形BD 中，P 是B 的中点，把△PB 沿着P 翻折得到△PE，过作F⊥DE 于 F，若F＝2，则DF＝ 6 ． 解：过作M⊥DF 于M， ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝D，∠D＝90°， ∴∠DF+∠FD＝90°， ∵∠DF+∠MD＝90°， ∴∠FD＝∠MD， ∵∠MD＝∠DF＝90°， ∴△MD≌△DF， ∴DM＝F＝2， 由折叠得：B＝E，BP＝PE， ∵B＝D， ∴E＝D， ∴DM＝EM＝2，∠EM＝∠MD， ∵P 是B 的中点， ∴P＝ B＝ D＝PE， 设∠MD＝α，则∠EM＝α，∠BP＝∠PE＝45°﹣α， ∴∠PE＝90°﹣（45°﹣α）＝45°+α， ∵∠EM＝∠DM，∠BP＝∠PE， ∴∠PE+∠EM＝ ∠BD＝45°， 过P 作P⊥M 于，过E 作EG⊥P 于G， ∴△P 是等腰直角三角形， ∴∠P＝45°， ∴∠PE＝α＝∠MD， ∵∠PGE＝∠MD＝90°， ∴△PGE∽△MD， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴GE＝1，M＝2PG， 设PG＝x，则M＝2x， ∴＝2x 1 ﹣， ∵＝P， 2 ∴x 1 ﹣＝2+x， x＝3， ∴PG＝3，M＝6， ∵△DM≌△DF， ∴DF＝M＝6． 10．如图，已知点（2，3）和点B（0，2），点在反比例函数y＝ 的图象上，作射线B， 再将射线B 绕点按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点，则点的坐标为 （﹣ 1 ，﹣ 6 ） ． 解法一：如图所示，过作E⊥x 轴于E，以E 为边在E 的左侧作正方形EFG，交B 于P， 根据点（2，3）和点B（0，2），可得直线B 的解析式为y＝ x+2， 由（2，3），可得F＝1， 当x＝﹣1 时，y＝﹣ +2＝ ，即P（﹣1， ）， ∴PF＝ ， 将△GP 绕点逆时针旋转90°得△E，则△DP≌△D， ∴PD＝D，PG＝E＝ ， 设DE＝x，则D＝DP＝x+ ，FD＝1+2﹣x＝3﹣x， Rt△PDF 中，PF2+DF2＝PD2， 即（ ）2+（3﹣x）2＝（x+ ）2， 解得x＝1， ∴D＝2 1 ﹣＝1，即D（1，0）， 根据点（2，3）和点D（1，0），可得直线D 的解析式为y＝3x 3 ﹣， 解方程组 ，可得 或 ， ∴（﹣1，﹣6）， 故答为：（﹣1，﹣6）． 解法二：如图，过作D⊥y 轴于D，将B 绕着点B 顺时针旋转90°，得到'B，过'作'⊥y 轴 于， 由B＝B'，∠DB＝∠B'＝90°，∠BD＝∠'B，可得△BD≌△B'， ∴B＝D＝2， 又∵B＝2， ∴点与点重合，点'在x 轴上， ' ∴（1，0）， 又∵等腰Rt△B'中，∠B'＝45°，而∠B＝45°， ∴点'在上， 由（2，3），'（1，0），可得直线的解析式为y＝3x 3 ﹣， 解方程组 ，可得 或 ， ∴（﹣1，﹣6）， 故答为：（﹣1，﹣6）． 解法三：如图，过B 作BF⊥于F，过F 作FD⊥y 轴于D，过作E⊥DF 于E，则△BF 为 等腰直角三角形，易得△EF≌△FDB，设BD＝，则EF＝， ∵点（2，3）和点B（0，2）， ∴DF＝2﹣＝E，D＝B﹣BD＝2﹣， ∵E+D＝3， 2 +2 ∴﹣ ﹣＝3， 解得＝ ， ∴F（ ， ）， 设直线F 的解析式为y＝k'x+b，则 ，解得 ， ∴y＝3x 3 ﹣， 解方程组 ，可得 或 ， ∴（﹣1，﹣6）， 故答为：（﹣1，﹣6）． 11．如图，已知正方形BD 的边长为 ，对角线、BD 交于点，点E 在B 上，且E＝ 2BE，过B 点作BF⊥E 于点F，连接F，则线段F 的长度为 ． 解：如图， 作G⊥F 交E 于G， ∴＝B，∠FG＝90°， ∵，BD 是正方形的对角线， ∴∠B＝90°， ∴∠G＝∠BF， ∵BF⊥E， ∴∠BE+∠BF＝90°， ∵∠BE＝∠B﹣∠E ∴∠BF＝∠BF﹣∠BD＝90°﹣∠BE﹣∠BD＝90°﹣∠B+∠E﹣∠BD＝∠E， 在△G 和△BF 中， ∴△G≌△BF， ∴G＝F， ∴△FG 是等腰直角三角形， ∵E＝2BE，B＝ ， ∴BE＝ ， 根据勾股定理得，E＝ ， ∵∠BE＝90°， ∴∠BE+∠EB＝90°， ∵BF⊥E， ∴∠FB＝90°， ∴∠BF+∠BE＝90°， ∴∠BF＝∠EB， ∵∠FB＝∠BE， ∴△BF∽△EB， ∴ ， ∴ ， ∴BF＝1，F＝3， ∴G＝BF＝1， ∴GF＝F﹣BF＝2， ∴F＝ ． 故答为 ． 12．如图，在正方形BD 中，是D 的中点，M 是D 上异于D 的点，且∠MB＝∠MB，求 t∠BM． 解：如图：延长M 交B 的延长线于T，设MB 的中点为，连T，则T⊥BM， ∵∠BM+∠MBT＝90°， ∠TB+∠MBT＝90°， ∴∠BM＝∠TB， ∴△BM∽△TB， ∴ ＝ ， ∴MB2＝2M•BT① 令D＝1，T＝MD＝k，则：M＝2﹣k，BM＝ ，BT＝2+k， 代入①中得：4+（2﹣k）2＝2（2﹣k）（2+k）， 解方程得：k1＝0（舍去），k2＝ ． ∴M＝2﹣ ＝ ． t ∴∠BM＝ ＝ ． 13．如图，将矩形BD 沿对角线BD 折叠，使点落在点E 处，BE 与D 交于点F． （1）求证：△BF≌△EDF； （2）若B＝6，B＝8，求F 的长， （1）证明：在矩形BD 中，B＝D，∠＝∠＝90°， 由折叠得：DE＝D，∠＝∠E＝90°， ∴B＝DE，∠＝∠E＝90° ∵∠FB＝∠EFD， ∴△BF≌△EDF（S） （2）解：∵△BF≌△EDF， ∴BF＝DF，…4 分 设F＝x，则BF＝DF＝8﹣x， 在Rt△BF 中，由勾股定理得： BF2＝B2+F2，即（8﹣x）2＝x2+62 x＝ ，即F＝ 14．如图，二次函数y＝﹣ x+2 的图象与x 轴交于点、B，与y 轴交于点． （1）求直线的解析式； （2）连接B，判断∠B 和∠B 的数量关系，并说明理由； （3）设点D 为直线上方抛物线上一点（与、不重合），连BD、D，且BD 交于点E， △BE