专题53 一次函数背景下的搭桥模型（原卷版）(1)

方法点拨 二、求线段之和的最小值 已知、B 是两个定点，P、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在 直线m 上要求P、Q 两点，使得P+PQ+QB 的值最小(原理用平移知识解) （1）点、B 在直线m 两侧： 过点作∥m,且长等于PQ 长，连接B,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时 P、Q 即为所求的点 m A B Q P m A B C Q P （2）点、B 在直线m 同侧： m A B Q P m A B B' E Q P 过点作E∥m,且E 长等于PQ 长，作B 关于m 的对称点B’,连接B’E,交直线m 于Q,Q 向左 平移PQ 长，即为P 点，此时P、Q 即为所求的点 【例1】．如图，已知（3，1），B（1，0），PQ 是直线y＝x 上的一条动线段且PQ＝ （Q 在P 的下方），当P+PQ+QB 取最小值时，点Q 坐标为 ． 模型介绍 例题精讲 变式训练 【变1-1】．如图，在平面直角坐标系中，为原点，点，，E 的坐标分别为（0，4）， （8，0），（8，2），点P，Q 是边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形PQE 的周长 最小，则点P 的坐标为（ ） ．（2，0） B．（3，0） ．（4，0） D．（5，0） 【变1-2】．、B 两村之间隔一条河，现在要在河上架一座桥． （1）要使这两村、B 之间的行程最短，桥应修在何处？请帮他们设计出来． （2）若两村、B 到河边的距离分别为50 米和20 米，河宽为30 米，＝40 米，你能求出 两村的最短路程吗？若能，请求出来． 【例2】．如图，平面直角坐标系中，直线y＝ x+8 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中点，点D 在第二象限，且四边形D 为矩形．动点P 为D 上一点，P⊥，垂足为，点 Q 是点B 关于点的对称点，当BP+P+Q 值最小时，点P 的坐标为 ． 变式训练 【变2-1】．如图，在平面直角坐标系xy 中，直线y＝﹣ x+ 与x 轴，y 轴分别交于点， B，Q 为△B 内部一点，则Q+Q+BQ 的最小值等于（ ） ．2 B． ． D． 【变2-2】．如图，在直角坐标系中，矩形B 的顶点在坐标原点，顶点，分别在x 轴，y 轴 上，B，D 两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF 在边上移动，保持EF＝ 3，当四边形BDEF 的周长最小时，点E 的坐标为 ． 1．如图，D 是直线y＝ x 上的一条动线段，且D＝2，点（2+ ，1），连接、D，则 △D 周长的最小值是 ． 2．如图，在直角坐标系中，直线y＝ x+4 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，为B 的中点，点 D 在第二象限，且四边形D 为矩形，P 是D 上一个动点，过点P 作P⊥于，Q 是点B 关 于点的对称点，则BP+P+Q 的最小值为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，有二次函数 ，顶点为，与x 轴交 于、B 两点（在B 左侧），易证点、B 关于直线l： 对称，且在直线l 上． 过点B 作直线BK∥交直线l 于K 点，M、分别为直线和直线l 上的两个动点，连接、M、 MK，则+M+MK 的最小值为 4．如图，已知点（4，0）、B（0，2），线段＝且点在y 轴负半轴上，连接． （1）如图1，求直线B 的解析式； （2）如图1，点P 是直线上一点，若S△B＝3S△BP，求满足条件的点P 坐标； （3）如图2，点M 为直线l：x＝ 上一点，将点M 水平向右平移6 个单位至点，连接 BM、M、．求BM+M+的最小值及此时点的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线l 的解析式为y＝﹣ x+4，与x 轴交于点，直线l 上有一点B 的横坐标为 ，点是的中点． （1）求直线B 的函数表达式； （2）在直线B 上有两点P、Q，且PQ＝4，使四边形PQ 的周长最小，求周长的最小值； （3）直线B 与y 轴交于点，将△B 沿B 翻折得到△BG，M 为直线B 上一动点，为平面内 一点，是否存在这样的点M、，使得以、M、、G 为顶点的四边形是菱形，若存在，直 接写出点M 的坐标，若不存在，说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ 与x 轴，y 轴分别交于点，D，直 线l2与直线y＝﹣ x 平行，交x 轴于点B（7，0），交l1于点． （1）直线l2的解析式为 ，点的坐标为 ； （2）若点P 是线段B 上一动点，当S△PB＝ 时，在x 轴上有两动点M、（M 在 的左侧），且M＝2，连接DM，P，当四边形DMP 周长最小时，求点M 的坐标； （3）在（2）的条件下，将D 绕点顺时针旋转60°得到G，点E 是y 轴上的一个动点， 点F 是直线l1上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F 为顶点的四边形 是平行四边形，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，直线l： 交x 轴于点，交轴y 于点B，交直线m：y＝x+3 于点，直线 m 交x 轴于点D． （1）求点、点的坐标； （2）如图1，点E 为第一象限内直线l 上一点，满足△E 的面积为6． ①求点E 的坐标； ②线段PQ＝1（点P 在点Q 的上方）为直线x＝﹣1 上的一条动线段，当EP+PQ+Q 的 值最小时，求这个最小值及此时点P 的坐标． （3）如图2，将直线l 绕点旋转，在旋转过程中，直线l 交x 轴于点M，是否存在某个 时刻，使得△DM 为等腰三角形？若存在，求出线段M 的长度；若不存在，请说明理由． 8．如图1，在平面直角坐标系xy 中，直线 与x 轴交于点，与直线l2交 于点，点到x 轴的距离D 为 ，直线l2交x 轴于点B，且∠B＝30°． （1）求直线l2的函数表达式； （2）如图2，y 轴上的两个动点E、F（E 点在F 点上方）满足线段EF 的长为 ，连 接E、F，当线段E+EF+F 有最小值时，求出此时点F 的坐标，以及E+EF+F 的最小值； （3）如图3，将△B 绕点B 逆时针方向旋转60°，得到△BG，使点与点重合，点与点G 重合，将△BG 沿直线B 平移，记平移中的△BG 为△B'G''，在平移过程中，设直线B''与x 轴交于点M，是否存在这样的点M，使得△B'MG'为等腰三角形？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，说明理由． 9．如图1，直线B 分别与x 轴，y 轴交于，B 两点，＝6，∠B＝30°，过点B 作B⊥B 交x 轴 于点． （1）请求出直线B 的函数解析式． （2）如图1，取中点D，过点D 作垂直于x 轴的直线DE，分别交直线B 和直线B 于点 F，E，过点F 作关于x 轴的平行线交直线B 于点G，点M 为直线DE 上一动点，作 M⊥y 轴于点，连接M，G，当M+M+G 最小时，求M 点的坐标及M+M+G 的最小值． （3）在图2 中，点P 为线段B 上一动点，连接PD，将△PD 沿PD 翻折至△P'D，连 接'B，'，是否存在点P，使得△'B 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P 的坐标，若 不存在，请说明理由． 10．如图1，在平面直角坐标系xy 中，直线l2：y＝﹣ x+ 与x 轴交于点B，与直线 l1：y＝ x+b 交于点，点到x 轴的距离D 为2 ，直线l1交x 轴于点． （1）求直线l1的函数表达式； （2）如图2，y 轴上的两个动点E、F（E 点在F 点上方）满足线段EF 的长为 ，连 接E、F，当线段E+EF+F 有最小值时，求出此时点F 的坐标以及E+EF+F 的最小值； （3）如图3，将△B 绕点B 逆时针方向旋转60°，得到△BG，使点与点对应，点与点G 对应，将△BG 沿着直线B 平移，平移后的三角形为△B′G′′，点M 为直线上的动点，是否 存在分别以、、M、G′为顶点的平行四边形，若存在，请求出M 的坐标；若不存在，说 明 理 由 ． 11．如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交x 轴，y 轴于，B 两点，点为B 的中 点，点D 在第二象限，且四边形D 为矩形． （1）直接写出点，B 的坐标，并求直线B 与D 交点的坐标； （2）动点P 从点出发，沿线段D 以每秒1 个单位长度的速度向终点D 运动；同时，动 点M 从点出发，沿线段B 以每秒 个单位长度的速度向终点B 运动，过点P 作P⊥，垂 足为，连接MP，M．设点P 的运动时间为t 秒． ①若△MP 与矩形D 重合部分的面积为1，求t 的值； ②点Q 是点B 关于点的对称点，问BP+P+Q 是否有最小值？如果有，求出相应的点P 的坐标；如果没有，请说明理由． 12．如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝ x+4 分别与x 轴、y 轴交于点、点B，过 点B 作直线l2⊥l1交x 轴于点，将直线l2沿y 轴正方向平移2 个单位得到直线l3，直线l1 与直线l3交于点D． （1）求△B 的面积； （2）如图2，点F 在直线l1上，点F 的纵坐标为7，点M、点分别为直线l3、l2上的两 个动点（点M 的横坐标小于点的横坐标），且∠MB＝30°，连接FM、，求FM+M+的最 小值； （3）如图3，将△B 绕着点（2，0）逆时针旋转90°得到△B'′'，作点B'关于直线''的对称 点B″，设动点K 在直线l4：y＝x 2 ﹣上，点T 在直线′′上，是否存在点K，使得△B″KT 为 等边三角形？若存在，请直接写出点K 的坐标；若不存在，请说明理由． 13．阅读并解答下列问题；在学习完《中心对称图形》一章后，老师给出了以下一个思考 题：如图1，在平面直角坐标系xy 中，已知点（0，3），B（5，1），（，0），D （+2，0），连接，D，DB，求+D+DB 最小值． 【思考交流】小明：如图2，先将点向右平移2 个单位长度到点1，作点B 关于x 轴的对 称点B1，连接1B1交x 轴于点D，将点D 向左平移2 个单位长度得到点，连接．BD．此 时+D+DB 的最小值等于1B1+D． 小颖：如图3，先将点向右平移2 个单位长度到点1，作点1 关于x 轴的对称点2，连接 2B 可以求解． 小亮：对称和平移还可以有不同的组合…． 【尝试解决】在图2 中，+D+DB 的最小值是 ． 【灵活应用】如图4，在平面直角坐标系xy 中，已知点（0，3），B（5，1），（， 1），D（+2，0），连接，D，DB，则+D+DB 的最小值是 ，此时＝ ，并 请在图5 中用直尺和圆规作出+D+DB 最小时D 的位置（不写作法，保留作图痕迹）． 【拓展提升】如图6，在平面直角坐标系xy 中，已知点（0，3），是一次函数y＝x 图 象上一点，D 与y 轴垂直且D＝2（点D 在点右侧），连接，D，D，直接写出+D+D 的 最小值是 ，此时点的坐标是 ． 14．已知抛物线1：y＝ （x﹣m）2的顶点在x 轴正半轴上，与y 轴交于B（0，1）． （1）求抛物线1的解析式； （2）如图1，平移直线B 交x 轴于F，交y 轴于E，交抛物线1于点M、，若ME＝F， 求直线EF 的解析式； （3）如图2，把抛物线1 向下平移4 个单位的抛物线2 交x 轴于、D 两点，交y 轴于点 G，在抛物线2的对称轴上一条动线段PQ＝1（P 点在Q 点上方），当四边形GPQ 的周 长最小时，求P 点坐标． 15．在平面直角坐标系中，点（0，3），B（5，0），连接B． （1）将绕点按逆时针方向旋转，得到△D，（点落到点处），求经过B、、D 三点的抛 物线的解析式． （2）现将（1）中抛物线向右平移两个单位，点的对应点为E，点B 的对应点为，平移 后的抛物线与原抛物线相交于点F；P、Q 为平移后抛物线对称轴上的两个动点，（点 Q 在点P 的上方），且PQ＝1，要使四边形PQFE 的周长最小，求出P、Q 两点的坐标． 16．如图1，在平面直角坐标系xy 中，抛物线y＝x2+bx+与x 轴分别相交于（﹣1，0）、B （3，0）两点，与y 轴相交于点（0，3）． （1）求出这条抛物线的解析式及顶点M 的坐标； （2）PQ 是抛物线对称轴上长为1 的一条动线段（点P 在点Q 上方），求Q+QP+P 的 最小值； （3）如图2，点D 是第四象限内抛物线上一动点，过点D 作DF⊥x 轴，垂足为F， △BD 的外接圆与DF 相交于点E．试问：线段EF 的长是否为定值？如果是，请求出这 个定值；如果不是，请说明理由．