2018年高考数学试卷（理）（新课标Ⅱ）（解析卷）

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分） =（ ） A． i B． C． D． 【考点】A5：复数的运算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的除法的运算法则化简求解即可． 【解答】解： = = + ． 故选：D． 【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基本知识的考查． 2．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为 （ ） A．9 B．8 C．5 D．4 【考点】1A：集合中元素个数的最值． 【专题】32：分类讨论；4O：定义法；5J：集合． 【分析】分别令x=﹣1，0，1，进行求解即可． 【解答】解：当x=﹣1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1， 当x=0时，y2≤3，得y=﹣1，0，1， 当x=1时，y2≤2，得y=﹣1，0，1， 即集合A中元素有9个， 故选：A． 【点评】本题主要考查集合元素个数的判断，利用分类讨论的思想是解决本题 的关键． 3．（5分）函数f（x）= 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换；6B：利用导数研究函数的单调性． 【专题】33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即 可． 【解答】解：函数f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x）， 则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A， 当x=1时，f（1）=e﹣＞0，排除D． 当x→+∞时，f（x）→+∞，排除C， 故选：B． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进 行排除是解决本题的关键． 4．（5分）已知向量，满足| |=1， =﹣1，则•（2 ）=（ ） A．4 B．3 C．2 D．0 【考点】91：向量的概念与向量的模；9O：平面向量数量积的性质及其运算． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】根据向量的数量积公式计算即可． 【解答】解：向量，满足| |=1， =﹣1，则•（2 ）=2 ﹣ =2+ 1=3， 故选：B． 【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题 5．（5分）双曲线 =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，则其渐近线方程为 （ ） A．y=± x B．y=± x C．y=± x D．y=± x 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】35：转化思想；4O：定义法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】根据双曲线离心率的定义求出a，c的关系，结合双曲线a，b，c的关系 进行求解即可． 【解答】解：∵双曲线的离心率为e= = ， 则= = = = = ， 即双曲线的渐近线方程为y=± x=± x， 故选：A． 【点评】本题主要考查双曲线渐近线的求解，结合双曲线离心率的定义以及渐 近线的方程是解决本题的关键． 6．（5分）在△ABC中，cos = ，BC=1，AC=5，则AB=（ ） A．4 B． C． D．2 【考点】HR：余弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】利用二倍角公式求出C的余弦函数值，利用余弦定理转化求解即可． 【解答】解：在△ABC中，cos = ，cosC=2× =﹣， BC=1，AC=5，则AB= = = =4 ． 故选：A． 【点评】本题考查余弦定理的应用，考查三角形的解法以及计算能力． 7．（5分）为计算S=1﹣+ ﹣+…+ ﹣ ，设计了如图的程序框图，则在空白 框中应填入（ ） A．i=i+1 B．i=i+2 C．i=i+3 D．i=i+4 【考点】E7：循环结构；EH：绘制程序框图解决问题． 【专题】38：对应思想；4B：试验法；5K：算法和程序框图．【分析】模拟程 序框图的运行过程知该程序运行后输出的S=N﹣T， 由此知空白处应填入的条件． 【解答】解：模拟程序框图的运行过程知， 该程序运行后输出的是 S=N﹣T=（1﹣）+（﹣）+…+（ ﹣ ）； 累加步长是2，则在空白处应填入i=i+2． 故选：B． 【点评】本题考查了循环程序的应用问题，是基础题． 8．（5分）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成 果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30=7+23．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概 率是（ ） A． B． C． D． 【考点】CB：古典概型及其概率计算公式． 【专题】36：整体思想；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】利用列举法先求出不超过30的所有素数，利用古典概型的概率公式进 行计算即可． 【解答】解：在不超过30的素数中有，2，3，5，7，11，13，17，19，23，29 共10个， 从中选2个不同的数有 =45种， 和等于30的有（7，23），（11，19），（13，17），共3种， 则对应的概率P= = ， 故选：C． 【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，求出不超过30的素数是解决本 题的关键． 9．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1= ，则异面直线AD1 与DB1所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【考点】LM：异面直线及其所成的角． 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5G：空间角． 【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出异面直线AD1与DB1所成角的余弦值． 【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标 系， ∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1， AA1= ， ∴A（1，0，0），D1（0，0， ），D（0，0，0）， B1（1，1， ）， =（﹣1，0， ）， =（1，1， ）， 设异面直线AD1与DB1所成角为θ， 则cosθ= = = ， ∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 ． 故选：C． 【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求 法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解 能力，考查函数与方程思想，是基础题． 10．（5分）若f（x）=cosx﹣sinx在[﹣a，a]是减函数，则a的最大值是（ ） A． B． C． D．π 【考点】GP：两角和与差的三角函数；H5：正弦函数的单调性． 【专题】33：函数思想；4R：转化法；56：三角函数的求值． 【分析】利用两角和差的正弦公式化简f（x），由 ， k∈Z，得 ，k∈Z，取k=0，得f（x）的一个减区间为[ ， ]，结合已知条件即可求出a的最大值． 【解答】解：f（x）=cosx﹣sinx=﹣（sinx﹣cosx）= ， 由 ，k∈Z， 得 ，k∈Z， 取k=0，得f（x）的一个减区间为[ ， ]， 由f（x）在[﹣a，a]是减函数， 得 ，∴ ． 则a的最大值是 ． 故选：A． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属 于基本知识的考查，是基础题． 11．（5分）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）=f （1+x），若f（1）=2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=（ ） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断． 【专题】36：整体思想；4O：定义法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周 期性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）=f（1+x）， ∴f（1﹣x）=f（1+x）=﹣f（x﹣1），f（0）=0， 则f（x+2）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）=2， ∴f（2）=f（0）=0，f（3）=f（1﹣2）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2， f（4）=f（0）=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f （49）+f（50） =f（1）+f（2）=2+0=2， 故选：C． 【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性和对称性的关系求出函 数的周期性是解决本题的关键． 12．（5分）已知F1，F2是椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的 左顶点，点P 在过A 且斜率为 的直线上，△PF1F2 为等腰三角形， ∠F1F2P=120°，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】31：数形结合；44：数形结合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方 程． 【分析】求得直线AP的方程：根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求 得椭圆的离心率． 【解答】解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0）， 直线AP的方程为：y= （x+a）， 由∠F1F2P=120°，|PF2|=|F1F2|=2c，则P（2c， c）， 代入直线AP： c= （2c+a），整理得：a=4c， ∴题意的离心率e= = ． 故选：D． 【点评】 本题考查椭圆的性质，直线方程的应用，考查转化思想，属于中档题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 y=2x ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的 导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵y=2ln（x+1）， ∴y′= ， 当x=0时，y′=2， ∴曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x． 故答案为：y=2x． 【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上 某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 14．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=x+y的最大值为 9 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等 式． 【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标， 代入目标函数得答案． 【解答】解：由x，y满足约束条件 作出可行域如图， 化目标函数z=x+y为y=﹣x+z， 由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值， 由 ，解得A（5，4）， 目标函数有最大值，为z=9． 故答案为：9． 【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中 档题． 15．（5分）已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin（α+β）= ． 【考点】GP：两角和与差的三角函数． 【专题】33：函数思想；48：分析法；56：三角函数的求值． 【分析】把已知等式两边平方化简可得2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，再利用两 角和差的正弦公式化简为2sin（α+β）=﹣1，可得结果． 【解答】解：sinα+cosβ=1， 两边平方可得：sin2α+2sinαcosβ+cos2β=1，①， cosα+sinβ=0， 两边平方可得：cos2α+2cosαsinβ+sin2β=0，②， 由①+②得：2+2（sinαcosβ+cosαsinβ）=1，即2+2sin（α+β）=1， ∴2sin（α+β）=﹣1． ∴sin（α+β）= ． 故答案为： ． 【点评】本题考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，三角函数的求值，属 于基本知识的考查，是基础题． 16．（5分）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆 锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5 ，则该圆锥的侧面积为 40 π ． 【考点】MI：直线与平面所成的角． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半 径，然后求解圆锥的侧面积． 【解答】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，可得sin∠ASB= = ． △SAB的面积为5 ， 可得 sin∠ASB=5 ，即 × =5 ，即SA=4 ． SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为： =2 ． 则该圆锥的侧面积： π=40 π． 故答案为：40 π． 【点评】本题考查圆锥的结构特征，母线与底面所成角，圆锥的截面面积的求 法，考查空间想象能力以及计算能力． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根要求 作答。（一)必考题：共60分。 17．（12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=﹣7，S3=﹣15． （1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n项和．【专题】34： 方程思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）根据a1=﹣7，S3=﹣15，可得a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，求出等差数列 {an}的公差，然后求出an即可； （2）由a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9，得Sn= = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣ 16，由此可求出Sn以及Sn的最小值． 【解答】解：（1）∵等差数列{an}中，a1=﹣7，S3=﹣15， ∴a1=﹣7，3a1+3d=﹣15，解得a1=﹣7，d=2， ∴an=﹣7+2（n﹣1）=2n﹣9； （2）∵a1=﹣7，d=2，an=2n﹣9， ∴Sn= = =n2﹣8n=（n﹣4）2﹣16， ∴当n=4时，前n项的和Sn取得最小值为﹣16． 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项的和 公式，属于中档题． 18．（12分）如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿 元）的折线图． 为了预 测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回 归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17） 建立模型①：=﹣30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值 依次为1，2，…，7）建立模型②：=99+17.5t． （1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测 值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由． 【考点】BK：线性回归方程． 【专题】31：数形结合；4O：定义法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据模型①计算t=19时的值，根据模型②计算t=9时的值即 可； （2）从总体数据和2000年到2009年间递增幅度以及2010年到2016年间递增的 幅度比较， 即可得出模型②的预测值更可靠些． 【解答】解：（1）根据模型①：=﹣30.4+13.5t， 计算t=19时，=﹣30.4+13.5×19=226.1； 利用这个模型，求出该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是226.1亿 元； 根据模型②：=99+17.5t， 计算t=9时，=99+17.5×9=256.5；． 利用这个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值是256.5亿元； （2）模型②得到的预测值更可靠； 因为从总体数据看，该地区从2000年到2016年的环境基础设施投资额是逐年上 升的， 而从2000年到2009年间递增的幅度较小些， 从2010年到2016年间递增的幅度较大些，所以，利用模型②的预测值更可靠 些． 【点评】本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题． 19．（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k（k＞0）的直线l与C 交于A，B两点，|AB|=8． （1）求l的方程； （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程． 【考点】KN：直线与抛物线的综合． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）方法一：设直线AB的方程，代入抛物线方程，根据抛物线的焦 点弦公式即可求得k的值，即可求得直线l的方程； 方法二：根据抛物线的焦点弦公式|AB|= ，求得直线AB的倾斜角，即可求 得直线l的斜率，求得直线l的方程； （2）根据过A，B分别向准线l作垂线，根据抛物线的定义即可求得半径，根据 中点坐标公式，即可求得圆心，求得圆的方程． 【解答】解：（1）方法一：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0）， 设直线AB的方程为：y=k（x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 ，整理得：k2x2﹣2（k2+2）x+k2=0，则x1+x2= ，x1x2=1， 由|AB|=x1+x2+p= +2=8，解得：k2=1，则k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； 方法二：抛物线C：y2=4x的焦点为F（1，0），设直线AB的倾斜角为θ，由抛物 线的弦长公式|AB|= = =8，解得：sin2θ= ， ∴θ= ，则直线的斜率k=1， ∴直线l的方程y=x﹣1； （2）由（1）可得AB的中点坐标为D（3，2），则直线AB的垂直平分线方程为y ﹣2= ﹣（x ﹣3 ），即y= ﹣x+5 ，设所求圆的圆心坐标为（x0 ，y0 ），则 ， 解得： 或 ， 因此，所求圆的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=16或（x﹣11）2+（y+6）2=144． 【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线 的位置关系，抛物线的焦点弦公式，考查圆的标准方程，考查转换思想思 想，属于中档题． 20．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB=BC=2 ，PA=PB=PC=AC=4，O为AC 的中点． （1）证明：PO⊥平面ABC； （2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣PA﹣C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦 值． 【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MJ：二面角的平 面角及求法． 【专题】35：转化思想；41：向量法；4R：转化法；5F：空间位置关系与距 离；5H：空间