2018年高考数学试卷（理）（新课标Ⅲ）（解析卷）

2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=（ ） A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】37：集合思想；4A：数学模型法；5J：集合． 【分析】求解不等式化简集合A，再由交集的运算性质得答案． 【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}， ∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}． 故选：C． 【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题． 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（ ） A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考点】A5：复数的运算． 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数． 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i． 故选：D． 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3．（5分）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头， 凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件 与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可 以是（ ） A． B． C． D． 【考点】L7：简单空间图形的三视图． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】直接利用空间几何体的三视图的画法，判断选项的正误即可． 【解答】解：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长 方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方 形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A． 故选：A． 【点评】本题看出简单几何体的三视图的画法，是基本知识的考查． 4．（5分）若sinα= ，则cos2α=（ ）A． B． C．﹣ D．﹣ 【考点】GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；4O： 定义法；56：三角函数的求值． 【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出结果． 【解答】解：∵sinα= ， ∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2× = ． 故选：B． 【点评】本题考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基础知识，考查 运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5．（5分）（x2+ ）5的展开式中x4的系数为（ ） A．10 B．20 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5P：二项式定理． 【分析】由二项式定理得（x2+ ）5的展开式的通项为：Tr+1= （x2）5﹣r（） r= ，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+ ）5的展开式中x4的系 数． 【解答】解：由二项式定理得（x2+ ）5的展开式的通项为： Tr+1= （x2）5﹣r（）r= ， 由10﹣3r=4，解得r=2， ∴（x2+ ）5的展开式中x4的系数为 =40． 故选：C． 【点评】本题考查二项展开式中x4的系数的求法，考查二项式定理、通项公式 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 6．（5分）直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆（x﹣2）2+y2=2 上，则△ABP面积的取值范围是（ ） A．[2，6] B．[4，8] C．[ ，3 ] D．[2 ，3 ] 【考点】J9：直线与圆的位置关系． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；5B：直线与圆． 【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2 ，设P（2+ ， ），点P到直线x+y+2=0的距离：d= = ∈[ ]，由此能求出△ABP面积的取值范围． 【解答】解：∵直线x+y+2=0分别与x轴，y轴交于A，B两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2， ∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|= =2 ， ∵点P在圆（x﹣2）2+y2=2上，∴设P（2+ ， ）， ∴点P到直线x+y+2=0的距离： d= = ， ∵sin（ ）∈[﹣1，1]，∴d= ∈[ ]， ∴△ABP面积的取值范围是： [ ， ]=[2，6]． 故选：A． 【点评】本题考查三角形面积的取值范围的求法，考查直线方程、点到直线的 距离公式、圆的参数方程、三角函数关系等基础知识，考查运算求解能力， 考查函数与方程思想，是中档题． 7．（5分）函数y=﹣x4+x2+2的图象大致为（ ）A． B． C． D． 【考点】3A：函数的图象与图象的变换． 【专题】38：对应思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据函数图象的特点，求函数的导数利用函数的单调性进行判断即 可． 【解答】解：函数过定点（0，2），排除A，B． 函数的导数f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1）， 由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣ 或0＜x＜ ，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0， 得x＞ 或﹣ ＜x＜0，此时函数单调递减，排除C， 也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B， 故选：D． 【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数过定点以及判断函 数的单调性是解决本题的关键． 8．（5分）某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方 式相互独立．设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P （x=4）＜P（X=6），则p=（ ） A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差． 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5I：概率 与统计． 【分析】利用已知条件，转化为二项分布，利用方差转化求解即可． 【解答】 解：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件， 满足X～B（10，p）， P（x=4）＜P（X=6），可得 ，可得1﹣2p＜0．即p ． 因为DX=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）． 故选：B． 【点评】本题考查离散型离散型随机变量的期望与方差的求法，独立重复事件 的应用，考查转化思想以及计算能力． 9．（5分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若△ABC的面积为 ，则C=（ ）A． B． C． D． 【考点】HR：余弦定理． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形． 【分析】推导出S△ABC= = ，从而sinC= =cosC，由此能求 出结果． 【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c． △ABC的面积为 ， ∴S△ABC= = ， ∴sinC= =cosC， ∵0＜C＜π，∴C= ． 故选：C． 【点评】本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础 知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 10．（5分）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边 三角形且面积为9 ，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为（ ） A．12 B．18 C．24 D．54 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LG：球的体积和表面积． 【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；49：综 合法；5F：空间位置关系与距离． 【分析】求出，△ABC为等边三角形的边长，画出图形，判断D的位置，然后求 解即可． 【解答】解：△ABC为等边三角形且面积为9 ，可得 ，解得AB=6， 球心为O，三角形ABC 的外心为O′，显然D在O′O的延长线与球的交点如图：O′C= = ，OO′= =2， 则三棱锥D﹣ABC高的最大值为：6， 则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为： =18 ． 故选：B． 【点评】本题考查球的内接多面体，棱锥的体积的求法，考查空 间想象能力以及计算能力． 11．（5分）设F1，F2是双曲线C： ﹣ =1（a＞0．b＞0）的左，右焦点，O是 坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若|PF1|= |OP|，则C的 离心率为（ ） A． B．2 C． D． 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】先根据点到直线的距离求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2 中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|cos∠PF2O，代值化简整 理可得 a=c，问题得以解决． 【解答】解：双曲线C： ﹣ =1（a＞0．b＞0）的一条渐近线方程为y= x， ∴点F2到渐近线的距离d= =b，即|PF2|=b， ∴|OP|= = =a，cos∠PF2O= ，∵|PF1|= |OP|， ∴|PF1|= a， 在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|•|F1F2|COS∠PF2O， ∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c× =4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2）， 即3a2=c2， 即 a=c， ∴e= = ， 故选：C． 【点评】本题考查了双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，余弦定理，离 心率，属于中档题． 12．（5分）设a=log0.20.3，b=log20.3，则（ ） A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b 【考点】4M：对数值大小的比较． 【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用． 【分析】直接利用对数的运算性质化简即可得答案． 【解答】解：∵a=log0.20.3= ，b=log20.3= ， ∴ = ， ， ∵ ， ， ∴ab＜a+b＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了对数值大小的比较，考查了对数的运算性质，是中档 题． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2 + ），则λ= ． 【考点】96：平行向量（共线）；9J：平面向量的坐标运算． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5A：平面向量及应用． 【分析】利用向量坐标运算法则求出 =（4，2），再由向量平行的性质能 求出λ的值． 【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2）， ∴ =（4，2）， ∵=（1，λ），∥（2 + ）， ∴ ， 解得λ= ． 故答案为：． 【点评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等 基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 14．（5分）曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，则a= ﹣ 3 ． 【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；53：导数的综合应用． 【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可． 【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex， 曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣ 3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计 算能力． 15．（5分）函数f（x）=cos（3x+ ）在[0，π]的零点个数为 3 ． 【考点】51：函数的零点． 【专题】11：计算题；38：对应思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性 质． 【分析】由题意可得f（x）=cos（3x+ ）=0，可得3x+ = +kπ，k∈Z，即x= + kπ，即可求出． 【解答】解：∵f（x）=cos（3x+ ）=0， ∴3x+ = +kπ，k∈Z， ∴x= + kπ，k∈Z， 当k=0时，x= ， 当k=1时，x= π， 当k=2时，x= π， 当k=3时，x= π， ∵x∈[0，π]， ∴x= ，或x= π，或x= π， 故零点的个数为3， 故答案为：3 【点评】本题考查了余弦函数的图象和性质以及函数零点的问题，属于基础 题． 16．（5分）已知点M（﹣1，1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的 直线与C交于A，B两点．若∠AMB=90°，则k= 2 ． 【考点】K8：抛物线的性质；KN：直线与抛物线的综合． 【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥 曲线的定义、性质与方程． 【分析】由已知可求过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1），然后联立直线与抛 物线方程组可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2 ，由∠AMB=90°，向量的数量积为0，代入整理可求k． 【解答】解：∵抛物线C：y2=4x的焦点F（1，0）， ∴过A，B两点的直线方程为y=k（x﹣1）， 联立 可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0， 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则 x1+x2= ，x1x2=1， ∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）= ，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4， ∵M（﹣1，1）， ∴ =（x1+1，y1﹣1）， =（x2+1，y2﹣1）， ∵∠AMB=90°，∴ • =0 ∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0， 整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0， ∴1+2+ ﹣4﹣+2=0， 即k2﹣4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的相交关系的应用，解 题的难点是本题具有较大的计算量． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要 求作答。（一）必考题：共60分。 17．（12分）等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． （1）求{an}的通项公式； （2）记Sn为{an}的前n项和．若Sm=63，求m． 【考点】89：等比数列的前n项和． 【专题】 11：计算题；35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列． 【分析】（1）利用等比数列通项公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出 {an}的通项公式． （2）当a1=1，q=﹣2时，Sn= ，由Sm=63，得Sm= =63，m∈N，无 解；当a1=1，q=2时，Sn=2n﹣1，由此能求出m． 【解答】解：（1）∵等比数列{an}中，a1=1，a5=4a3． ∴1×q4=4×（1×q2）， 解得q=±2， 当q=2时，an=2n﹣1， 当q=﹣2时，an=（﹣2）n﹣1， ∴{an}的通项公式为，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1． （2）记Sn为{an}的前n项和． 当a1=1，q=﹣2时，Sn= = = ， 由Sm=63，得Sm= =63，m∈N，无解； 当a1=1，q=2时，Sn= = =2n﹣1，由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N， 解得m=6． 【点评】本题考查等比数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知 识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生 产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人， 将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工 人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘 制了如下茎叶图： （1）根据茎叶图判断哪种 生产方式的效率更高？并说明理由； （2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时 间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表： 超过m 不超过m 第一种生产方式 第二种生产方式 （3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差 异？ 附：K2= ， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【考点】BL：独立性检验． 【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5I：概率与统计． 【分析】（1）根据茎叶图中的数据判断第二种生产方式的工作时间较少些， 效率更高； （2）根据茎叶图中的数据计算它们的中位数，再填写列联表； （3）列联表中的数据计算观测值，对照临界值得出结论． 【解答】解：（1）根据茎叶图中的数据知， 第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间， 第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间， 所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高； （2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后， 排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为m= =80； 由此填写列联表如下； 超过m 不超过m 总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式 5 15 20 总计 20 20 40 （3）根据（2）中的列联表，计算 K2= = =10＞6.635， ∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂 直，M是 上异于C，D的点． （1）证明：平面AMD⊥平面BMC； （2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及 求法． 【专题】35：转化思想；4R：转化法；5F：空间位置关系与距离；5H：空间向 量及应用． 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理证明MC⊥平面ADM即可． （2）根据三棱锥的体积最大，确定M的位置，建立空间直角坐标系，求出点的 坐标，利用向量法进行求解即可． 【解答】解：（1）证明：在半圆中，DM⊥MC， ∵正方形ABCD所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， ∴AD⊥平面DCM，则AD⊥MC， ∵AD∩DM=D， ∴MC⊥平面ADM， ∵MC⊂平面MBC， ∴平面AMD⊥平面BMC． （2）∵△ABC的面积为定值， ∴要