2017年高考数学试卷（理）（新课标Ⅲ）（解析卷）

2017年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1．（5分）已知集合A={（x，y）|x2+y2=1}，B={（x，y）|y=x}，则A∩B中元素 的个数为（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】1E：交集及其运算． 【专题】5J：集合． 【分析】解不等式组求出元素的个数即可． 【解答】解：由 ，解得： 或 ， ∴A∩B的元素的个数是2个， 故选：B． 【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题． 2．（5分）设复数z满足（1+i）z=2i，则|z|=（ ） A． B． C． D．2 【考点】A8：复数的模． 【专题】35：转化思想；5N：数系的扩充和复数． 【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出． 【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），z=i+1． 则|z|= ． 故选：C． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算 能力，属于基础题． 3．（5分）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整 理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘 制了下面的折线图． 根据该折 线图，下列结论错误的是（ ） A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较 平稳 【考点】2K：命题的真假判断与应用；B9：频率分布折线图、密度曲线． 【专题】27：图表型；2A：探究型；5I：概率与统计． 【分析】根据已知中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据，逐一分析给定四个结论的正误，可得答案． 【解答】解：由已有中2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万 人）的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故A错误； 年接待游客量逐年增加，故B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故C正确； 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平 稳，故D正确；故选：A． 【点评】本题考查的知识点是数据的分析，命题的真假判断与应用，难度不 大，属于基础题． 4．（5分）（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数为 （ ） A．﹣80 B．﹣40 C．40 D．80 【考点】DA：二项式定理． 【专题】34：方程思想；5P：二项式定理． 【分析】（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣1）r x5﹣ryr．令5﹣r=2，r=3，解得r=3．令5﹣r=3，r=2，解得r=2．即可得出． 【解答】解：（2x﹣y）5的展开式的通项公式：Tr+1= （2x）5﹣r（﹣y）r=25﹣r（﹣ 1）r x5﹣ryr． 令5﹣r=2，r=3，解得r=3． 令5﹣r=3，r=2，解得r=2． ∴（x+y）（2x﹣y）5的展开式中的x3y3系数=22×（﹣1）3 +23× =40． 故选：C． 【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中 档题． 5．（5分）已知双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x，且与椭圆 + =1有公共焦点，则C的方程为（ ） A． ﹣ =1 B． ﹣ =1 C． ﹣ =1 D． ﹣ =1 【考点】KC：双曲线的性质． 【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性 质与方程． 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线 方程，求出双曲线实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程． 【解答】解：椭圆 + =1的焦点坐标（±3，0）， 则双曲线的焦点坐标为（±3，0），可得c=3， 双曲线C： ﹣ =1 （a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y= x， 可得 ，即 ，可得= ，解得a=2，b= ， 所求的双曲线方程为： ﹣ =1． 故选：B． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，双曲线方程的求法，考查 计算能力． 6．（5分）设函数f（x）=cos（x+ ），则下列结论错误的是（ ） A．f（x）的一个周期为﹣2π B．y=f（x）的图象关于直线x= 对称 C．f（x+π）的一个零点为x= D．f（x）在（ ，π）单调递减 【考点】H7：余弦函数的图象． 【专题】33：函数思想；4O：定义法；57：三角函数的图像与性质． 【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：A．函数的周期为2kπ，当k=﹣1时，周期T=﹣2π，故A正确，B．当 x= 时，cos（x+ ）=cos（ + ）=cos =cos3π=﹣1为最小值，此时y=f （x）的图象关于直线x= 对称，故B正确， C当x= 时，f（ +π）=cos（ +π+ ）=cos =0，则f（x+π）的一个零点为 x= ，故C正确， D．当 ＜x＜π时， ＜x+ ＜ ，此时函数f（x）不是单调函数，故D错 误， 故选：D． 【点评】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图 象和性质是解决本题的关键． 7．（5分）执行如图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的 最小值为（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【考点】EF：程序框图． 【专题】11：计算题；39：运动思想；49：综合法；5K：算法和程序框图． 【分析】通过模拟程序，可得到S的取值情况，进而可得结论． 【解答】解：由题可知初始值t=1，M=100，S=0，要使输出S的值小于91，应满 足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=100，M=﹣10，t=2， 要使输出S的值小于91，应接着满足“t≤N”， 则进入循环体，从而S=90，M=1，t=3， 要使输出S的值小于91，应不满足“t≤N”，跳出循环体， 此时N的最小值为2， 故选：D． 【点评】本题考查程序框图，判断出什么时候跳出循环体是解决本题的关键， 注意解题方法的积累，属于中档题． 8．（5分）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上，则该圆柱的体积为（ ） A．π B． C． D． 【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LR：球内接多面体． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5Q：立体几何． 【分析】推导出该圆柱底面圆周半径r= = ，由此能求出该圆柱的体 积． 【解答】解：∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球 面上， ∴该圆柱底面圆周半径r= = ， ∴该圆柱的体积：V=Sh= = ． 故选：B． 【点评】本题考查面圆柱的体积的求法，考查圆柱、球等基础知 识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思 想，是中档题． 9．（5分）等差数列{an}的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则 {an}前6项的和为（ ） A．﹣24 B．﹣3 C．3 D．8 【考点】85：等差数列的前n项和． 【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；54：等差数列与等比数 列． 【分析】利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能 求出{an}前6项的和． 【解答】解：∵等差数列{an}的首项为1，公差不为0．a2，a3，a6成等比数列， ∴ ， ∴（a1+2d）2=（a1+d）（a1+5d），且a1=1，d≠0， 解得d=﹣2， ∴{an}前6项的和为 = =﹣24． 故选：A． 【点评】 本题考查等差数列前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差 数列、等比数列的性质的合理运用． 10．（5分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且 以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，则C的离心率为（ ） A． B． C． D． 【考点】K4：椭圆的性质． 【专题】34：方程思想；5B：直线与圆；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切，可得原点到直线 的距离 =a，化简即可得出． 【解答】解：以线段A1A2为直径的圆与直线bx﹣ay+2ab=0相切， ∴原点到直线的距离 =a，化为：a2=3b2． ∴椭圆C的离心率e= = = ． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、点到直 线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 11．（5分）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（ ） A．﹣ B． C． D．1 【考点】52：函数零点的判定定理． 【专题】11：计算题；33：函数思想；49：综合法；51：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知问题等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ） 的图象只有一个交点求a的值．分a=0、a＜0、a＞0三种情况，结合函数的单 调性分析可得结论． 【解答】解：因为f（x）=x2﹣2x+a（ex﹣1+e﹣x+1）=﹣1+（x﹣1）2+a（ex﹣1+ ） =0， 所以函数f（x）有唯一零点等价于方程1﹣（x﹣1）2=a（ex﹣1+ ）有唯一解， 等价于函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f（x）=x2﹣2x≥﹣1，此时有两个零点，矛盾； ②当a＜0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减，且 y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象 的最高点为B（1，2a）， 由于2a＜0＜1，此时函数y=1﹣（x﹣1）2的图象与y=a（ex﹣1+ ）的图象有两个 交点，矛盾； ③当a＞0时，由于y=1﹣（x﹣1）2在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a（ex﹣1+ ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x﹣1）2的图象的最高点为A（1，1），y=a（ex﹣1+ ）的图象 的最低点为B（1，2a）， 由题可知点A与点B重合时满足条件，即2a=1，即a= ，符合条件； 综上所述，a= ， 故选：C． 【点评】本题考查函数零点的判定定理，考查函数的单调性，考查运算求解能 力，考查数形结合能力，考查转化与化归思想，考查分类讨论的思想，注意 解题方法的积累，属于难题． 12．（5分）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的 圆上．若 =λ +μ ，则λ+μ的最大值为（ ） A．3 B．2 C． D．2 【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角． 【专题】11：计算题；31：数形结合；4R：转化法；57：三角函数的图像与性 质；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆． 【分析】如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐 标系，先求出圆的标准方程，再设点P 的坐标为（ cosθ+1 ， sinθ+2），根据 =λ +μ ，求出λ，μ，根据三角函数的性质即可求出最 值． 【解答】解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示 的坐标系， 则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2）， ∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上， 设圆的半径为r， ∵BC=2，CD=1， ∴BD= = ∴BC•CD= BD•r， ∴r= ， ∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ， 设点P的坐标为（ cosθ+1， sinθ+2）， ∵ =λ +μ ， ∴（ cosθ+1， sinθ+2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）， ∴ cosθ+1=λ， sinθ+2=2μ， ∴λ+μ= cosθ+ sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2， ∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1， ∴1≤λ+μ≤3， 故λ+μ的最大值为3， 故选：A． 【点评】本题考查了向量的坐标运算以及圆的方程和三角函 数的性质，关键是设点P的坐标，考查了学生的运算能力和转化能力，属于 中档题． 二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．（5分）若x，y满足约束条件 ，则z=3x﹣4y的最小值为 ﹣1 ． 【考点】7C：简单线性规划． 【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5T：不等式． 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函 数z=3x﹣4y的最小值． 【解答】解：由z=3x﹣4y，得y= x﹣ ，作出不等式对应的可行域（阴影部 分）， 平移直线y= x﹣，由平移可知当直线y= x﹣， 经过点B（1，1）时，直线y= x﹣的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几 何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法． 14．（5分）设等比数列{an}满足a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，则a4= ﹣8 ． 【考点】88：等比数列的通项公式． 【专题】34：方程思想；35：转化思想；54：等差数列与等比数列． 【分析】设等比数列{an}的公比为q，由a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3，可得：a1（1+q） =﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3，解出即可得出． 【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a2=﹣1，a1﹣a3=﹣3， ∴a1（1+q）=﹣1，a1（1﹣q2）=﹣3， 解得a1=1，q=﹣2． 则a4=（﹣2）3=﹣8． 故答案为：﹣8． 【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于 中档题． 15．（5分）设函数f（x）= ，则满足f（x）+f（x﹣）＞1的x的取值范 围是 （ ，+∞） ． 【考点】3T：函数的值． 【专题】32：分类讨论；4R：转化法；51：函数的性质及应用． 【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x的取值范围，进行求解即可． 【解答】解：若x≤0，则x﹣≤﹣， 则f（x）+f（x﹣）＞1等价为x+1+x﹣+1＞1，即2x＞﹣，则x＞ ， 此时 ＜x≤0， 当x＞0时，f（x）=2x＞1，x﹣＞﹣， 当x﹣＞0即x＞时，满足f（x）+f（x﹣）＞1恒成立， 当0≥x﹣＞﹣，即≥x＞0时，f（x﹣）=x﹣+1=x+ ， 此时f（x）+f（x﹣）＞1恒成立，综上x＞ ， 故答案为：（ ，+∞）． 【点评】本题主要考查不等式的求解，结合分段函数的不等式，利用分类讨论 的数学思想进行求解是解决本题的关键． 16．（5分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边 AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角； ②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角； ③直线AB与a所成角的最小值为45°； ④直线AB与a所成角的最小值为60°； 其中正确的是 ②③ ．（填写所有正确结论的编号） 【考点】MI：直线与平面所成的角． 【专题】11：计算题；31：数形结合；41：向量法；5F：空间位置关系与距 离． 【分析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为 1的正方体，|AC|=1，|AB|= ，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB 为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果． 【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图， 不妨设图中所示正方体边长为1， 故|AC|=1，|AB|= ，\ 斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变， B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆， 以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系， 则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量=（0，1，0），| |=1，直线b的方向单位向量=（1，0，0），| |=1， 设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0）， 其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π）， ∴AB′在运动过程中的向量， =（cosθ，sinθ，﹣1），| |= ， 设 与所成夹角为α∈[0， ]， 则cosα= = |sinθ|∈[0， ]， ∴α∈[ ， ]，∴③正确，④错误． 设 与所成夹角为β∈[0， ]， cosβ= = = |cosθ|， 当 与夹角为60°时，即α= ， |sinθ|= = = ， ∵cos2θ+sin2θ=1，∴cosβ= |cosθ|= ， ∵β∈[0， ]，∴β= ，此时 与的夹角为60°， ∴②正确，①错误． 故答案为：②③． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线 线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，是中档题． 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生 根据要求作答。（一）必考题：60分。 17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ cosA=0，a=2 ，b=2． （1）求c； （2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积． 【考点】HT：三角形中的几何计算． 【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；58：解三角形． 【分析】（1）先根据同角的三角函数的关系求出A，再根据余弦定理即可求 出， （2）先根据夹角求出cosC，求出CD的长，得到S△ABD= S△ABC． 【解答】解：（1）∵sinA+ cosA=0， ∴tanA= ， ∵0＜A＜π， ∴A= ， 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA， 即28=4+c2﹣2×2c×（﹣）， 即c2+2c﹣24=0， 解得c=﹣6（舍去）或c=4， 故c=4． （2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC， ∴16=28+4﹣2×2 ×2×cosC， ∴cosC= ， ∴CD= = = ∴CD= BC∵S△ABC= AB•AC•sin∠