模型36 中点四边形模型和梯形中位线定理（解析版）

中点四边形模型 （1）任意四边形四条边的中点依次连接得到的四边形一定是平行四边形 （2）矩形四条边中点连线所得到的四边形为菱形 （3）菱形四条边中点连线所得到的四边形为矩形 梯形中位线定理 （1）中位线定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线． （2）梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半． （3）梯形面积与中位线的关系： 梯形中位线的2 倍乘高再除以2 就等于梯形的面积，即 梯形的面积＝ ×2×中位线的长×高＝中位线的长×高 （4）中位线在关于梯形的各种题型中都是一条得天独厚的辅助线． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/6 19:20:46；用户：初中数学；邮箱：lsys@xym；学号：30145887 考点一：中点四边形问题 【例1】．如图，在四边形BD 中，E，F，G，分别是B，BD，D，的中点，D＝4，B＝ 5，则四边形EFG 的周长是 9 ． 模型介绍 例题精讲 解：∵E，F，G，分别是B，BD，D，的中点， ∴EF＝ D＝2，FG＝ B＝25，G＝ D＝2，E＝ B＝25， ∴四边形EFG 的周长＝EF+FG+G+E＝9， 故答为：9． 变式训练 【变式1-1】．如图，D 是△B 内一点，BD⊥D，D＝6，BD＝4，D＝3，E、F、G、分别是 B、BD、D、的中点，则四边形EFG 的周长是（ ） ．7 B．9 ．11 D．13 解：∵BD⊥D，BD＝4，D＝3， ∴B＝ ＝ ＝5， ∵E、F、G、分别是B、BD、D、的中点， ∴E＝FG＝ B，EF＝G＝ D， ∴四边形EFG 的周长＝E+G+FG+EF＝D+B， 又∵D＝6， ∴四边形EFG 的周长＝6+5＝11． 故选：． 【变式1-2】．如图，在四边形BD 中，＝8，BD＝6，且⊥BD，E、F、G、分别是B、 B、D、D 的中点，则EG2+F2＝ 50 ． 解：连接G，E，EF，FG， ∵E、F、G、分别是B、B、D、D 的中点， ∴G＝EF＝ ＝4，E＝FG＝ BD＝3， ∵E，，是B，D 中点， ∴E∥BD，E＝ BD， 同理FG∥BD，FG＝ BD， ∴四边形EFG 是平行四边形， ∵⊥BD， ∴G⊥E， ∴四边形EFG 为矩形， ∴EG2+F2＝EF2+FG2+EF2+E2＝52+52＝50， 故答为：50 考点二：梯形的中位线定理 【例2】．如图，在▱ BD 中，B＝4m，E 为D 的中点，F、G 分别为BE、D 的中点，则FG ＝ 3 m． 解：∵在▱BD 中，B＝4m，E 为D 的中点，∴ED＝ ×4＝2m； 又∵F、G 分别为BE、D 的中点，∴FG＝ （B+ED）＝ ×（4+2）＝3（m）． 变式训练 【变式2-1】．如图，梯形BD 中，∠B 和∠DB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点 P，若EF＝3，则梯形BD 的周长为（ ） ．9 B．105 ．12 D．15 解：∵EF 梯形的中位线，∴EF∥B，D+B＝2EF＝6． ∴∠EPB＝∠PB． 又因为BP 平分∠EB，所以∠EBP＝∠PB， ∴∠EPB＝∠EBP， ∴BE＝EP，∴B＝2EP． 同理可得，D＝2PF，所以B+D＝2EF＝6． 则梯形BD 的周长为6+6＝12． 故选：． 【变式2-2】．在梯形BD 中，B∥D，、BD 相交于点，若＝5，BD＝12，中位线长为 ， △B 的面积为S1，△D 的面积为S2，则 ＝ ． 解：作BE∥， ∵B∥E， ∴E＝B， ∵梯形中位线为65， ∴B+D＝13， ∴DE＝E+D＝B+D＝13， ∵BE＝＝5，BD＝12，由勾股定理的逆定理， 得△BDE 为直角三角形，即∠EBD＝∠D＝90°， 设S△EBD＝S 则S2：S＝D2：DB2 S1：S＝B2：BD2 ∴ ＝ ∵S＝12×5× ＝30 ∴ ＝ ． 故本题答为： ． 1．如图，梯形BD 中，D∥B，BD 为对角线，中位线EF 交BD 于点，若F﹣E＝3，则B﹣D 等于（ ） ．4 B．6 ．8 D．10 解：∵EF 是梯形BD 是中位线， ∴EF∥B∥D． ∴B＝D． ∴B＝2F，D＝2E． ∴B﹣D＝2（F﹣E）＝2×3＝6． 故选：B． 2．如图，在四边形BD 中，＝BD＝5，点E，F，G，分别为边B，B，D，D 的中点，连接 EG，F，相交于点，则EG2+F2的值为（ ） ．25 B．30 ．35 D．40 解：连接EF、FG、G、E， ∵点E，F，G，分别为边B，B，D，D 的中点， ∴EF＝ ＝ ，FG＝ BD＝ ，G＝ ＝ ，E＝ BD＝ ， ∴EF＝FG＝G＝E， ∴四边形EFG 为菱形， ∴EG⊥F，E＝G，F＝， ∴E2+2＝E2＝ ， ∴EG2+F2＝4E2+42＝25， 故选：． 3．在如图所示的梯形BD 中，D∥B，D＝5，B＝11，①中1B1是连接两腰中点的线段，易 知1B1＝8，②中1B1，2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，可求出1B1+2B2的 值…，照此规律下去，③中1B1，2B2，…10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线 段，则1B1+2B2+…+10B10的值为（ ） ．50 B．80 ．96 D．100 解：①中1B1是连接两腰中点的线段，易知1B1＝8； ②中1B1，2B2是连接两腰三等分点且平行于底边的线段，根据梯形的中位线定理，得 1B1+2B2＝2×8＝16，可知，在中位线两边离中位线距离相等的线段和为16； ③中1B1，2B2，…10B10是连接两腰十一等分点且平行于底边的线段，则1B1+2B2+…+10B10 的值为（1B1+10B10 ）+ （2B2+9B9 ）+ （3B3+8B8 ）+ （4B4+7B7 ）+ （5B5+6B6 ）＝ 16+16+16+16+16＝80． 故选：B． 4．如图，四边形BD 中，＝，BD＝b，且⊥BD，顺次连接四边形BD 各边中点，得到四边 形1B11D1，再顺次连接四边形1B11D1各边中点，得到四边形2B22D2，如此进行下去，得 到四边形B∁D．下列结论正确的是（ ） ①四边形4B44D4是菱形； ②四边形3B33D3是矩形； ③四边形7B77D7周长为 ； ④四边形B∁D 面积为 ． ．①②③ B．②③④ ．①③④ D．①②③④ 解：①连接11，B1D1． ∵在四边形BD 中，顺次连接四边形BD 各边中点，得到四边形1B11D1， ∴1D1∥BD，B11∥BD，1D1∥，1B1∥； ∴1D1∥B11，1B1∥1D1， ∴四边形1B11D1是平行四边形； ∵⊥BD， ∴1B1⊥1D1， ∴四边形1B11D1是矩形， ∴B1D1＝11（矩形的两条对角线相等）； ∴2D2＝2D2＝2B2＝B22（中位线定理）， ∴四边形2B22D2是菱形； ∴四边形3B33D3是矩形； ∴根据中位线定理知，四边形4B44D4是菱形； 故①②正确； ③根据中位线的性质易知，7B7＝ 5B5＝ 3B3＝ 1B1＝ ，B77＝ B55＝ B33＝ B11 ＝ BD， ∴四边形7B77D7的周长是2× （+b）＝ ， 故③正确； ④∵四边形BD 中，＝，BD＝b，且⊥BD， ∴S 四边形BD＝b÷2； 由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半， 四边形B∁D 的面积是 ， 故④错误； 综上所述，①②③正确． 故选：． 5．如图，梯形BD 中，D∥B，B＝D，对角线，BD 交于点，⊥BD，点E，F，G，分别为 B，B，D，D 的中点，若D＝2，B＝4，则四边形EFG 的面积为 ． 解：在△B 中，E、F 分别是B、B 的中点， 故可得：EF＝ ，同理FG＝ BD，G＝ ，E＝ BD， 在梯形BD 中，B＝D， 故＝BD， ∴EF＝FG＝G＝E， ∴四边形EFG 是菱形． 在△BD 中，E、分别是B、D 的中点， 则E∥BD， 同理G∥， 又∵⊥BD， ∴E⊥G， ∴四边形EFG 是正方形． 如图，连接EG． 在梯形BD 中， ∵E、G 分别是B、D 的中点， ∴EG＝ （D+B）＝3． 在Rt△EG 中， ∵E2+G2＝EG2，E＝G， ∴E2＝ ，即四边形EFG 的面积为 ． 6．如图，等腰梯形的一条对角线与下底的夹角为45°，中位线长为8，则梯形的面积为 64 ． 解：过作G⊥B 于，G⊥D 于G． 1 ∵∠＝∠2＝45°， ∴B＝，∠1＝∠B＝45°． ∴＝B＝ B． ∵D∥B， 1 ∴∠＝∠2＝∠3＝∠4＝45°． ∴∠G＝45°，G＝G． ∴G＝G+＝ （D+B）＝ ×16＝8． ∴S 梯形BD＝EF•G＝8×8＝64． 7．如图，在梯形BD 中，B∥D，中位线EF 与对角线，BD 交于M，两点，若EF＝18m，M ＝8m，则B 的长等于 26 m． 解：∵EF 为梯形的中位线，且EF＝18m， ∴B+D＝2×18＝36m，EF∥B∥D． ∴M＝M，B＝D． ∴EM＝F＝ D＝ ＝5． ∴D＝10 ∴B＝2EF﹣D＝36 10 ﹣ ＝26（m）． 8．如图，E、F、G、分别是BD、B、、D 的中点，且B＝D，下列结论： ①EG⊥F；②四边形EFG 是矩形；③F 平分∠EG；④EG＝ ；⑤四边形 EFG 是菱形． 其中正确的是 ①③⑤ ． 解：∵E、F、G、分别是BD、B、、D 的中点， ∴EF＝ D，FG＝ B，G＝ D，E＝ B， ∵B＝D， ∴EF＝FG＝G＝E， ∴四边形EFG 是菱形， ∴①EG⊥F，正确； ②四边形EFG 是矩形，错误； ③F 平分∠EG，正确； ④当D∥B，如图所示：E，G 分别为BD，中点， ∴连接D，延长EG 到D 上一点， ∴E＝ B，G＝ D， ∴EG＝ （B﹣D），只有D∥B 时才可以成立，而本题D 与B 很显然不平行，故本小题 错误； ⑤四边形EFG 是菱形，正确． 综上所述，①③⑤共3 个正确． 故答为：①③⑤ 9．如图，在四边形BD 中，M、、P、Q 分别是D、B、B、D 的中点，且对角线⊥BD，： BD＝4：3，+BD＝28，则MQ：QP＝ 4 ： 3 ，四边形MPQ 的面积是 48 ． 解：①∵：BD＝4：3，+BD＝28， ∴＝16，BD＝12． 如图，∵M、Q 分别是D、D 的中点， ∴MQ 是△D 的中位线， ∴MQ＝ ＝8． 同理，QP＝ BD＝6． ∴MQ：QP＝8：6＝4：3． 故填：4：3； ②∵：BD＝4：3，+BD＝28， ∴＝16，BD＝12． ∵点M、分别为四边形BD 的边D、B 的中点， ∴M∥BD． 同理，PQ∥BD，MQ∥，P∥，且 ∴M∥PQ，MQ∥P， ∴四边形MPQ 是平行四边形． 又∵⊥BD，MQ⊥M， ∴平行四边形MPQ 是矩形． ∴四边形MPQ 的面积是：MQ•PQ＝8×6＝48，即四边形MPQ 的面积是48． 故填：48． 10．如图，在四边形BD 中，＝BD＝3，E、F、G、分别是B、B、D、D 的中点，则 EG2+F2＝ 9 ． 解：如右图，连接EF，FG，G，E， ∵E、分别是B、D 的中点， ∴E 是△BD 的中位线， ∴E＝ BD＝ ， 同理可得EF，FG，G 分别是△B，△BD，△D 的中位线， ∴EF＝G＝ ＝ ，FG＝ BD＝ ， ∴E＝EF＝G＝FG＝ ， ∴四边形EFG 为菱形， ∴EG⊥F，且垂足为， ∴EG＝2E，F＝2， 在Rt△E 中，根据勾股定理得：E2+2＝E2＝ ， 等式两边同时乘以4 得：4E2+42＝ ×4＝9， ∴（2E）2+（2）2＝9， 即EG2+F2＝9． 故答为：9． 11．由四边形四条边的中点组成的四边形叫做原四边形的中点四边形．如图，四边形BD 是矩形，取矩形BD 四条边的中点得到中点四边形1B11D1，再取四边形1B11D1四条边的 中点得到中点四边形2B22D2，…，按此规律继续下去，若矩形BD 的面积为1，则得到的 中点四边形B∁D 的面积为 ． 解：顺次连接矩形BD 四边的中点得到四边形1B11D1，则四边形1B11D1的面积为矩形BD 面积的 ， 顺次连接四边形1B11D1四边的中点得到四边形2B22D2，则四边形2B22D2的面积为四边形 1B11D1面积的一半，即为矩形BD 面积的 ， 顺次连接四边形2B22D2 四边的中点得四边形3B33D3，则四边形3B33D3 的面积为四边形 2B22D2面积的一半，即为矩形BD 面积的 ， 故中点四边形的面积等于原四边形的面积的一半，则四边形B∁D 面积为矩形BD 面积的 ， 又∵矩形BD 的面积为1， ∴四边形B∁D 的面积＝1× ＝ ， 故答为： ． 12．如图，梯形中BD 中，∠DB＝30°， ， ，EF 为梯形的中位线．求 梯形的面积及EF 的长． 解：过D 作DM∥，DM 与B 的延长线交于点M，作DG⊥BM 于G ∵四边形MD 为平行四边形 ∴D＝M，＝DM 在Rt△DBG 中，∠DBG＝30°， ∴ ，BG＝18 在Rt△DGM 中， ＝ ∴BM＝BG+GM＝26，又BM＝B+M＝B+D ∴ B）＝ ＝13， S 梯形BD＝ +B）×DG＝ ×26×6 ＝78 ． 13．如图：在梯形BD 中，D∥B，点F 在B 上．F＝BF，且E⊥B 交D 于E，连接EF．已知 EF⊥E， （1）若F＝10，E＝8，求B 的长． （2）若点E 是D 的中点，求证：F+D＝BF． 解：（1）过点F 作F⊥B 于点， ∵E⊥B，EF⊥E， ∴四边形EF 是矩形， ∴＝EF， 在Rt△EF 中，F＝10，E＝8， ∴EF＝6， ∴＝6， ∵F＝BF， ∴B＝2＝12； （2）连接E，交F 于点G， ∵四边形EF 是矩形， ∴G＝GF，EG＝G， ∴EG 是梯形DF 的中位线，G 是△BF 的中位线， ∴EG＝ （F+D），G＝ BF， ∴F+D＝BF． 14．如图，在四边形BD 中，＝BD，E、F、G、分别是B、B、D、D 的中点． （1）求证：四边形EFG 是菱形； （2）若＝8，求EG2+F2的值． （1）解：如图，∵E、F、G、分别是线段B、B、D、D 的中点， ∴E、FG 分别是△BD、△BD 的中位线，EF、G 分别是△D、△B 的中位线， 根据三角形的中位线的性质知，E＝FG＝ BD，EF＝G＝ ， 又∵＝BD， ∴E＝FG＝EF＝G， ∴四边形EFG 是菱形； （2）如图，设EG 与F 交于点． 由（1）知，四边形EFG 是菱形，则EG⊥F，EG＝2E，F＝2， 在Rt△E 中，根据勾股定理得：E2+2＝E2＝16， 等式两边同时乘以4 得：4E2+42＝16×4＝64， ∴（2E）2+（2）2＝64， 即EG2+F2＝64． 15．如图，在平面直角坐标系xy 中，四边形B 的顶点在x 轴的正半轴上，＝4，＝2，点 D、E、F、G 分别为边、B、B、的中点，连结DE、EF、FG、GD． （1）若点在y 轴的正半轴上，当点B 的坐标为（4，2）时，判断四边形DEFG 的形状， 并说明理由． （2）若点在第一象限运动，且四边形DEFG 为菱形时，求四边形B 对角线B 长度的取 值范围． （3）若在点运动过程中，四边形DEFG 始终为正方形，当点从x 轴负半轴经过y 轴正半 轴，运动至x 轴正半轴时，直接写出点B 的运动路径长． 解：（1）四边形DEFG 是菱形 理由如下：如图1，连接， ∵D 是的中点，G 是的中点， ∴DG 是△的中位线， ∴DG∥，DG＝ ， 同理可得：EF∥，EF＝ ， ∴DG∥EF，DG＝EF， ∴四边形DEFG 是平行四边形， ∵＝4，＝2，在x 轴的正半轴上，在y 轴的正半轴上， ∴（4，0），（0，2）， 又（0，0），B（4，2）， ∵D、E、G 分别是、B、的中点， ∴D＝D＝2，E＝G＝1， ∵∠DG＝∠DE＝90°， ∴△DG≌△DE（SS）， ∴DG＝DE， ∴▱DEFG 是菱形． （2）如图2，∵四边形DEFG 为菱形， ∴DG＝DE， ∵D、E、G 分别是、B、的中点， ∴DE＝ B，DG＝ ， ∴B＝， 当点在y 轴上时，＝ ＝ ＝2 ， 当点在x 轴上时，＝2， 2 ∴＜＜2 ， 2 ∴＜B＜2 ． （3）如图3，当四边形DEFG 是正方形时，B⊥，B＝， 在y 轴上取一点，使＝＝4，连接B， ∵∠B+∠M＝∠M+∠＝90°， ∴∠B＝∠， ∴△B≌△（SS）， ∴B＝＝2， ∴当点从x 轴负半轴经过y 轴正半轴，运动至x 轴正半轴时，点B 的运动路径是：以 （0，4）为圆心，2 为半径的半圆， ∴点B 的运动路径长为2π． 16．已知：在△B 中，B＝10． （1）如图（1）所示，若点D，E 分别是，B 的中点，则DE 的长为 5 ； （2）如图（2）所示，若点1，2把三等分，B1，B2把B 三等分，则1B1+2B2＝ 10 ； （3）如图（3）所示，若点1，2，…10把边十一等分，B1，B2，…，B10把B 边十一等分， 分别交B 边于点B1，B2，…，B10．根据你发现的规律，写出1B1+2B2+…+10B10的结果为 50 ． 解：（1）DE＝ B＝5． 故填5． （2）设1B1＝x，则2B2＝2x． ∵1，2是的三等分点， B1，B2是B 的三等分点， 故由梯形中位线定理，有x+10＝4x，解得x＝ ． 这时1B1+2B2＝10． 故填10． （3）同理可求出1B1+2B2+3B3＝15． 1B1+2B2+3B3+4B4＝20，…从而1B1+2B2+…+10B10＝50． 故填50． 17．如图，在梯形BD 中，D∥B，D＝，B＝b． 若E1、F1分别是B、D 的中点，则E1F1＝ （D+B）＝ （+b）； 若E2，F2 分别是E1B，F1 的中点，则E2F2＝ （E1F1+B）＝ [ （+b）+b]＝ （+3b ）；当E3 ，F3 分别是E2B ，F2 的中点，则E3F3 ＝ （E2F2+B ）＝ （+7b）；若EF 分别是E 1 ﹣，F 1 ﹣的中点，根据上述规律猜想EF ＝ ．（≥1，为整数） 解：根据题意，得在梯形BD 中，D∥B，D＝，B＝b． 若E1、F1分别是B、D 的中点，则E1F1＝ （D+B）＝ （+b）； 若E2，F2 分别是E1B，F1 的中点，则E2F2＝ （E1F1+B）＝ [ （+b）+b]＝ （+3b）； 根据梯形中位线定理，推导可得EF＝ [+（2 1 ﹣）b]＝ [﹣b+2b]． 18．请阅读下面知