模型15 十字架模型（原卷版）

正方形内部，M⊥EF，则M=EF ★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等 模型介绍 例题精讲 考点一、正方形中的十字模型 【例1】．如图，正方形BD 中，点E，F 分别在边D，D 上，BE⊥F 于点G，若B＝4，F ＝1，则GF 的长为_______ 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，E 为B 边上一点，连接E，作E 的垂直平分线交B 于G，交D 于F．若DF＝2，BG＝4，则GF 的长为 ． 【变式1-2】．如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在D，D 上，且E＝DF＝2，BE 与F 相交于点，P 是BF 的中点，连接P，若B＝5，则P 的长为 ． 【变式1-3】．如图，在正方形BD 中，点E 是边B 上的一点，点F 在边D 的延长线上， 且BE＝DF，连接EF 交边D 于点G．过点作⊥EF，垂足为点M，交边D 于点．若BE＝ 5，＝8，则线段的长为 ． 考点二：矩形中的十字模型 【例2】．如图，在矩形BD 中，点E 是边B 上一点，将△BE 沿E 折叠，使点B 落在D 边 上的点F 处，连接BF．已知D＝5，B＝3，求折痕E 的长． 变式训练 【变式2-1】．如图，把边长为 ， 的矩形 对折，使点 和 重合，求 折痕 的长． 【变式2-2】．如图，矩形BD 中，B：B＝1：2，F、G 分别为B、D 边上的动点，连接 GF，沿GF 将四边形FGD 翻折至四边形EFGP，点E 落在B 上，EP 交D 于点，连接E 交GF 于点，连接P，若t∠GP＝ ，GF＝2 ，P 的长为 ． 【变式2-3】．如图，在矩形BD 中，B＝5，D＝10．若点E 是边D 上的一个动点，过点E 作EF⊥且分别交对角线、直线B 于点、F，则在点E 移动的过程中，F+FE+E 的最小值 为 ． 1．如图，在边长为4 的正方形BD 中，点E、F 分别是边B、D 上的动点，且BE＝F，连接 BF、DE，则BF+DE 的最小值为（ ） ．8 B．4 ．4 D．4 2．如图，在正方形BD 中，E，F 分别是B，B 的中点，E，DF 交于点G，连接G．下列结 论：①E＝DF；②E⊥DF；③∠GE＝∠DF．其中正确的结论是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 3．如图，在矩形BD 中，B＝10，D＝6，E 为B 上一点，把△DE 沿DE 折叠，使点落在B 边上的F 处，则E 的长为 ． 4．如图，在Rt△B 中，＝4，B＝3，点D 为中点，连接BD，作E⊥BD 交B 于点E，垂足 为F，则E＝ ． 实战演练 5．如图，将边长为4 的正方形BD 折叠，使得点落在D 的中点E 处，折痕为FG，点F 在 D 边上，则FG＝ ． 6．如图，在边长为2 的正方形BD 中，点E，F 分别是边B，B 的中点，连接E，FD， 点G，分别是E，FD 的中点，连接G，则G 的长度为 ． 7．如图，正方形BD 的边长是9，点E 是B 边上的一个动点，点F 是D 边上一点，F＝4， 连接EF，把正方形BD 沿EF 折叠，使点，D 分别落在点′，D′处，当点D′落在直线B 上 时，线段E 的长为 ． 8．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，点D 为B 边的中点，BE⊥D 于点E，交于点F， 求 的值． 9．如图，在四边形BD 中，∠B＝90°，B＝D＝10，B＝D＝5，点M，分别在边B，B 上， 且M⊥D， 的值． 10．矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折痕为DE． （1）如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求 的值； （2）如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 11．已知四边形BD 中，E、F 分别是B、D 边上的点，DE 与F 交于点G． （1）如图①，若四边形BD 是矩形，且DE⊥F，求证：△DE∽△DF； （2）如图②，若四边形BD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EG 满足什么关系时， 成立？并证明你的结论； （3）如图③，若B＝B＝6，D＝D＝8，∠BD＝90°，DE⊥F，请直接写出 的值． 12．在矩形BD 中，B＝，D＝b，EF⊥G 于M，EF 分别交B，D 于点E，F，G 分别交D， B 于点G，． （1）【观察猜想】如图①，当＝b 时，线段EF 与线段G 的数量关系是 ． （2）【类比探究】如图②，当≠b 时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明 理由，若不成立，请写出正确的结论，并说明理由． （3）【拓展运用】如图③，在四边形BD 中，B＝D＝5，∠B＝∠D＝90°，E⊥DF 于 G，点E、F 分别在边B、B 上，若 ＝ ，求B 的长． 13．华师版八年级下册数学材第121 页习题193 第2 小题及参考答． 如图，在正方形BD 中，E⊥DF．求证：E＝DF． 证明：设E 与DF 交于点， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠B＝∠DF＝90°，B＝D． ∴∠BE+∠DE＝90°， ∵E⊥DF， ∴∠D＝90°． ∴∠DF+∠DE＝90°． ∴∠DF＝∠BE， ∴△BE≌△DF． ∴E＝DF． 某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究． 【问题探究】 如图1，在正方形BD 中，点E、F、G、分别在线段B、B、D、D 上，且EG⊥F．试猜 想 的值，并证明你的猜想． 【知识迁移】 如图2，在矩形BD 中，B＝m，B＝，点E、F、G、分别在线段B、B、D、D 上，且 EG⊥F．则 ＝ ． 【拓展应用】 如图3，在四边形BD 中，∠DB＝90°，∠B＝60°，B＝B，点E、F 分别在线段B、D 上， 且E⊥BF．求 的值． 14．（1）证明推断：如图（1），在正方形BD 中，点E、Q 分别在边B、B 上，DQ⊥E 于 点，点G、F 分别在边D、B 上，GF⊥E． ①填空：DQ E（填“＞”“＜”或“＝”）；②推断 的值为 ； （2）类比探究：如图（2），在矩形BD 中， ＝k（k 为常数）．将矩形BD 沿GF 折 叠，使点落在B 边上的点E 处，得到四边形FEPG，EP 交D 于点，连接E 交GF 于点． 试探究GF 与E 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接P，当k＝ 时，若 ＝ ，GF＝2 ，求 P 的长． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/3/2 20:2 6:29；用户15．在四边形BD 中，对角线、BD 相交于点，过点的直线分别交边B、D、D、B 于点E、 F、G、 【感知】如图①，若四边形BD 是正方形，且EF⊥G，易知S△BE＝S△G，又因为S△B＝ S 四边形BD，所以S 四边形EG＝ S 正方形BD（不要求证明）； 【拓展】如图②，若四边形BD 是矩形，且S 四边形EG＝ S 矩形BD，若B＝，D＝b，BE＝ m，求G 的长（用含、b、m 的代数式表示）； 【探究】如图③，若四边形BD 是平行四边形，且S 四边形EG＝ S▱BD，若B＝3，D＝ 5，BE＝1，则G＝ ．