模型15 十字架模型（解析版）(1)

正方形内部，M⊥EF，则M=EF ★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等 模型介绍 例题精讲 考点一、正方形中的十字模型 【例1】．如图，正方形BD 中，点E，F 分别在边D，D 上，BE⊥F 于点G，若B＝4，F ＝1，则GF 的长为_______ 解：∵正方形BD 的边B＝4， ∴B＝D＝D＝4，∠BE＝∠DF＝90°， ∵BE⊥F 于点G， ∴∠BG+∠BG＝∠BG+∠DF＝90°， ∴∠BE＝∠DF， 在△BE 和△DF 中， ， ∴△BE≌△DF（S）， ∴E＝DF，BE＝F， ∵DF＝D﹣F＝4 1 ﹣＝3， ∴E＝3， ∴ ＝5， ∴BE＝5， ∵ ， ∴G＝ ， ∴FG＝F﹣G＝ ． 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，E 为B 边上一点，连接E，作E 的垂直平分线交B 于G，交D 于F．若DF＝2，BG＝4，则GF 的长为 3 ． 解：如图，连接GE，作G⊥D 于．则四边形GD 是矩形，设G＝D＝x，则F＝x 2 ﹣． ∵GF 垂直平分E，四边形BD 是正方形， ∴∠BE＝∠GF＝90°，B＝D＝G，G＝GE＝x， ∵∠BE+∠GF＝90°，∠GF+∠FG＝90°， ∴∠BE＝∠FG， ∴△BE≌△GF， ∴BE＝F＝x 2 ﹣，E＝GF． 在Rt△BGE 中，∵GE2＝BG2+BE2， ∴x2＝42+（x 2 ﹣）2， ∴x＝5， ∴B＝9，BE＝3， 在Rt△BE 中，E＝ ＝ ＝3 ． ∴FG＝3 ． 故答为：3 ． 【变式1-2】．如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在D，D 上，且E＝DF＝2，BE 与F 相交于点，P 是BF 的中点，连接P，若B＝5，则P 的长为 ． 解：∵四边形BD 为正方形， ∴∠BE＝∠D＝90°，B＝D， 在△BE 和△DF 中， ， ∴△BE≌△DF（SS）， ∴∠BE＝∠DF， ∵∠BE+∠BE＝90°， ∴∠DF+∠BE＝90°， ∴∠E＝∠BF＝90°， ∵点P 为BF 的中点， ∴P＝ BF， ∵B＝5、F＝D﹣DF＝5 2 ﹣＝3， ∴BF＝ ， ∴G＝ BF＝ ， 故答为： ． 【变式1-3】．如图，在正方形BD 中，点E 是边B 上的一点，点F 在边D 的延长线上， 且BE＝DF，连接EF 交边D 于点G．过点作⊥EF，垂足为点M，交边D 于点．若BE＝ 5，＝8，则线段的长为 4 ． 解：如图，连接E，F，E， ∵四边形BD 为正方形， ∴B＝D，B＝D，∠BE＝∠BD＝∠DF＝90°， 在△BE 和△DF 中， ， ∴△BE≌△DF（SS）， ∴∠BE＝∠DF，E＝F， ∴∠EF＝90°， ∴△EF 为等腰直角三角形， ∵⊥EF， ∴EM＝FM，∠EM＝∠FM＝45°， ∴△EM≌△FM（SS），△EM≌△FM（SS）， ∴E＝F， 设D＝x， ∵BE＝DF＝5，＝8， ∴D＝+D＝x+8， ∴E＝F＝D+DF＝x+5，E＝B﹣BE＝D﹣BE＝x+8 5 ﹣＝x+3， 在Rt△E 中，由勾股定理可得： 2+E2＝E2， 即82+（x+3）2＝（x+5）2， 解得：x＝12， ∴D＝12，D＝B＝BE+E＝5+x+3＝20， ∴＝ ＝ ＝4 ， 故答为：4 ． 考点二：矩形中的十字模型 【例2】．如图，在矩形BD 中，点E 是边B 上一点，将△BE 沿E 折叠，使点B 落在D 边 上的点F 处，连接BF．已知D＝5，B＝3，求折痕E 的长． 解：由翻折的性质可知，BE＝EF，B＝F＝D＝5， 在Rt△DF 中，F＝5，D＝B＝3， ∴DF＝ ＝4， ∴F＝D﹣DF＝5 4 ﹣＝1， 设BE＝x，则EF＝x，E＝3﹣x， 在Rt△EF 中，由勾股定理得， F2+E2＝EF2， 即1+（3﹣x）2＝x2， 解得x＝ ， 即BE＝ ， 在Rt△BE 中，由勾股定理得， E＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 变式训练 【变式2-1】．如图，把边长为 ， 的矩形 对折，使点 和 重合，求 折痕 的长． 解：如图，过点 作 ，垂足为 ，连接 ， 在 中， ， ，∴ ， 由折叠得， ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ 【变式2-2】．如图，矩形BD 中，B：B＝1：2，F、G 分别为B、D 边上的动点，连接 GF，沿GF 将四边形FGD 翻折至四边形EFGP，点E 落在B 上，EP 交D 于点，连接E 交GF 于点，连接P，若t∠GP＝ ，GF＝2 ，P 的长为 ． 解：过点P 作PK⊥B，交B 的延长线于点K，如图所示： 由折叠的性质得：∠FEP＝∠FD＝∠D＝∠EPG＝90°， ∴∠GP+∠GP＝90°， ∵∠PE+∠E＝90°，∠GP＝∠E， ∴∠PE＝∠GP， ∵∠BEF+∠BFE＝∠BEF+∠PE＝90°， ∴∠BFE＝∠PE＝∠GP， t ∵∠GP＝ ， t ∴∠BFE＝ ＝ ， 设BE＝3x，则BF＝4x， ∴F＝EF＝ ＝ ＝5x， ∴B＝F+BF＝5x+4x＝9x， 由折叠的性质得：∠F＝∠EF， ∴∠F＝∠EF＝90°， 过G 作GM⊥B 于M， 则∠FMG＝90°，四边形DGM 是矩形， ∴D＝GM，∠MFG+∠MGF＝90°， ∵∠F＝90°， ∴∠MFG+∠F＝90°， ∴∠BE＝∠MGF， ∵四边形BD 是矩形， ∴D＝B，∠BD＝∠D＝∠B＝90°＝∠FMG， ∴△BE∽△GMF， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝2， ∴E＝2GF＝2×2 ＝4 ， 在Rt△BE 中，由勾股定理得：B2+BE2＝E2， 即：81x2+9x2＝160， 解得：x＝ 或x＝﹣ （舍去）， ∴B＝9× ＝12，BE＝3× ＝4， ∴EP＝D＝ B＝6，E＝B﹣BE＝6 4 ﹣＝2， t ∴∠PEK＝ ＝t∠GP＝ ， 设PK＝3y，则EK＝4y， 在Rt△PEK 中，由勾股定理得 EK2+PK2＝EP2， 即：16x2+9y2＝36， 解得：y＝ 或y＝﹣ （舍去）， ∴PK＝3× ＝ ，EK＝4× ＝ ， ∴K＝EK﹣E＝ ﹣2＝ ， ∴P＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 【变式2-3】．如图，在矩形BD 中，B＝5，D＝10．若点E 是边D 上的一个动点，过点E 作EF⊥且分别交对角线、直线B 于点、F，则在点E 移动的过程中，F+FE+E 的最小值 为 + ． 解：如图，过点E 作E⊥B 于点． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠B＝∠BD＝∠BE＝90°， ∴四边形BE 是矩形， ∴E＝B＝5， ∵B＝D＝10， ∴＝ ＝ ＝5 ， ∵EF⊥， ∴∠F＝90°， ∴∠EF+∠B＝90°， ∵∠B+∠B＝90°， ∴∠EF＝∠B， ∴△EF∽△B， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ， ∴F＝ ，EF＝ ， 设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣ ＝ ﹣x， ∵EF 是定值， ∴F+E 的值最小时，F+EF+E 的值最小， ∵F+E＝ + ， ∴欲求F+E 的最小值相当于在x 轴上找一点P（x，0），使得P 到（0，5），B（ ， 5）的距离和最小，如图1 中， 作点关于x 轴的对称点′，连接B′交xz 轴于点P，连接P，此时P+PB 的值最小，最小值 为线段′B 的长， ′ ∵（0，﹣5），B（ ，5）， ′ ∴B＝ ＝ ， ∴F+E 的最小值为 ， ∴F+EF+E 的最小值为 + ． 解法二：过点作′∥EF，使得′＝EF，连接′F． ∵EF＝′，EF ′ ∥， ∴四边形EF′是平行四边形， ∴E＝F′， ∵EF⊥， ′ ∴⊥， ∴∠＝90°， ′ ∵＝ ＝ ＝ ， ∴F+E＝F+F′≥′＝ ， ∴F+EF+E 的最小值为 + ． 故答为： + ． 1．如图，在边长为4 的正方形BD 中，点E、F 分别是边B、D 上的动点，且BE＝F，连接 BF、DE，则BF+DE 的最小值为（ ） ．8 B．4 ．4 D．4 实战演练 解：连接E，如图1， ∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B，∠BE＝∠BF＝90°． 又BE＝F， ∴△BE≌△BF（SS）． ∴E＝BF． 所以BF+DE 最小值等于E+DE 最小值． 作点关于B 的对称点点，如图2， 连接B，则、B、三点共线， 连接D，D 与B 的交点即为所求的E 点． 根据对称性可知E＝E， 所以E+DE＝D． 在Rt△D 中，D＝ ＝ ＝4 ， ∴BF+DE 最小值为4 ． 故选：D． 2．如图，在正方形BD 中，E，F 分别是B，B 的中点，E，DF 交于点G，连接G．下列结 论：①E＝DF；②E⊥DF；③∠GE＝∠DF．其中正确的结论是（ ） ．①② B．①③ ．②③ D．①②③ 解：∵四边形BD 是正方形， ∴B＝B＝D＝D，∠B＝∠BD＝90°， ∵E，F 分别是B，B 的中点， ∴BE＝ B，F＝ B， ∴BE＝F， 在△BE 与△DF 中， ， ∴△BE≌△DF（SS）， ∴∠EB＝∠DF，E＝DF，故①正确； ∵∠BE+∠ED＝90°， ∴∠ED+∠DF＝90°， ∴∠GD＝90°， ∴E⊥DF，故②正确； ∴∠EGD＝90°， 延长E 交D 的延长线于， ∵点E 是B 的中点， ∴E＝BE， ∵∠E＝∠BE，∠E＝∠EB，E＝BE， ∴△E≌△BE（S）， ∴B＝＝D， ∵G 是斜边的中线， ∴G＝ D＝D， ∴∠DG＝∠GD， ∵∠GE+∠GD＝90°，∠DF+∠DG＝90°， ∴∠GE＝∠DF．故③正确； 故选：D． 3．如图，在矩形BD 中，B＝10，D＝6，E 为B 上一点，把△DE 沿DE 折叠，使点落在B 边上的F 处，则E 的长为 ． 解：设E＝x，则BE＝6﹣x 由折叠性质可知，EF＝E＝x，DF＝D＝B＝10， 在Rt△DF 中，D＝6，DF＝10， ∴F＝8， ∴BF＝B﹣F＝10 8 ﹣＝2， 在Rt△BEF 中，BE2+BF2＝EF2， 即（6﹣x）2+22＝x2， 解得x＝ ， 故答为 ． 4．如图，在Rt△B 中，＝4，B＝3，点D 为中点，连接BD，作E⊥BD 交B 于点E，垂足为 F，则E＝ ． 解：如图，过点、B 分别作、B 的垂线，两垂线相交于点G，延长E 交G 于点， ∵△B 是直角三角形， ∴四边形BG 为矩形， ∵点D 为中点，＝4， ∴D＝D＝2， ∵B＝3， ∴BD＝ ＝ ＝ ， ∵E⊥BD， ∴∠DB+∠D＝90°，∠DB+∠DB＝90°， ∴∠D＝∠DB， Rt Rt ∴ △∽ △DB， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， ∴＝ ，＝ ； 在矩形BG 中，∥B， ∴△E∽△BE， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ， 解得：E＝ ． 故答为： ． 5．如图，将边长为4 的正方形BD 折叠，使得点落在D 的中点E 处，折痕为FG，点F 在 D 边上，则FG＝ 2 ． 解：如图，连接E，过点G 作GM⊥D 于M，则四边形BGM 中，MG＝B， 由翻折变换的性质得GF⊥E， ∵∠FG+∠DE＝90°，∠ED+∠DE＝90°， ∴∠FG＝∠ED， ∵四边形BD 是正方形， ∴D＝B， ∴MG＝D， ∴△DE≌△GMF（S）， ∴GF＝E， ∵点E 是D 的中点， ∴DE＝ D＝2， 在Rt△DE 中，由勾股定理得，E＝ ＝ ＝2 ， ∴GF 的长为2 ． 故答为：2 ． 6．如图，在边长为2 的正方形BD 中，点E，F 分别是边B，B 的中点，连接E，FD， 点G，分别是E，FD 的中点，连接G，则G 的长度为 1 ． 解：方法一：连接并延长交D 于P，连接PE， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠＝90°，D∥B，B＝D＝B＝2 ， ∵E，F 分别是边B，B 的中点， ∴E＝F＝ ×2 ＝ ， ∵D∥B， ∴∠DP＝∠F， ∵∠DP＝∠F， ∵D＝F， ∴△PD≌△F（S）， ∴PD＝F＝ ， ∴P＝D﹣PD＝ ， ∴PE＝ ＝ ＝2， ∵点G，分别是E，P 的中点， ∴G＝ EP＝1； 方法二：设DF，E 交于， ∵四边形BD 是正方形， ∴∠B＝∠DF＝90°，B＝D＝B， ∵点E，F 分别是边B，B 的中点， ∴BE＝F， ∴△BE≌△DF（SS）， ∴E＝DF，∠BE＝∠DF， ∵∠DF+∠FD＝90°， ∴∠BE+∠FD＝90°， ∴∠F＝90°， ∴DF⊥E， ∴E＝DF＝ ＝ ， ∵点G，分别是E，P 的中点， ∴G＝F＝ ， ∵∠DF＝90°，⊥DF， ∴∠D+∠F＝∠D+∠D＝90°， ∴∠F＝∠D， ∵∠DF＝∠F＝90°， ∴△F∽△D， ∴ ＝ ， ∴F2＝F•DF， ∴F＝ ＝ ＝ ， ∴＝ ，D＝ ， ∵∠F＝∠D＝90°， ∴△F∽△DF， ∴ ， ∴2＝F•D， ∴＝ ＝ ， ∴G＝G﹣＝ ﹣ ＝ ， ∴G＝ ＝ ＝1， 故答为：1． 7．如图，正方形BD 的边长是9，点E 是B 边上的一个动点，点F 是D 边上一点，F＝4， 连接EF，把正方形BD 沿EF 折叠，使点，D 分别落在点′，D′处，当点D′落在直线B 上 时，线段E 的长为 2 或 8 ． 解：分两种情况：①当D′落在线段B 上时，连接ED、ED′、DD′，如图1 所示： 由折叠可得，D，D'关于EF 对称，即EF 垂直平分DD'， ∴DE＝D′E， ∵正方形BD 的边长是9， ∴B＝B＝D＝D＝9， ∵F＝4， ∴DF＝D′F＝D﹣F＝9 4 ﹣＝5， ∴D′＝ ＝3， ∴BD'＝B﹣D'＝6， 设E＝x，则BE＝9﹣x， 在Rt△ED 和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝D2+E2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣ x）2+62， 9 ∴2+x2＝（9﹣x）2+62， 解得：x＝2， 即E＝2； ②当D′落在线段B 延长线上时，连接ED、ED′、DD′，如图2 所示： 由折叠可得，D，D'关于EF 对称，即EF 垂直平分DD'， ∴DE＝D′E， ∵正方形BD 的边长是9， ∴B＝B＝D＝D＝9， ∵F＝4， ∴DF＝D′F＝D﹣F＝9 4 ﹣＝5，D′＝ ＝3， ∴BD'＝B+D'＝12， 设E＝x，则BE＝9﹣x， 在Rt△ED 和Rt△BED'中，由勾股定理得：DE2＝D2+E2＝92+x2，D'E2＝BE2+BD'2＝（9﹣ x）2+122， 9 ∴2+x2＝（9﹣x）2+122， 解得：x＝8，即E＝8； 综上所述，线段E 的长为2 或8； 故答为：2 或8． 8．如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝B，点D 为B 边的中点，BE⊥D 于点E，交于点F， 求 的值． 解：如图，过点作G⊥D，交D 的延长线于点G； ∵BE⊥D， ∴BE∥G，△BDE∽△DG， ∴ ， ∵BD＝D， ∴DE＝DG； 设B＝2λ，则BD＝λ； ∵∠BD＝90°，BE⊥D， ∴D＝ ，B2＝E•D， ∴E＝ ，DE＝D﹣E＝ λ， ∴GE＝2DE＝ ； ∵EF∥G， ∴ ＝ ． 9．如图，在四边形BD 中，∠B＝90°，B＝D＝10，B＝D＝5，点M，分别在边B，B 上， 且M⊥D， 的值． 解：过点D 作B 的平行线，交过点作B 的平行线于G，交B 的延长线于，过点D 作 DP⊥B 于P， 则四边形BG 是矩形， ∵B＝D，B＝D， ∴∠D＝∠B＝90°， ∴∠DG+∠D＝90°， ∵∠DG+∠DG＝90°， ∴∠DG＝∠D， 又∵∠G＝∠， ∴△DG∽△D， ∴ ， ∴设＝x，则DG＝2x， ∴D＝10 2 ﹣x，G＝5+x， 5+ ∴ x＝2（10 2 ﹣x）， 解得x＝3， ∴B＝8， ∵∠DP＝∠BM，∠DP＝∠BM， ∴△BM∽△DP， ∴ ． 10．矩形BD 中，B＝8，D＝12．将矩形折叠，使点落在点P 处，折痕为DE． （1）如图①，若点P 恰好在边B 上，连接P，求 的值； （2）如图②，若E 是B 的中点，EP 的延长线交B 于点F，求BF 的长． 解：（1）如图①中，取DE 的中点M，连接PM． ∵四边形BD 是矩形， ∴∠BD＝∠＝90°， 由翻折可知，＝P，P⊥DE，∠2＝∠3，∠DE＝∠DPE＝90°， 在Rt△EPD 中，∵EM＝MD， ∴PM＝EM＝DM， 3 ∴∠＝∠MPD， 1 ∴∠＝∠3+∠MPD＝2 3 ∠， ∵∠DP＝2 3 ∠， 1 ∴∠＝∠DP， ∵D∥B， ∴∠DP＝∠DP， 1 ∴∠＝∠DP， ∵∠MP＝∠＝90°， ∴△PM∽△DP， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ＝ ． 解法二：证明△BP 和△DE 相似， ＝ ＝ ． （2）如图②中，过点P 作G∥B 交B 于G，交D 于．则四边形GD 是矩形，设EG＝x， 则BG＝4﹣x ∵∠＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DP＝90°， ∴∠EPG+∠DP＝90°，∠DP+∠PD＝90°， ∴∠EPG＝∠PD， ∴△EGP∽△PD， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ， ∴P＝3EG＝3x，D＝G＝4+x， 在Rt△PD 中，∵P2+D2＝PD2， ∴（3x）2+（4+x）2＝122， 解得x＝ （负值已经舍弃）， ∴BG＝4﹣ ＝ ， 在Rt△EGP 中，GP＝ ＝ ， ∵G∥B， ∴△EGP∽△EBF， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BF＝3． 11．已知四边形BD 中，E、F 分别是B、D 边上的点，DE 与F 交于点G． （1）如图①，若四边形BD 是矩形，且DE⊥F，求证：△DE∽△DF； （2）如图②，若四边形BD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EG 满足什么关系时， 成立？并证明你的结论； （3）如图③，若B＝B＝6，D＝D＝8，∠BD＝90°，DE⊥F，请直接写出 的值． （1）证明：∵四边形BD 是矩形， ∴∠＝∠D＝90°， ∴∠DE+∠DG＝90°， 又∵DE⊥F，∠DG+∠DF＝90°， ∴∠DE＝∠DF， ∴△DE∽△DF． （2）解：当∠B+∠EG＝180°时， 成立，理由如下： 在D 的延长线上取点M，使M＝F，如图1 所示： 则∠MF＝∠FM．∵四边形BD 是平行四边形， ∴B∥D，D∥B， ∴∠＝∠DM，∠FB＝∠FM， ∵∠B+∠EG＝180°， ∴∠BEG+∠FB＝360°﹣（∠B+∠EG）＝180°， 又∵∠BEG+∠ED＝180°， ∴∠ED＝∠FB， ∴∠MF＝∠ED． ∴△DE∽△DM， ∴ ， ∴ ； （3）解： ；理由如下： 连接、BD，交于点M，作⊥D 于