蓉城名校联盟2021～2022学年度上期高中2020级期中联考理科数学参考答案及评分标准

1 蓉城名校联盟2021～2022 学年度上期高中2020 级期中联考 理科数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A B D B C A D D B C A D 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．2  14．3 15．4 3 3 16．3 3 2 三、解答题：本题共6 小题，共70 分。 17． （10 分） 解： （1）设所求直线方程为4 3 0 x y m    ， ……2 分 由点 (1,2) P 在直线4 3 0 x y m    上， 得4 1 3 2 0 m    ， 10 m  ． ……4 分 故所求直线方程为4 3 10 0 x y    . ……5 分 （2）设所求直线方程为3 4 0 x y c    ， ……7 分 由| 2 | 2 5 c   得 12 c  或 8 c ， ……9 分 故所求直线方程为3 4 12 0 x y    或3 4 8 0 x y    ． ……10 分 18． （12 分） 解:（1） 1 2 5 3 | | | | 4 2 2 2 MF MF a       ， ……2 分 2 a   ，又 1 c   ， 2 2 2 3 b a c     ， ……4 分 椭圆的标准方程为 2 2 1 4 3 x y   . ……6 分 另解1：由 2 2 2 2 2 1 9 1 4 1 c a b a b             得 2 2 4 3 a b        另解2：由 2 2 2 2 1 3 2 c a b b a          得 2 2 4 3 a b        （2）设   1 1 , A x y ，   2 2 , B x y ， 由 2 2 1 1 3 4 12 x y   ， 2 2 2 2 3 4 12 x y   ， 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 3( )( ) 4( )( ) x x x x y y y y      ， ……8 分 1 2 2 x x    ， 1 2 1 y y  ， 2 1 2 1 2 3 2 AB y y k x x      ， ……10 分 直线l 的方程为 1 3 ( 1) 2 2 y x    即3 2 4 0 x y    ． 故直线l 的方程为3 2 4 0 x y    ， ……12 分 另解1： 2 2 1 ( 1) 2 3 4 12 y k x x y           得 2 2 2 (4 3) 4 (2 1) (2 1) 12 0 k x k k x k        ， 1 2 2 2 (2 1) 1 2 4 3 x x k k k      ， 3 2 k  ． 另解2：由公式得 2 0 2 0 3 2 AB b x k a y   （建议不扣分） ． 19． （12 分） 解： （1）设圆心 ( ,2 ) C t t  ，由 2 2 | | | | CA CB  ， ……2 分 得 2 2 2 2 ( 4) ( 2) ( 2) t t t t       ， 2 t  ， 圆心 (2,0) C ，半径 2 r  ， ……4 分 故圆C 的方程为 2 2 ( 2) 4 x y    ． ……6 分 （2）当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为 4 ( 3) y k x    ， 即 3 4 0 kx y k     ，圆心到直线的距离为 2 | 4 | 1 k d k    ， ……7 分 弦长 2 | | 2 3 2 4 MN d    ， 2 | 4 | 1 1 k d k     ， 15 8 k  ． ……9 分 直线l 的方程为15 8 13 0 x y    ． 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为 3 x  ， 圆心到直线的距离为 1 d 弦长 2 | | 2 4 2 3 MN d    满足题意． ……11 分 综上：直线l 的方程为15 8 13 0 x y    或 3 x  ． ……12 分 20． （12 分） 解： （1）设动点 ( , ) P x y ，根据题意得 2 2 ( 1) 2 | 2 | 2 x y y     ， ……3 分 整理得 2 2 1 2 y x  ， 故曲线C 的方程为 2 2 1 2 y x  ． ……5 分 （2）设 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y ， 由 2 2 1 2 2 y kx x y        消去y 整理得 2 2 ( 2) 2 1 0 k x kx    ， 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 k x x x x k k      ， ， ……7 分 3  AM BM k k   1 2 1 2 2 2 y y x x    1 2 1 2 1 2 1 2 kx kx x x     ， ……9 分 1 2 1 1 2 ( ) k x x     1 2 1 2 2 x x k x x    2 2 2 2 2 0 1 2 k k k k       ．  0 AM BM k k   ． ……12 分 21． （12 分） 解： （1）设点 ( , ) M x y ，则点 (2 4,2 ) P x y  在圆 2 2 2 x y r   上， ……2 分 故 2 2 2 (2 4) 4 x y r    ，即 2 2 2 1 ( 2) 4 x y r    ， ……4 分 所以曲线C 的方程为 2 2 2 1 ( 2) 4 x y r    ． ……5 分 轨迹为以(2,0) 为圆心，2 r 为半径的圆． ……6 分 （2）设点 ( , ) M x y 由| | 2 | | MA MB  ， 得 2 2 2 2 ( 3) ( 5) 2 ( 2) x y x y       ， 整理得 2 2 ( 1) ( 1) 8 x y     ． ……8 分 由题意圆 2 2 2 1 ( 2) 4 x y r    与圆 2 2 ( 1) ( 1) 8 x y     有公共点， ……9 分 故1 1 2 2 10 2 2 2 2   r r ，即2 10 4 2 2 10 4 2   r ， ……11 分 所以r 的取值范围为[2 10 4 2 2 10 4 2]   , ． ……12 分 22． （12 分） 解： （1）设点 0 0 ( , ) P x y ，则 2 2 2 2 2 2 0 0 b x a y a b   ， 整理得 2 2 2 2 0 0 2 ( ) b y x a a   ， 2 2 0 2 2 2 0 y b x a a   ， ……1 分 1 2 2 2 0 0 0 2 2 2 0 0 0 PA PA y y y b k k x a x a x a a         ， ……2 分 椭圆的离心率e  3 2 ， 2 2 4 a b  ， ……3 分 1 2 1 4 PA PA k k    为定值． ……4 分 另解1：椭圆的离心率e  3 2 ， 2 2 4 a b  ， 椭圆的方程为 2 2 2 4 4 x y b   ． 设点 0 0 ( , ) P x y ， 则 2 2 2 0 0 4 4 x y b   ， 2 2 2 0 0 4 4 x b y   ，  1 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 1 4 4 4 PA PA y y y y y k k x a x a x a x b y             ． 4 （2）椭圆的方程为 2 2 1 4 x y  ， 坐标原点O 在以AB 为直径的圆上， OA OB  ． ……5 分 ①假设存在定圆与直线l 相切，由对称性可知定圆的圆心在坐标原点O， 当直线l 的斜率不存在时，由对称性设 ( , ) A t t ，则 2 2 4 4 t t   ， 2 4 5 t  ， 此时坐标原点O 到直线l 的距离的平方为4 5 ， ……6 分 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx m   ， 1 1 ( , ) A x y ， 2 2 ( , ) B x y ， 由 2 2 4 4 y kx m x y        得 2 2 2 (4 1) 8 4( 1) 0 k x kmx m      ， 2 2 16[(4 1) ] 0 k m     ． 2 2 2 2 (4 1) 2 4 0 k y my m k      ， OA OB  ， 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 4 4 0 4 1 4 1 m m k x x y y k k          ， 2 2 5 4( 1) m k    ，此时 2 16 (16 1) 0 5 k    ． 坐标原点O 到直线l y kx m   ： 的距离的平方 2 2 2 4 1 5 m d k    ， 故存在定圆 2 2 4 5 x y   与直线l 恒相切． ……8 分 ②当直线l 的斜率不存在时，三角形OAB 的面积 4 5 S  ； ……9 分 当直线l 的斜率存在时三角形OAB 的面积， 1 2 2 1 1 | || | | | 2 2 4 1 S m x x m k      2 2 2 (16 1)( 1) 4 5 4 1 k k k     令 2 4 1( 1) t k t    ， 2 2 (4 3)( 3) 5 t t S t     2 2 1 1 4 9 9 5 t t   2 2 1 1 25 9( ) 5 2 4 t     ， 4 1 5  S ． ……11 分 综上：三角形OAB 的面积的取值范围为4 [ ,1] 5 ． ……12 分 另解1：①当直线OA 的斜率不存在或为0 时，坐标原点O 到直线l 的距离的为2 5 当直线OA 的斜率存在且不为0 时，设直线OA y kx  ： ，直线OB： 1 y x k  由 2 2 4 4 y kx x y       得 2 2 4 4 1 x k   ， 2 2 2 | | 1 4 1 OA k k    将k 用 1 k  代得 2 2 2 1 | | 4 k OB k    ， 5 坐标原点O 到直线l 的距离为 2 2 | || | 2 5 | | | | OA OB OA OB   故存在定圆 2 2 4 5 x y   与直线l 恒相切． ②当直线OA 的斜率不存在或为0 时，三角形OAB 的面积 1 S  当直线OA 的斜率存在且为0 时三角形OAB 的面积 2 2 2 2 1 4( 1) 4 | || | [ ,1) 2 ( 4)(4 1) 5 k S OA OB k k       另解2（极坐标） ： ①椭圆的极坐标方程为 2 2 4 1 3sin     ， 1 2 π ( , ) ( , ) 2 A B   ， 2 1 2 4 1 3sin     ， 2 2 2 4 1 3cos     坐标原点O 到直线l 的距离为 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 5          故存在定圆 2 2 4 5 x y   与直线l 恒相切． ②三角形OAB 的面积 1 2 2 1 1 4 2 [ ,1] 9 2 5 4 sin 4 S       ． 6 解析： 1． 1 1 k a  选A． 2．将 4  改为0，得 1 2 y x  选B． 3．由题意 0 2 0 2 m m m m      ， ， 选D． 4．由 1 2 1 1 m m m    得 1 m 选B． 5．平移至( 1,1)  处最小选C． 6．原点关于直线的对称点为(2,2) 选A． 7．椭圆方程为 2 2 1 16 12 x y   ，点P 在短轴顶点时角最大．选D． 8．直线过定点P（1,1） ，直线与OP 垂直时最小．选D． 9． 1 2 | | 2| | AB x x   ，选B． 10． 直线设为 1 x y a b  ，2 1 1 a b  ， 当2 1 1 2 a b   时面积最小， 直线为 2 4 0 x y    由d r  ， 得 0,5 m  选C． 11．三角形 2 ABF 的面积为2 2 ，三角形 2 ABF 的内切圆的半径为 2 2 ，选A． 12．②错误，其余正确．选D． 13．圆心( , 1) 2 a  在直线y x  上，故 2 a ． 14．3． 15．点P 的轨迹方程为 2 2 1 8 4 x y   ，三角形MPN 的面积为 2 π 4 3 tan =4tan 2 6 3 b   ． 16．直线AB 的方程为2 2 2 x y   ，AB 的弦长为 6 ，点P 到AB 的最大距离为3 2 2 ，最大面积为 1 3 2 3 3 6 2 2 2    ．