蓉城名校联盟2021～2022学年度上期高中2020级期中联考（理科）数学试题

高中2020 级理科数学试题 第 1 页 （共 4 页） 蓉城名校联盟2021～2022学年度上期高中2020级期中联考 理科数学 考试时间120 分钟，满分150 分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5 毫米黑 色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。 2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上， 如需改动， 用橡皮擦 擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答， 超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．若直线 1 0 x ay + −= 的倾斜角为3π 4 ，则实数a 的值为 A．1 B．1 − C．2 D．2 − 2．双曲线 2 2 4 4 x y − = −的渐近线方程为 A． 2 y x = ± B． 1 2 y x = ± C． 4 y x = ± D． 1 4 y x = ± 3．若方程 2 2 1 2 x y m m + = − 表示椭圆，则实数m 的取值范围为 A．(0,1) B．(1,2) C．(0,2) D． (0,1) (1,2)  4．若直线 2 1 0 mx y m + + −= 与直线 1 0 x my + + = 平行，则实数m 的取值为 A．1或1 − B．1 − C．1 D．0 5．已知x y ，满足约束条件 0 0 2 0 x y x x y +    − +  ， ， ，    则 2 1 z x y = − + 的最小值为 A．1 B．1 − C．2 − D．4 − 6．圆 2 2 1 x y + = 关于直线 2 0 + − = x y 对称的圆的方程为 A． 2 2 ( 2) ( 2) 1 x y − + − = B． 2 2 ( 2) ( 2) 1 x y + + + = C． 2 2 ( 2) ( 2) 1 x y + + − = D． 2 2 ( 2) ( 2) 1 x y − + + = 7．椭圆与双曲线 2 2 1 3 y x − = 有相同的焦点 1 2 F F ， ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意 高中2020 级理科数学试题 第 2 页 （共 4 页） 一点，则角 1 2 F PF ∠ 的最大值为 A．5π 6 B．2π 3 C．π 2 D．π 3 8．直线(3 2) (2 1) 5 1 0 m x m y m + + − − −= 与圆 2 2 3 x y + = 交于M N ， 两点，则弦长| | MN 的最小值为 A． 7 B．2 7 C．1 D．2 9．直线 = + y x m 与椭圆 2 2 1 2 + = x y 交于A B ， 两点，若弦长 4 2 | | 3 = AB ，则实数m 的 值为 A． 2 1 ± B．1 ± C． 2 3 ± D． 2 ± 10．过点 (2,1) P 的直线l 与坐标轴的正半轴交于A B ，两点，当三角形OAB 的面积最小时 直线l 与圆 2 2 ( 1) ( ) 5 x y m + + − = 相切，则实数m 的值为 A．1 −或4 B．1 或6 C．0 或5 D．2 或7 11．已知点 1 2 F F ， 为椭圆 2 2 1 4 2 x y + = 的左右焦点，过点 1 F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于 A B ，两点，则三角形 2 ABF 的内切圆的半径为 A． 2 2 B．1 C． 2 D．2 12．下列结论正确的个数为 ① 直线 ( 2) y k x = + 与曲线 2 1 y x = − 有公共点， 则直线的倾斜角的取值范围为 π [0 ] 6 ，； ② 若动点 ( , ) P x y 满足 2 2 2 2 ( 2) ( 2) 2 x y x y + + − − + = ，则点P 的轨迹为双曲线； ③ 点 1 2 F F ， 为椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 的左右焦点，且椭圆上存在点P 使得 1 2 | | 3| | PF PF = ，则椭圆的离心率的取值范围为1 [ ,1) 2 ； ④ 点 2 F 为椭圆 2 2 1 25 16 x y + = 的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点 (1,3) M ，则 2 | | | | PF PM + 的最小值为5； ⑤ 斜率为2 的直线与椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 交于A B ，两点， 点M 为AB 的中点， 直线OM 的斜率为 1 4 − （O 为坐标原点），则椭圆的离心率为 2 2 . A．1 B．2 C．3 D．4 高中2020 级理科数学试题 第 3 页 （共 4 页） 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．圆 2 2 2 1 0 x y ax y + − + −= 关于直线y x = 对称，则实数a = ________． 14．双曲线 2 2 1 4 9 x y − = 的焦点到渐近线的距离等于________． 15．动圆P 过点 (2,0) M 且与圆 ： N 2 2 ( 2) 32 x y + + = 内切，当 π 3 MPN ∠ = 时，三角形MPN 的面积为________． 16．过点(2 2) − ， 作圆 2 2 2 x y + = 的切线，切点为A B ，，点P 为圆 2 2 2 x y + = 上任意一点， 则三角形PAB 面积的最大值为________． 三、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 已知直线l ：3 4 2 0 − + = x y ． （1）求过点 (1,2) P 且与直线l 垂直的直线的方程； （2）求与直线l 平行且距离为2 的直线的方程． 18．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 的焦点为 1 2 ( 1,0) (1,0) F F − ， 且经过点 3 (1, ) 2 M ． （1）求椭圆的标准方程； （2） 若直线l 与椭圆交于A B ，两点， 且线段AB 的中点为 1 ( 1, ) 2 P − ， 求直线l 的方程． 19．（12 分） 已知圆C 的圆心在直线 2 0 x y + − = 上，且经过点 (4,0) (2,2) A B ， ． （1）求圆C 的方程； （2） 若直线l 过点 (3,4) P 与圆交于M N ， 两点， 且弦长| | 2 3 MN = ， 求直线l 的方程． 高中2020 级理科数学试题 第 4 页 （共 4 页） 20．（12 分） 已知动点P 到点(0,1) 的距离与到直线 2 y = 的距离的比值为 2 2 ， 动点P 的轨迹为曲 线C ． （1）求曲线C 的方程； （2）直线 1 y kx = + 与曲线C 交于A B ，两点，点 (0,2) M ，证明直线MA MB ， 的斜率 之和为0 ． 21．（12 分） 已知点P 为圆 2 2 2( 0) x y r r + = > 上的动点，点 (4,0) Q ，点M 是PQ 的中点，点M 的 轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程； （2）若 (3,5) A ， (0,2) B 且曲线C 上存在点M ，使得| | 2 | | MA MB = ，求r 的取值范围． 22．（12 分） 已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 的离心率为 3 2 ． （1） 点P 是椭圆上异于左右顶点的任意一点，1 2 ( ,0) ( ,0) A a A a − ， ， 证明点P 与 1 2 A A ， 连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值； （2） 若椭圆的短轴长为2 ， 动直线l 与椭圆交于A B ，两点， 且坐标原点O 在以AB 为 直径的圆上． ① 判断是否存在定圆与直线l 恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明 理由； ② 求三角形OAB 的面积的取值范围．