蓉城名校联盟2021～2022学年度上期高中2020级期中联考（理科）数学试题

蓉城名校联盟2021～2022 学年度上期高中2020 级期中联 考 理科数学 考试时间120 分钟，满分150 分 注意事项： 1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5 毫米 黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。 2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮 擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作 答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。 3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1．若直线 的倾斜角为 ，则实数 的值为 A．1 B． C．2 D． 2．双曲线 的渐近线方程为 A． B． C． D． 3．若方程 表示椭圆，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 4．若直线 与直线 平行，则实数 的取值为 A．或 B． C．1 D．0 5．已知 满足约束条件 则 的最小值为 A． B． C． D． 6．圆 关于直线 对称的圆的方程为 A． B． C． D． 7．椭圆与双曲线 有相同的焦点 ，离心率互为倒数， 为椭圆上任意 一点，则角 的最大值为 A． B． C． D． 8．直线 与圆 交于 两点，则弦长 的最小值为 A． B． C．1 D．2 9．直线 与椭圆 交于 两点，若弦长 ，则实数 的 值为 A． B． C． D． 10．过点 的直线与坐标轴的正半轴交于 两点，当三角形 的面积最小 时 直线与圆 相切，则实数 的值为 A． 或4 B．1 或6 C．0 或5 D．2 或7 11．已知点 为椭圆 的左右焦点，过点 与 轴垂直的直线与椭圆交于 两点，则三角形 的内切圆的半径为 A． B．1 C． D．2 12．下列结论正确的个数为 ① 直线 与曲线 有公共点，则直线的倾斜角的取值范围为 ； ② 若动点 满足 ，则点P 的轨迹为双曲线； ③ 点 为椭圆 的左右焦点，且椭圆上存在点P 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围为 ； ④ 点 为椭圆 的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点 ，则 的最小值为5； ⑤ 斜率为2 的直线与椭圆 交于 两点，点 为 的中点， 直线 的斜率为 （ 为坐标原点），则椭圆的离心率为 . A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13．圆 关于直线 对称，则实数 ________． 14．双曲线 的焦点到渐近线的距离等于________． 15．动圆 过点 且与圆 内切，当 时，三角形 的面积为________． 16．过点 作圆 的切线，切点为 ，点 为圆 上任意一点， 则三角形 面积的最大值为________． 三、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分） 已知直线： ． （1）求过点 且与直线垂直的直线的方程； （2）求与直线平行且距离为2 的直线的方程． 18．（12 分） 已知椭圆 的焦点为 且经过点 ． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与椭圆交于 两点，且线段 的中点为 ，求直线的方 程． 19．（12 分） 已知圆 的圆心在直线 上，且经过点 ． （1）求圆 的方程； （2）若直线过点 与圆交于 两点，且弦长 ，求直线的方 程． 20．（12 分） 已知动点 到点 的距离与到直线 的距离的比值为 ，动点 的轨迹为 曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）直线 与曲线 交于 两点，点 ，证明直线 的斜 率之和为 ． 21．（12 分） 已知点 为圆 上的动点，点 ，点 是 的中点，点 的轨迹为曲线 ． （1）求曲线 的方程； （2）若 ， 且曲线 上存在点 ，使得 ，求 的取值范围． 22．（12 分） 已知椭圆 的离心率为 ． （1）点 是椭圆上异于左右顶点的任意一点， ，证明点 与 连线的斜率的乘积为定值，并求出该定值； （2）若椭圆的短轴长为 ，动直线与椭圆交于 两点，且坐标原点 在以 为直径的圆上． ① 判断是否存在定圆与直线恒相切，若存在，求定圆的方程，若不存在，请说明 理由； ② 求三角形 的面积的取值范围．