第01讲 实数（讲义）（原卷版）

第01 讲 实数 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 实数的分类（高频考点） 题型01 实数的分类 题型02 无理数估值 题型03 相反意义的量 考点二 实数的相关概念（高频考点） 题型01 用数轴上的点表示数 题型02 求数轴上两点之间的距离 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 题型04 数轴上的动点问题 题型05 求一个数的相反数 题型06 多重符号化简 题型07 相反数的应用 题型08 求一个数的绝对值 题型09 化简绝对值 题型10 绝对值非负性的应用 题型11 利用几何意义化简绝对值 题型12 乘方运算 题型13 乘方的应用 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 题型01 用科学记数法表示数 题型02 求一个数的近似数 考点四 实数比较大小 题型01 利用数轴法比较实数大小 题型02 利用类比法比较实数大小 题型03 利用作差法比较实数大小 题型04 利用作商法比较实数大小 题型05 利用平方法比较实数大小 题型06 利用其它方法比较实数大小 考点五 平方根、算术平方根、立方根 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 利用算术平方根的非负性解题 题型03 求一个数的平方根 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 题型05 求一个数的立方根 考点六 实数的运算（高频考点） 题型01 实数的运算 考点要求 新课标要求 命题预测 实数的分类  理解有理数、无理数的概念，知道实数是由 有理数和无理数组成的 实数这一考点在中考数学中属于 较为简单的一类考点，在中考， 实数的分类及相关概念主要以选 择题或填空题形式考查，比较 简单；科学记数法、近似数多以 选择题或填空题形式考查，有 大数和小数两种形式，有时带 “亿”“万”“千万”等单位， 做题时要仔细审题，切忽略单 位；实数的大小比较常以选择题 形式出现，常与数轴结合考查； 实数的运算考查形式多样，多数 以解答题形式出现，结合绝对 值、锐角三函数、二次根式、平 方根、立方根等知识考查 对于实 数的复习，需要学生熟练掌握实 数相关概念及其性质的应用、实 数运算法则和顺序等考点 实数的相关概念  可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义， 会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实 数与数轴上的点一一对应 科学记数法、近似 数  利用科学记数法简化表示非常大或非常小的 数，了解近似数，会按问题的要求进行简单 的近似计算 实数比较大小  灵活运用多种方法比较实数大小 平方根、算术平方 根、立方根  了解平方根、算术平方根、立方根的概念， 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立 方根 实数的相关计算  掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单 的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理 数的运算解决简单的问题，知道有理数的运 算律在实数范围内仍然适用． 考点一 实数的分类（高频考点） 1、正负数的概念：大于0 的数叫做正数正数前面加上符号“-”的数叫负数负数前面的负号“-”不能省略 0 既不是正数，也不是负数 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则 另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数 统称为实数 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 题型01 实数的分类 【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ） ． 3 √8 B．3.232232223? ? ? ．π 3 D．❑ √2 【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ） ．2023 B．−2023 ． 1 2023 D．0 【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在−2, 1 2 ,❑ √3,2中，是无理数的是（ ） ．−2 B．1 2 ．❑ √3 D．2 【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数❑ √2，x0（x≠0），s30°， 3 √8中，有理数的个数是 （ ） 1 有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数（例：053（分数形 式：53 100）、1333333…（分数形式：4 3 ）等） 2 无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数(例如：π，π 3 （不是分数）等) 3 带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数 4 对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ） ．3 B．2.1 ．0 D．−2 题型02 无理数估值 【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3 与4 之间的是（ ）． ． B． ． D． 【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1 小的正无理数是（ ） ． B． ． D． 【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计 的值应在 （） ．1 和2 之间 B．2 和3 之间 ．3 和4 之间 D．4 和5 之 【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若 为两个连续整数，且 ，则 ． 题型03 相反意义的量 【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中， 如果把收入5 元记作+5元，那么支出5 元记作（ ） ．−5元 B．0 元 ．+5元 D．+10元 【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今 两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30 吨粮食记为“+30”，则“−30”表示（ ） ．运出30 吨粮食 B．亏损30 吨粮食 ．卖掉30 吨粮食 D．吃掉30 吨粮食 【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上 ，记作+126° Ca，夜间平均 温度零下 ，应记作（ ） ．+150° Ca B． ．+276° Ca D． 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1 有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式 2 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16 是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： ①开方开不尽的数，如：❑ √2、3 √5 等 ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如5π，3+π，π 3 等 ③具有特定结构的数，如01010010001···（两个1 之间依次增加1 个0） ④某些三角函数，如s60°、s20° 考点二 实数的相关概念（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方 向、单位长度的直线 叫做数轴 数轴上的点与实数具有一一对应的关系 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表 示的数大 在数轴上距原点个单位长度的点有2 个 数轴中点公式：数轴上有两点、B 分别表示的数为x，y，若是、B 两 点的中点， 所表示的数为，则有：2=x+y 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数） 相反数 只有符号不同的两个 数称为互为相反数 若、b 互为相反数，则+b=0（反之亦成立） 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且 位于原点的两侧 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0 的相反数是0 相反数 是本身的数是0 （+b）的相反数是-（+b），（-b）的相反数是-（-b）或b- 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正 绝对值 在数轴上表示数的点 到原点的距离叫做的 绝对值，记为||． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而 小 正数的绝对值是它本身；0 绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若||=（或||-=0），则≥0，若||=-（或||+=0），则≤0 若=b 或=-b，则||=|b|（反之亦成立） 若||+|b|=0，则=0 且b=0（、b 可以是多项式） 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x 的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x 的点与表示1 的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x 的点与表示-2 的点之间的距离 倒数 1 除以一个不等于零 的实数所得的商， 叫做这个数的倒 数． 0 没有倒数 若、b 互为倒数，则b=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数） 倒数是本身的只有1 和-1 乘方 个相同的因数相乘 记作，其中为底 数，为指数， 乘方的结果叫做幂 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 规定：0=1（≠0） 10 的相反数是0，0 的绝对值是0 绝对值最小的数是0 最小的自然数是00 是最小的非负数 2 任何一个数都有且只有一个相反数 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数） 3 到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代 数式|x−|的几何意义是数轴上x 所对应的点与所对应的点之间的距离，代数式|x+|的几何意义是数轴 上x 所对应的点与－所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 题型01 用数轴上的点表示数 【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点表示的数大3 的数是（ ） ．−1 B．0 ．1 D．2 【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点表示的数是2023，OA=OB，则点B 表示的 数是（ ） ．2023 B．−2023 ． 1 2023 D．−1 2023 【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表 示的数是6，则点A表示的数是（ ） ．-2 B．-3 ．-4 D．-5 【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数❑ √7的点可能是( ) ．点P B．点Q ．点R D．点S 题型02 求数轴上两点之间的距离 【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上点出发爬了4 个单位到了相反数B 点所在的位 置，则点所表示的是（ ） ．﹣2 或2 B．﹣2 ．2 D．4 或﹣4 【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点、B 分别表示、b，且a+b=0，若 AB=6，则点表示的数为（ ） ．−3 B．0 ．3 D．−6 【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的 中点，线段AB=❑ √2，则点C表示的数是 ． 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数，b，在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ） ．−c<b B．a>−c ．|a−b|=b−a D．|c−a|=a−c 【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数，b，在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） ．c(b−a)<0 B．b(c−a)<0 ．a(b−c)>0 D．a(c+b)>0 【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数，b 在数轴上的对应点在原点两侧，下列 各式成立的是（ ） ．| a b|>1 B．−a<b ．a−b>0 D．−ab>0 【变式3-3】（2023·江苏连云港·中考真题）如图，数轴上的点A ? BCam分别对应实数a? bCam，则 a+b 0(用“¿”“¿”或“¿”填空) 利用特殊值法判断式子正负 利用数轴来判断代数式的符号这类题目，在做选择题和填空题的时候，还可以利用数轴，选择特 殊值法【变式3-3】中根据数轴、B 点的位置，首先可知为负数，b 为正数且的绝对值大于b 的绝对值， 所以我们假设=-2,b=1，然后代入到代数式中判断正负 利用特殊值法做题时，大家需要注意：根据题 目信息将合适的数值带入到代数式中判断式子正负 题型04 数轴上的动点问题 【例4】（2022·广东·惠州一中校考二模）如图，直径为1 个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右无滑 动地滚动一周到达点 ，则点 表示的数是（ ）． ．3 B．4 ．π D．2π 【变式4-1】（2021·广西百色·一模）正方形纸板ABCD在数轴上的位置如图所示，点A , D对应的数分 别为1 和0，若正方形纸板ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与2020 对应的点是 （ ） ． B．B ． D．D 【变式4-2】（2023·河北承德·二模）如图，数轴上点M 对应的数为−10，点在点M 右侧，对应的数为， 矩形ABCD的边AD在数轴上．矩形从点与M 重合开始匀速向正方向运动，到点D 与点重合时停止运动． 同时一动点P 以每秒2 个单位长度的速度，从点出发沿折线 绕矩形匀速运动一周，且 点P 与矩形同时到达各自终点．已知AB=10，BC=30，设运动时间为t 秒，过点Р 作垂直于数轴的直线， 将垂足对应的数称为点Р 对应的数． (1)若矩形运动速度为每秒1 个单位长度，则点对应数轴上的数为 ；（用含t 的代数式表示，不必写范 围）． (2)若a=60，当 ，即点Р 在BC边上时，点Р 对应数轴上的数为 ；（用含t 的代数式表示） (3)若运动过程中有一段时间，点Р 对应数轴上的数不变，则a=¿ ． 【变式4-3】．（2022·河北石家庄·石家庄二十三中校考模拟预测）如图，程序员在数轴上设计了、B 两个质点，它们分别位于― 6 和9 的位置，现两点按照下述规则进行移动：每次移动的规则x 分别掷两次 正方体骰子，观察向上面的点数： ①若两次向上面的点数均为偶数，则点向右移动1 个单位，B 点向左移2 个单位； ②若两次向上面的点数均为奇数，则点向左移动2 个单位，B 点向左移动5 个单位； ③若两次向上面的点数为一奇一偶，则点向右移动5 个单位，B 点向右移2 个单位． (1)经过第一次移动，求B 点移动到4 的概率； (2)从如图所示的位置开始，在完成的12 次移动中，发现正方体骰子向上面的点数均为偶数或奇数，设正 方体骰子向上面的点数均为偶数的次数为，若点最终的位置对应的数为b，请用含的代数式表示b，并求当 点落在原点时，求此时B 点表示的数； (3)从如图所示的位置开始，经过x 次移动后，若AB=3，求x 的值． 【变式4-4】（2022·河北邯郸·校考三模）如图，在数轴上，点P、、B 表示的数分别是﹣6、﹣3、2． 点P 以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点B 以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动， 设点P、B 运动的时间为t 秒时，点P、B 分别位于数轴上P'、B'处． (1)当t＝ 时，B＝8． (2)当P'＝3P'B 时，求t 的值． 数轴上的动点问题 解决动点问题首先要做到仔细理解题意，弄清运动的整个过程和图形的变化，然后再根据运动过 程展开分类讨论画出图形，最后针对不同情况寻找等量关系列方程求解而对于建立在数轴上的动点问 题来说，由于数轴本身的特点，这类问题常有两种不同的解题思路一种是根据“形”的关系来分析寻 找等量关系，也就是利用各线段之间的数量关系列方程求解；另一种是从“数”的方面寻找等量关系 就是利用各点在数轴上表示的数之间存在的内在关系列方程 因此解决数轴上的动点问题要明确以下几 个问题： 1 找出动点的基准坐标，即运动的起始坐标； 2 算出动点运动后的坐标： 向右运动：运动后的坐标 = 基准坐标 + 运动路程； 向左运动：运动后的坐标 = 基准坐标 - 运动路程； 3 表示线段长度：线段右端点表示的数 - 线段左端点表示的数； 4 列方程：根据运动的关系或题目中的条件，列出方程，未知数通常是运动时间t、速度v 或所求坐标； 5 求解 题型05 求一个数的相反数 【例5】（2023·辽宁锦州·中考真题）2023的相反数是（ ） ． 1 2023 B．−2023 ．2023 D．−1 2023 【变式5-1】（2023·湖北恩施·中考真题）如图，数轴上点所表示的数的相反数是（ ） ．9 B．−1 9 ．1 9 D．−9 【变式5-2】（2023·四川绵阳·中考真题）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，﹣ 05 的相反数是（ ） ．05 B．±05 ．﹣05 D．5 题型06 多重符号化简 【例6】（2023·广东广州·中考真题）−(−2023)=¿（ ） ．−2023 B．2023 ．−1 2023 D． 1 2023 【变式6-1】（2023·广东广州·校考模拟预测）下列各对数中，互为相反数的是（ ） ．−(+5)和−5 B．+(−5)和−5 ．+(−8)和−(+8) D．+(−8)和−(−8) 题型07 相反数的应用 【例7】（2021·河北·中考真题）能与−( 3 4 −6 5)相加得0 的是（ ） ．−3 4 −6 5 B．6 5 + 3 4 ．−6 5 + 3 4 D．−3 4 + 6 5 【变式7-1】（2023·山东潍坊·一模）若实数的相反数是﹣1，则+1 等于（ ） ．2 B．﹣2 ．0 D．1 2 【变式7-2】（2022·内蒙古包头·中考真题）若，b 互为相反数，的倒数是4，则3a+3b−4 c的值为 （ ） ．−8 B．−5 ．−1 D．16 【变式7-3】（2021·甘肃陇南·一模）若m+1与−2互为相反数，则m的值为 题型08 求一个数的绝对值 【例8】（2023·浙江·中考真题）计算： ． 【变式8-1】（2022·湖北宜昌·中考真题）下列说法正确的个数是（ ） ①－2022 的相反数是2022；②－2022 的绝对值是2022；③ 的倒数是2022． ．3 B．2 ．1 D．0 【变式8-2】（2022·四川南充·中考真题）下列计算结果为5 的是（ ） ． B． ． D． 【变式8-3】（2023·山东淄博·中考真题） 的运算结果等于（ ） ．3 B． ． D． 题型09 化简绝对值 【例9】（2022·内蒙古·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则 的化简结果是 （ ） ．1 B．2 ．2 D．1 2 ﹣ 【变式9-1】（2022·宁夏·中考真题）已知实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ） ． B． ． D． 【变式9-2】（2023·安徽蚌埠·模拟预测）有理数 、 、在数轴上的位置如图所示，则 的值是（ ） ．