第03讲 分式（讲义）（原卷版）

第03 讲 分式 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 分式的相关概念 题型01 分式的判断 题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 题型03 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 题型04 约分与最简公式 题型05 最简公分母 考点二 分式的基本性质 题型01 利用分式的基本性质进行变形 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 考点三 分式的运算 题型01 分式的加减法 题型02 分式的乘除法 题型03 分式的混合运算 题型04 分式的化简求值 题型05 零指数幂 题型06 分式运算的八种技巧 技巧一 约分计算法 技巧二 整体通分法 技巧三 换元通分法 技巧四 顺次相加法 技巧五 裂项相消法 技巧六 消元法 技巧七 倒数求值法 技巧八 整体代入法 考点要求 新课标要求 命题预测 分式的相关概念  理解分式和最简分式的概念 在中考，主要考查 分式的意义和分式值为 零情况，常以选择题、 填空题为主；分式的基 本性质和分式的运算考 查常以选择题、填空 题、解答题的形式命题 分式的基本性质  能利用分式的基本性质进行约分与通分 分式的运算  能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，为分子，B 为分母 对于分式A B 来说： ①当B≠0 时，分式有意义；当 B=0 时，分式无意义 ②当=0 且B≠0 这两个条件同时满足时，分式值为0 ③当=B 时，分式的值为1 当+B=0 时，分式的值为-1 ④若A B >0，则、B 同号; 若A B <0，则、B 异号 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的 分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 题型01 分式的判断 【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式2 5x，1 π ， 2 x 2+4 ，x2﹣2 3，1 x ，x+1 x+2中，属于分式的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【变式1-1】（2022·上海·上外附中校考模拟预测）下列各式中： a−b 2 ，x+3 x ，5+ y π ， 1 m (x+ y ) ，n 2+n n ，1 2 x+ 1 3中，是分式的共有（ ） ．1个 B．2个 ．3个 D．4个 【变式1-2】（2021·四川遂宁·中考真题）下列说法正确的是（ ） ．角平分线上的点到角两边的距离相等 1 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简 后再判断，例如：4 a a 就是分式 2 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义 3 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、 分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等 4 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几 个分式的最简公分母． B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ．在代数式1 a，2 x，x π ，985，4 a +2b，1 3 + y中，1 a，x π ，4 a +2b是分式 D．若一组数据2、3、x、1、5 的平均数是3，则这组数据的中位数是4 题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 【例2】（2023·江苏镇江·中考真题）使分式 1 x−5有意义的x 的取值范围是 ． 【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数y= x 5 x+3中，自变量x 的取值范围是 ． 【变式2-2】（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式 x 3−x 无意义，则实数x的值是 ． 【变式2-3】（2023·山东临沂·一模）要使分式x 2−1 x+1 无意义，则x 的取值范围是 ． 【变式2-4】（2023·湖北恩施·一模）函数y= ❑ √x+1 x−3 的自变量x 的取值范围是（ ） ．x≠3B．x ≥3．x ≥−1且x≠3 D．x ≥−1 题型03 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 【例3】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式x−1 3 x+1的值为0，则x 的值是（ ） ．1 B．0 ．−1 D．−3 【变式3-1】（2023·四川凉山·中考真题）分式x 2−x x−1 的值为0，则x的值是（ ） ．0 B．−1 ．1 D．0 或1 【变式3-2】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式|m|−4 m 2−16 =0，则（ ） 判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如： 4 a a 就是分式，而不是整式 1 分式有意义的条件：分式的分母不等于0 2 分式无意义的条件：分式的分母等于0 ．m=4 B．m=−4 ．m=± 4 D．不存在m，使得|m|−4 m 2−16 =0 【变式3-3】（2021·江苏扬州·中考真题）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0 的是（ ） ．x+1 B．x 2−1 ．1 x+1 D．(x+1) 2 【变式3-4】（2021 南充市一模）若分式2−3 x x 2+1 的值是负数，则x 的取值范围是（ ） ．x＞3 2 B．x＞2 3 ．x＜3 2 D．x＜2 3 【变式3-5】分式 x−3 x 3−2 x 2+x 的值为负数的条件是（ ） ．x<3 B．x>0且x≠1 ．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1 【变式3-6】若分式x+2 ( x−1) 2的值大于零，则x 的取值范围是 ． 【变式3-7】下列关于分式的判断，正确的是（ ） ．当x=2时，x+1 x−2的值为零 B．当x 为任意实数时， 3 x 2+1的值总为正数 ．无论x 为何值，3 x+1不可能得整数值 D．当x≠3时，x−3 x 有意义 题型04 约分与最简分式 【例4】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：a 2−5a a−5 =¿（ ） ．a−5 B．a+5 ．5 D． 【变式4-1】（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ） ．¿−2∨¿2 B．a 2⋅a −3=1 a ．a 2−1 a−1 =a+1 D．(a 2) 3=a 3 【变式4-2】（2023·河北保定·模拟预测）如图，若x 为正整数，则表示分式2 x 2+4 x x 2+3 x+2 的值落在（ ） 1）分式值为0 的条件：分式的分子等于0 且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号 ．段①处 B．段②处 ．段③处 D．段④处 【变式4-3】（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：x 2+2 x+1 x+1 ，其中x=❑ √2−1． 【变式4-4】（2021·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ） ．6 xy 5 x 2 B．x−y y−x ．x 2+ y 2 x+ y D．x 2−9 y 2 x+3 y 题型05 最简公分母 【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式 3 2a 2b 与a−b ab 2c 通分，分式的最简公分母是（ ） ．2a 2b 2c B．2a 3b 3 ．2a 3b 3c D．6a 3b 3c 【变式5-1】（2021·内蒙古·二模）分式 1 −a 2+1 , 1 a 2+a的最简公分母是 ， 1 −a 2+1 + 1 a 2+a = 考点二 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0 的整式，分式的值不变 即：A B = A •C B•C （≠0）或A B = A ÷C B÷C （≠0），其中，B，是整式 分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即： A B =−A −B =−−A B =−A −B 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式 确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂 多项式 先把分子、分母进行因式分解,再确定公因式 题型01 利用分式的基本性质进行变形 【例1】（2023·广东茂名·一模）下列等式中正确的是（ ） ．a b= a+a b+b B．a b = a+1 b+1 ．a b= a−1 b−1 D．a b=a 2 b 2 【变式1-1】（2023·福建福州·模拟预测）下列分式从左到右变形错误的是（ ） ．c 5c =1 5 B．3 4 a= 3b 4 ab ．−1 a−b= 1 b−a D． a 2−4 a 2+4 a+4 =a−2 a+2 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 【例2】（2023 南通市二模）如果把分式x+2 y x 中的x 和y 都扩大到原来的20 倍，那么分式的值（ ） ．扩大到原来的20 倍 B．缩小到原来的1 20 ．扩大到原来的2 倍 D．不变 【变式2-1】如果将分式x 2+ y 2 x+ y 中x，y 都扩大到原来的2 倍，则分式的值（ ） ．扩大到原来的2 倍 B．不变 ．扩大到原来的4 倍 D．缩小到原来的1 4 ． 【变式2-2】（2022·河北·一模）如果要使分式 2a a−3b 的值保持不变，那么分式应（ ） ．扩大2 倍，b 扩大3 倍 B．，b 同时扩大3 倍 ．扩大2 倍，b 缩小3 倍 D．缩小2 倍，b 缩小3 倍 【变式2-3】（2022 武安市中考二模）若m，n的值均扩大到原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分 式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0 的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0 （ ）． ．m+3 n B．3m 2n ．m+3 n+3 D． 3 m−n 题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 【例3】（2022 年湖北省黄冈咸宁孝感三市中考模拟）不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是 正数，则−2a+b −a−3b ＝ ． 【变式3-1】（2023·河北石家庄·二模）若n m=A (m≠n)，则可以是（ ） ．n−3 m−3 B．n+3 m+3 ．−n −m D．n 2 m 2 【变式3-2】（2022 邢台市新河县二模）根据分式的基本性质，分式−a a−b 可变形为（ ） ． a a−b B．a a+b ． a −a−b D． a b−a 考点三 分式的运算 1 异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母． 2 整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1 的分式． 3 分式与分式相乘, ①若分子、分母是单项式,则先将分子、分母分别相乘,然后约去公因式,化为最简分式或整式; ②若分子、分母是多项式,则先把分子、分母分解因式,看能否约分,再相乘 4 当分式与整式相乘时,要把整式与分子相乘作为积的分子,分母不变 5 乘方时,一定要把分式加上括号,并且一定要把分子、分母分别乘方 6 分式乘方时,确定乘方结果的符号与有理数乘方相同,即： ①正分式的任何次幂都为正; ②负分式的偶次幂为正,奇次幂为负 分式乘方时分式的分子或分母是多项式时应把分子 分母分别看作 个整体 题型01 分式的加减法 【例1】（2023·天津·中考真题）计算1 x−1− 2 x 2−1的结果等于（ ） ． B．x−1 ．1 x+1 D． 【变式1-1】（2021·黑龙江大庆·中考真题）已知b>a>0，则分式a b 与 的大小关系是（ ） ． B． ．a b > a+1 b+1 D．不能确定 【变式1-2】（2023·上海·中考真题）化简：2 1−x −2 x 1−x 的结果为 ． 【变式1-3】（2023·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M 是单项式．请写出 单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例 先化简，再求值：M a+1− 1 a 2+a，其中 a=100． 解：原式¿ a 2 a (a+1)− 1 a (a+1) …… 【变式1-4】（2023·江苏南京·校联考三模）已知a>0，b>0，证明：1 a + 1 b ≥ 4 a+b． 【变式1-5】（2021·四川乐山·中考真题）已知A x−1−B 2−x = 2 x−6 ( x−1)( x−2)，求A、B的值． 题型02 分式的乘除法 【例2】（2023·河北·中考真题）化简 的结果是（ ） ．x y 6 B．x y 5 ．x 2 y 5 D．x 2 y 6 【变式2-1】（2022·内蒙古·中考真题）下列计算正确的是（ ） ．a 3+a 3=a 6 B．a÷b⋅1 b =a ．2a a−1− 2 a−1=¿2 D．( b a 2) 3 =b 3 a 5 【变式2-2】（2022·河北石家庄·一模）若□ x+ y ÷ x y 2−x 2，运算的结果为整式，则“ ”中的式子可能是 □ （ ） ．y－x B．y＋x ．2x D．1 x 【变式2-3】关于式子 x 2−9 x 2+6 x+9 ÷ x x+3，下列说法正确（ ） ．当x =3时，其值为0 B．当x=−3时，其值为2 ．当0<x<3时，其值为正数 D．当x<0时，其值为负数 【变式2-4】（2023·安徽·一模）计算( −1 3 m) 2 ⋅9 m的结果是（ ） ．m 3 B．−m ． D．m 【变式2-5】（2023·江苏扬州·中考真题）计算：(1) ；(2) ． 题型03 分式的混合运算 【例3】（2022·山东威海·中考真题）试卷上一个正确的式子（1 a+b + 1 a−b ）÷★＝2 a+b被小颖同学不小 心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为( ) ． a a−b B．a−b a ．a a+b D． 【变式3-1】（2023·辽宁大连·中考真题）计算： ． 【变式3-2】（2023·四川泸州·中考真题）化简：( 4 m+5 m+1 +m−1)÷ m+2 m+1． 【变式3-3】（2023·江西·中考真题）化简( x x+1 + x x−1)⋅x 2−1 x ．下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 解：原式 ¿[ x (x−1) (x+1) (x−1) + x (x+1) (x+1) (x−1)]⋅x 2−1 x …… 解：原式 ¿ x x+1 ⋅x 2−1 x + x x−1 ⋅x 2−1 x …… (1)甲同学解法的依据是________，乙同学解法的依据是________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)请选择一种解法，写出完整的解答过程． 题型04 分式的化简求值 【例4】（2023·湖北武汉·中考真题）已知x 2−x−1=0，计算 的值是（ ） ．1 B．−1 ．2 D．−2 【变式4-1】 （2023·福建·中考真题）先化简，再求值： ，其中x=❑ √2−1． 【变式4-2】（2023·北京·中考真题）已知x+2 y−1=0，求代数式 2 x+4 y x 2+4 xy+4 y 2的值． 【变式4-3】（2023·四川广安·中考真题）先化简 ，再从不等式 中选择 一个适当的整数，代入求值． 【变式4-4】（2023·山东滨州·中考真题）先化简，再求值：a−4 a ÷( a+2 a 2−2a − a−1 a 2−4 a+4)，其中a满足 ． 先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺 序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式． 【规律方法】分式化简求值时需注意的问题 1）化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步 骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”． 2）代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方 法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不 能为0． 题型05 零指数幂 【例5】（2023·山东聊城·中考真题）(−2023) 0的值为（ ）．0 B．1． D．−1 2023 【变式5-1】（2022·四川南充·中考真题）比较大小：2 −2 3 0．（选填＞，＝，＜） 【变式5-2】（2021·重庆·中考真题）计算：❑ √9−(π−1) 0=¿ ． 【变式5-3】（2023·湖南·中考真题）下列计算正确的是（ ） ．a 6 a 3=a 2 B．(a 2) 3=a 5 ． D．( −1 3 ) 0 =1 【变式5-4】