第03讲 分式（讲义）（解析版）

第03 讲 分式 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 分式的相关概念 题型01 分式的判断 题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 题型03 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 题型04 约分与最简公式 题型05 最简公分母 考点二 分式的基本性质 题型01 利用分式的基本性质进行变形 题型02 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型03 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 考点三 分式的运算 题型01 分式的加减法 题型02 分式的乘除法 题型03 分式的混合运算 题型04 分式的化简求值 题型05 零指数幂 题型06 分式运算的八种技巧 技巧一 约分计算法 技巧二 整体通分法 技巧三 换元通分法 技巧四 顺次相加法 技巧五 裂项相消法 技巧六 消元法 技巧七 倒数求值法 技巧八 整体代入法 考点要求 新课标要求 命题预测 分式的相关概念  理解分式和最简分式的概念 在中考，主要考查 分式的意义和分式值为 零情况，常以选择题、 填空题为主；分式的基 本性质和分式的运算考 查常以选择题、填空 题、解答题的形式命题 分式的基本性质  能利用分式的基本性质进行约分与通分 分式的运算  能对简单的分式进行加、减、乘、除运算 考点一 分式的相关概念 分式的概念：如果，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，为分子，B 为分母 对于分式A B 来说： ①当B≠0 时，分式有意义；当 B=0 时，分式无意义 ②当=0 且B≠0 这两个条件同时满足时，分式值为0 ③当=B 时，分式的值为1 当+B=0 时，分式的值为-1 ④若A B >0，则、B 同号; 若A B <0，则、B 异号 约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分 最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式 通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分 通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母 约分与通分的联系与区别： 联系 都是根据分式的基本性质对分式进行恒等变形，即每个分式变形之后都不改变原分式的值 区别 1）约分是针对一个分式而言，约分可使分式变简单 2）通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母分式化为同分母分式 最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的 分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的方法： 类型 方法步骤 分母为单项式 1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; 2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数 分母为多项式 1）对每个分母因式分解; 2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; 3) 若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数 题型01 分式的判断 【例1】（2022·湖南怀化·中考真题）代数式2 5x，1 π ， 2 x 2+4 ，x2﹣2 3，1 x ，x+1 x+2中，属于分式的有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】B 【提示】看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即 可． 【详解】分母中含有字母的是 2 x 2+4 ，1 x ，x+1 x+2， ∴分式有3 个， 1 判断一个式子是不是分式，需看它是否符合分式的条件，若分子和分母含有相同字母，不能把原式化简 后再判断，例如：4 a a 就是分式 2 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义 3 约分是对分子、分母同时进行的，即分子的整体和分母的整体都除以同一个因式，约分要彻底，使分子、 分母没有公因式，而且约分前后分式的值相等 4 约分与通分都是根据是分式的基本性质．约分的关键是找出分子和分母的公因式，通分的关键是确定几 个分式的最简公分母． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键． 【变式1-1】（2022·上海·上外附中校考模拟预测）下列各式中： a−b 2 ，x+3 x ，5+ y π ， 1 m (x+ y ) ，n 2+n n ，1 2 x+ 1 3中，是分式的共有（ ） ．1个 B．2个 ．3个 D．4个 【答】 【提示】根据分式的概念：如果、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式，进而解答 即可． 【详解】x+3 x ， 1 m (x+ y ) ，n 2+n n 是分式，共有3 个， 故选：． 【点睛】本题考查分式的概念，解题的关键是掌握分式的分母必须含有字母． 【变式1-2】（2021·四川遂宁·中考真题）下列说法正确的是（ ） ．角平分线上的点到角两边的距离相等 B．平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 ．在代数式1 a，2 x，x π ，985，4 a +2b，1 3 + y中，1 a，x π ，4 a +2b是分式 D．若一组数据2、3、x、1、5 的平均数是3，则这组数据的中位数是4 【答】 【提示】根据角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数的性质分别进行判断 即可． 【详解】解：角平分线上的点到角两边的距离相等，故选项正确； B 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误； 在代数式1 a，2 x，x π ，985，4 a +2b，1 3 + y中，1 a，4 a +2b是分式，故选项错误； D 若一组数据2、3、x、1、5 的平均数是3，则这组数据的中位数是3，故选项错误； 故选：． 【点睛】本题综合考查了角平分线的性质，平行四边形的对称性，分式的定义，平均数，中位数等知识点， 熟悉相关性质是解题的关键． 判断式子是不是分式是从原始形式上看，看分母是否还有字母，而不是从化简后的结果上看，如： 4 a a 就是分式，而不是整式 题型02 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 【例2】（2023·江苏镇江·中考真题）使分式1 x−5有意义的x 的取值范围是 ． 【答】x≠5 【提示】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答． 【详解】解：本题考查了分式有意义的条件， 即x−5≠0，解得x≠5， 故答为：x≠5． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键． 【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数y= x 5 x+3中，自变量x 的取值范围是 ． 【答】x≠−3 5 【提示】根据分式中分母不能等于零，列出不等式5 x+3≠0，计算出自变量x 的范围即可． 【详解】根据题意得：5 x+3≠0 ∴5 x≠−3 ∴x≠−3 5 故答为：x≠−3 5 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，分母不为零，解答本题的关键是列出不 等式并正确求解． 【变式2-2】（2023·河南南阳·校联考三模）若代数式 x 3−x 无意义，则实数x的值是 ． 【答】3 【提示】根据分式无意义的条件得出3−x=0，再求出答即可． 【详解】解：要使代数式 x 3−x 无意义， ∴3−x=0， 解得：x=3， 故答为：3． 【点睛】此题考查了分式无意义的条件，能熟记分式无意义的条件是解此题的关键，当分母B=0时，式子 A B 无意义． 【变式2-3】（2023·山东临沂·一模）要使分式x 2−1 x+1 无意义，则x 的取值范围是 ． 【答】x=−1 【提示】根据分式无意义的条件是分母为0 进行求解即可． 【详解】解：∵分式x 2−1 x+1 无意义， ∴x+1=0， ∴x=−1． 故答为：x=−1． 【点睛】本题主要考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母不为0 是解题的关键． 【变式2-4】（2023·湖北恩施·一模）函数y= ❑ √x+1 x−3 的自变量x 的取值范围是（ ） ．x≠3 B．x ≥3 ．x ≥−1且x≠3 D．x ≥−1 【答】 【提示】根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：∵ ❑ √x+1 x−3 有意义， ∴x+1≥0, x−3≠0， 解得x ≥−1且x≠3， 故选． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的 关键． 题型03 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 【例3】（2023·浙江湖州·中考真题）若分式x−1 3 x+1的值为0，则x 的值是（ ） ．1 B．0 ．−1 D．−3 【答】 【提示】分式的值等于零时，分子等于零，且分母不等于零． 【详解】解：依题意得：x−1=0且3 x+1≠0， 解得x=1． 故选：． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 1 分式有意义的条件：分式的分母不等于0 2 分式无意义的条件：分式的分母等于0 【变式3-1】（2023·四川凉山·中考真题）分式x 2−x x−1 的值为0，则x的值是（ ） ．0 B．−1 ．1 D．0 或1 【答】 【提示】根据分式值为0 的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式x 2−x x−1 的值为0， ∴¿， 解得x=0， 故选． 【点睛】本题主要考查了分式值为0 的条件，熟知分式值为0 的条件是分子为0，分母不为0 是解题的关键． 【变式3-2】（2023·河北廊坊·校考三模）若分式|m|−4 m 2−16 =0，则（ ） ．m=4 B．m=−4 ．m=± 4 D．不存在m，使得|m|−4 m 2−16 =0 【答】D 【提示】根据题意可得¿，此方程组无解． 【详解】解：根据题意可得： ¿， 解得：¿， 故无解， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题 的关键． 【变式3-3】（2021·江苏扬州·中考真题）不论x 取何值，下列代数式的值不可能为0 的是（ ） ．x+1 B．x 2−1 ．1 x+1 D．(x+1) 2 【答】 【提示】分别找到各式为0 时的x 值，即可判断． 【详解】解：、当x=-1 时，x+1=0，故不合题意； B、当x=±1 时，x2-1=0，故不合题意； 、分子是1，而1≠0，则1 x+1≠0，故符合题意； D、当x=-1 时，(x+1) 2=0，故不合题意； 故选． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，代数式的值．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1） 分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 【变式3-4】（2021 南充市一模）若分式2−3 x x 2+1 的值是负数，则x 的取值范围是（ ） ．x＞3 2 B．x＞2 3 ．x＜3 2 D．x＜2 3 【答】B 【提示】根据题意列出不等式即可求出x 的取值范围． 【详解】解：由题意可知：2 3 ﹣x＜0，且x2+1＞0 恒成立， ∴x＞2 3， 故选：B． 【点睛】本题考查分式的值，当分子和分母同号时，分式值为正数，当分子和分母异号时，分式值为负数． 【变式3-5】分式 x−3 x 3−2 x 2+x 的值为负数的条件是（ ） ．x<3 B．x>0且x≠1 ．x<1且x≠0 D．0<x<3，且x≠1 【答】D 【提示】根据乘法公式，化简分式，分式的值要为负数，则分子、分母为异号，即可求出答． 【详解】解： x−3 x 3−2 x 2+x ¿ x−3 x( x 2−2 x+1) ¿ x−3 x( x−1) 2， 因为分式的值为负数， ∴¿ 或者¿ ∴0<x<3 且x≠1 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的化简，分式的取值与分子、分母的关系，且分母不能为零，理解和掌握分式取值 与分子、分母的关系是解题的关键． 【变式3-6】若分式x+2 ( x−1) 2的值大于零，则x 的取值范围是 ． 【答】x>−2且x≠1 【提示】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x 1≠0 ﹣ ，进而求出x 的取值． 【详解】解：∵分式x+2 ( x−1) 2的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x 1≠0 ﹣ ， ∴x≠1， 故答为x＞﹣2 且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解 题的关键． 【变式3-7】下列关于分式的判断，正确的是（ ） ．当x=2时，x+1 x−2的值为零 B．当x 为任意实数时， 3 x 2+1的值总为正数 ．无论x 为何值，3 x+1不可能得整数值 D．当x≠3时，x−3 x 有意义 【答】B 【提示】根据分式有意义的条件是分母不等于0；分式的值为正数的条件是分式的分子、分母同号；分式 值是0 的条件是分子等于0，分母不为0 即可得到结论． 【详解】解：、当x=2时，x+1 x−2无意义，故本选项不合题意； B、当x 为任意实数时， 3 x 2+1的值总为正数，故本选项符合题意； 、当x=0或2 时，3 x+1能得整数值，故本选项不合题意； D、当x≠0时，x−3 x 有意义，故本选项不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件和分式的值为零的条件．分式有意义的条件是分母不等于0．分式 值是0 的条件是分子是0，分母不是0． 题型04 约分与最简分式 【例4】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：a 2−5a a−5 =¿（ ） ．a−5 B．a+5 ．5 D． 1）分式值为0 的条件：分式的分子等于0 且分母不等于0，这两个条件必须同时考虑，进而求解问题 2）分式值为正的条件：分式的分子、分母同号 3）分式值为负的条件：分式的分子、分母异号 【答】D 【提示】分子分解因式，再约分得到结果． 【详解】解：a 2−5a a−5 ¿ a (a−5) a−5 ¿a， 故选：D． 【点睛】本题考查了约分，掌握提公因式法分解因式是解题的关键． 【变式4-1】（2022·贵州铜仁·中考真题）下列计算错误的是（ ） ．¿−2∨¿2 B．a 2⋅a −3=1 a ．a 2−1 a−1 =a+1 D．(a 2) 3=a 3 【答】D 【提示】根据绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则求解即可． 【详解】解：、¿−2∨¿2，计算正确，不符合题意； B、a 2⋅a −3=a −1=1 a，计算正确，不符合题意； 、a 2−1 a−1 = (a+1) (a−1) a−1 =a+1，计算正确，不符合题意； D、(a 2) 3=a 6，计算错误，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了绝对值，同底数幂的乘法，负整数指数幂，分式的性质，幂的乘方计算法则，熟 知相关知识是解题的关键． 【变式4-2】（2023·河北保定·模拟预测）如图，若x 为正整数，则表示分式2 x 2+4 x x 2+3 x+2 的值落在（ ） ．段①处 B．段②处 ．段③处 D．段④处 【答】 【提示】先化简分式，再确定分式值的范围即可． 【详解】解：2 x 2+4 x x 2+3 x+2 = 2 x (x+2) (x+2) (x+1)= 2 x x+1=2 (x+1)−2 x+1 =2−2 x+1 <2， ∵x 为正整数， ∴x 的最小值为1， ∴当x=1时，2 x+1= 2 1+1=1， ∴1≤2−2 x+1 <2， ∴分式2 x 2+4 x x 2+3 x+2 的值落在段③处， 故选：． 【点睛】本题考查了分式的化简，解题关键是能够运用分式的基本性质进行化简并确定分式值的范围． 【变式4-3】（2023·安徽·中考真题）先化简，再求值：x 2+2 x+1 x+1 ，其中x=❑ √2−1． 【答】x+1；❑ √2 【提示】先根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： x 2+2 x+1 x+1 ¿ (x+1) 2 x+1 ¿ x+1， 当x=❑ √2−1时， ∴原式=❑ √2−1+1=❑ √2． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 【变式4-4】（2021·河北·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（ ） ．6 xy 5 x 2 B．x−y y−x ．x 2+ y 2 x+ y D．x 2−9 y 2 x+3 y 【答】 【提示】利用最简分式的定义：分式分子分母没有公因式，判断即可． 【详解】、6 xy 5 x 2 =6 y 5 x ，故此选项不符合题意； B、x−y y−x =−( y−x) y−x =−1，故此选项不符合题意； 、x 2+ y 2 x+ y 是最简分式，故此选项符合题意； D、x 2−9 y 2 x+3 y =( x+3 y)( x−3 y) x+3 y =x−3 y，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键． 分式的约分子和分母必须都是乘积的形式才能进行约分，约分要彻底，使分子、分母没有公因式 确定分子、分母的公因式的方法: 分子、分母类型 具体方法 单项式 1）系数取各系数的最大公约数;2）相同字母取字母的最低次幂 多项式 先把分子 分母进行因式分解再确定公因式 题型05 最简公分母 【例5】（2021·河北唐山·一模）要把分式 3 2a 2b 与a−b ab 2c 通分，分式的最简公分母是（ ） ．2a 2b 2c B．2a 3b 3 ．2a 3b 3c D．6a 3b 3c 【答】 【提示】根据最简公分母定义是各分母的最小公倍数即可求解． 【详解】解：根据最简公分母是各分母的最小公倍数， ∵系数2 与1 的公倍数是2，a 2与a的最高次幂是a 2，b与b 2的最高次幂是b 2，对于只在一个单项式中出现 的字母直接作公分母中的因式， ∴公分母为：2a 2b 2c ． 故选择：． 【点睛】本题考查最简公分母，熟练掌握最简公分母是解题关键． 【变式5-1】（2021·内蒙古·二模）分式 1 −a 2+1 , 1 a 2+a的最简公分母是 ， 1 −a 2+1 + 1 a 2+a = 【答】 a (1+a) (1−a) 1 a (1+a) (1−a) 【提示】