第03讲 分式（练习）（原卷版）

第03 讲 分式 目 录 题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 题型02 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 题型03 约分与最简分式 题型04 最简公分母 题型05 利用分式的基本性质进行变形 题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 题型08 分式的加减法 题型09 分式的乘除法 题型10 分式的混合运算 题型11 分式的化简求值 题型12 零指数幂 题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 1．（2023·广西·统考中考真题）若分式1 x+1 有意义，则x 的取值范围是（ ） ．x≠−1 B．x≠0 ．x≠1 D．x≠2 2．（2021·湖南娄底·统考一模）若式子 1 ❑ √x−1 有意义，则实数x 的取值范围是 3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x 时，分式 1 3−x 无意义． 4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于分式2−x 2 x−6 ，下列说法错误的是（ ） ．当x=2时，分式的值为0 B．当x=3时，分式无意义 ．当x>2时，分式的值为正数 D．当x=8 3 时，分式的值为1 题型02 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 1．（2020·浙江金华·统考中考真题）分式x+5 x−2 的值是零，则x的值为（ ） ．5 B．−5 ．−2 D．2 2．（2023·陕西西安·统考模拟预测）使得分式值x 2−4 x+2 为零的x 的值是 ； 3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式x 2 x+3 的值为负数，则x 的取值范围是 ． 题型03 约分与最简分式 1．（2023·甘肃武威·统考三模）计算：3m 3 6m 2=¿ ． 2．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a 2−2a+1 1−a 2 ＝ ． 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） ． x x+ y B．15 10 x ．4 ab 3a 2 D．a 2−b 2 a+b 题型04 最简公分母 1．（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）分式x+ y 3 xy ，3 y 2 x 2，xy 6 x y 2的最简分母是（ ） ．3 x B．x ．6 x 2 D．6 x 2 y 2 2．分式 m 2m−2n 和3n m−n 的最简公分母为 ． 题型05 利用分式的基本性质进行变形 1．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ） ．a b=a+2 b+2 B．−a+2 b =−a+2 b ．a b=a 2 b 2 D．a b=a+2a b+2b 2．（2023·浙江温州·统考一模）下列式子一定成立的是（ ） ．a b=b+2 a+2 B．a b = a−1 b−1 ．a b=a 2 b 2 D．a b=3a 3b 3．（2022 易县二模）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） ．a+3 b+3=a b B．a b=ac bc ．a b=a 3 b 3 D．ab 3ab=1 3 题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（2022·河北邯郸·统考一模）只把分式4 m−a 5n 中的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分式的值也不会变， 则此时a的值可以是下列中的（ ） ．2 B．mn ．m 3 D．m 2 2．（2022·湖南永州·统考二模）如果分式xy x+ y 中的x，y 都扩大为原来的2 倍，那么所得分式的值（ ） ．不变 B．缩小为原来的1 2 ．扩大为原来的2 倍 D．不确定 3．（2022·河北保定·统考一模）不改变分式的值，将分式0.02 x+0.5 y x+0.004 y 中的分子、分母的系数化为整数， 其结果为（ ） ．20 x+500 y 1000 x+4 y B．20 x+500 y 100 x+4 y ．2 x+50 y 1000 x+4 y D．2 x+5 y x+4 y 4．（2021·河北邢台·统考一模）若把x，y的值同时扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ） ．(x+ y ) 2 x 2 B．xy x+ y ．x+2 y+2 D．x−2 y−2 题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 1．（2022 无锡市三模）分式2 2−x 可变形为（ ） ．2 2+x B．−2 2+x ． 2 x−2 D．−2 x−2 2．（2022 秦皇岛模拟）下列分式中与−x+ y −x−y 的值相等的分式是（ ） ．x+ y x−y B．x−y x+ y ．- x+ y x−y D．- x−y x+ y 3．（2022 铜仁市三模）分式−a 2−3a 可变形为（ ） ．−a 3a−2 B． a 3a−2 ． a 3a+2 D．−a 3a+2 题型08 分式的加减法 1．（2020·山东淄博·统考中考真题）化简a 2+b 2 a−b + 2ab b−a 的结果是（ ） ．+b B．﹣b ．(a+b) 2 a−b D．(a−b) 2 a+b 2．（2022·四川眉山·中考真题）化简4 a+2 +a−2的结果是（ ） ．1 B．a 2 a+2 ． a 2 a 2−4 D．a a+2 3．（2021·四川自贡·统考中考真题）化简：2 a−2− 8 a 2−4 =¿ ． 4．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来 每天节约用水 吨． 5．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1 号”茉莉花实验种 植基地是边长为am (a>1)的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2 号”茉莉 花实验种植基他是边长为(a−1)m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500 kg．请说明哪种茉 莉花的单位面积产量更高？ 题型09 分式的乘除法 1．（2023·山东济南·统考一模）化简： x 2 x 2−4 ÷ x x−2=¿（ ） ．1 B．x ． x x−2 D．x x+2 2．（2023·江西·模拟预测）计算( −b a ) 3 ÷ 1 a 2 的结果为（ ） ．−b 3 a B．b 3 a ．−b 3 a 5 D．b 3 a 5 3．（2023·山西大同·校联考三模）计算 a 2−1 a 2−2a+1 ⋅1−a a 2+a 的结果为（ ） ．−1 a B．1 a ．2 a D．3 a 4．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）计算：x 2+xy xy ⋅ y 2 x+ y =¿ ． 5．（2023·广东汕头·校联考二模）把式子x−1 x−3 ÷ x 2−1 x 2−6 x+9 化到最简其结果为 ． 题型10 分式的混合运算 1．（2022·辽宁沈阳·统考模拟预测）化简：(1−1 x+1)⋅x 2−1 x =¿ ． 2．（2022·陕西·统考中考真题）化简：( a+1 a−1 +1)÷ 2a a 2−1 ． 3．（2022·西藏·统考中考真题）计算：a 2+2a a ⋅ a a 2−4 − 2 a−2 ． 4．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）计算： (1) (x+ y ) 2−x (2 y−x ) ； (2)(a−1+ 4 a a−1)÷ 2a 2−2 a 2−2a+1 ． 题型11 分式的化简求值 1．已知 x x 2−x+1 =1 7 ，则 x 2 x 4−x 2+1 =¿ ． 2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）化简：(x−2− 4 x−2)÷ x−4 x 2−4 ，并给出x的值，使得该式的值为0． 3．（2022·福建·统考模拟预测）先化简，再求值：(1+ 1 a)÷ a 2−1 a ，其中a=❑ √2+1． 4 如果m 2−4 m−6=0，那么代数式( m 2−m−4 m+3 +1)÷ m+1 m 2−9 的值． 5．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）先化简，再求值：a 2−6ab+9b 2 a 2−2ab ÷( 5b 2 a−2b−a−2b)−1 a ， 其中a,b满足¿． 题型12 零指数幂 1．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）3 √−8−\(−1\) 0= ． 2．（2023·重庆江北·校考一模）计算：cos60°+(π−3.14 ) 0=¿ ． 1．（2023·江苏·统考中考真题）若代数式 x x 2−1 的值是0，则实数x 的值是（ ） ．−1 B．0 ．1 D．2 2．（2023·贵州·统考中考真题）化简a+1 a −1 a 结果正确的是（ ） ．1 B．a ．1 a D．−1 a 3．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简4 x+2 +x−2的结果是（ ） ．1 B． x 2 x 2−4 ．x x+2 D．x 2 x+2 4．（2022·山东济南·统考中考真题）若m－＝2，则代数式m 2−n 2 m ⋅2m m+n 的值是（ ） ．－2 B．2 ．－4 D．4 5．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）在函数y= 2 x−8 中，自变量x 的取值范围是 ． 6．（2023·福建·统考中考真题）已知1 a + 2 b=1，且a≠−b，则ab−a a+b 的值为 ． 7．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）化简：( x+2 x 2−2 x − x−1 x 2−4 x+4)÷ x−4 x 2−2 x =¿ ． 8．（2022·山东菏泽·统考中考真题）若a 2−2a−15=0，则代数式(a−4 a−4 a )⋅a 2 a−2的值是 ． 9．（2022·江苏苏州·统考中考真题）计算：|−3|+2 2−(❑ √3−1) 0． 10．（2022·内蒙古·中考真题）计算：( −1 2 ) −1 +2cos30 °+(3−π) 0− 3 √−8． 11．（2021·广西梧州·统考中考真题）计算：（x 2 ﹣）2﹣x（x 1 ﹣）+x 3−4 x 2 x 2 ． 12（2023·山东临沂·统考中考真题）（1）解不等式5−2 x< 1−x 2 ，并在数轴上表示解集． （2）下面是某同学计算a 2 a−1−a−1的解题过程： 解：a 2 a−1−a−1 ¿ a 2 a−1−(a−1) 2 a−1 ① ¿ a 2−(a−1) 2 a−1 ② ¿ a 2−a 2+a−1 a−1 ③ ¿ a−1 a−1=1 ④ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出正确的解题过程． 13．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）以下是某同学化简分式a−b a ÷(a−2ab−b 2 a ) 的部分运算过程： 解：原式¿ a−b a ÷ a−a−b a + 2ab−b 2 a …………第 一步 ¿ a−b a ⋅1 a−a−b a ⋅ a 2ab−b 2…………第二步 ¿ a−b a 2 = a−b 2ab−b 2…………第三步 …… (1)上面的运算过程中第___________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 14．（2023·湖南张家界·统考中考真题）先化简(x−1−3 x+1)÷ x 2−4 x 2+2 x+1 ，然后从−1，1，2 这三个数中 选一个合适的数代入求值． 15．（2022·辽宁营口·统考中考真题）先化简，再求值：(a+1−5+2a a+1 )÷ a 2+4 a+4 a+1 ，其中 a=❑ √9+¿−2∨−( 1 2) −1 ． 16．（2023·辽宁丹东·统考中考真题）先化简，再求值：( x 2−1 x 2−2 x+1 − 1 x−1)÷ 3 x−1 ，其中 x=( 1 2) −1 +(−3) 0． 17．（2023·青海西宁·统考中考真题）先化简，再求值：( a a 2−b 2−1 a+b)÷ 1 a 2−ab ，其中a，b是方程 x 2+x−6=0的两个根． 18．（2021·内蒙古通辽·统考中考真题）先化简，再求值： ( 2 x+1 x+1 +x−1)÷ x+2 x 2+2 x+1 ，其中x 满足x 2−x−2=0． 1．（2022·湖南·统考中考真题）有一组数据：a1= 3 1×2×3 ，a2= 5 2×3×4 ，a3= 7 3×4×5 ，…， an= 2n+1 n(n+1)(n+2)．记Sn=a1+a2+a3+…+an，则S12=¿ ． 2．（2023·广东广州·统考中考真题）已知a>3，代数式：A=2a 2−8，B=3a 2+6a，C=a 3−4 a 2+4 a． (1)因式分解； (2)在，B，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 3．（2022·浙江舟山·中考真题）观察下面的等式：1 2=1 3 + 1 6 ，1 3= 1 4 + 1 12 ，1 4 =1 5 + 1 20 ，…… (1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数） (2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的． 4．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）阅读材料： 材料1：关于x 的一元二次方程a x 2+bx+c=0 (a≠0)的两个实数根x1，x2和系数，b，有如下关系： x1+x2=−b a ，x1 x2= c a ． 材料2：已知一元二次方程x 2−x−1=0的两个实数根分别为m，，求m 2n+mn 2的值． 解：∵m，是一元二次方程x 2−x−1=0的两个实数根， ∴m+n=1,mn=−1． 则m 2n+mn 2=mn (m+n)=−1×1=−1． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程2 x 2+3 x−1=0的两个实数根为x1，x2，则x1+x2=¿___________，x1 x2=¿_____ ______； (2)类比：已知一元二次方程2 x 2+3 x−1=0的两个实数根为m，，求m 2+n 2的值； (3)提升：已知实数s，t 满足2s 2+3 s−1=0，2t 2+3t−1=0且s≠t，求1 s −1 t 的值．