第03讲 分式（练习）（解析版）

第03 讲 分式 目 录 题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 题型02 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 题型03 约分与最简分式 题型04 最简公分母 题型05 利用分式的基本性质进行变形 题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 题型08 分式的加减法 题型09 分式的乘除法 题型10 分式的混合运算 题型11 分式的化简求值 题型12 零指数幂 题型01 利用分式有无意义的条件，求未知数的值或取值范围 1．（2023·广西·统考中考真题）若分式1 x+1有意义，则x 的取值范围是（ ） ．x≠−1 B．x≠0 ．x≠1 D．x≠2 【答】 【提示】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：x+1≠0， ∴x≠−1； 故选． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 2．（2021·湖南娄底·统考一模）若式子 1 ❑ √x−1有意义，则实数x 的取值范围是 【答】x>1 【提示】根据分式有意义的条件：分母不等于0，以及二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即可 求解． 【详解】由题意得：¿解得：x>1 故答为：x>1 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．熟练的掌握分式分母不等于0 以及 二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 3．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）当x 时，分式 1 3−x 无意义． 【答】¿3 【提示】根据分式无意义的条件进行计算即可． 【详解】解：∵分式 1 3−x 无意义， ∴3−x=0， ∴x=3， 故答为：¿3． 【点睛】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分式中的分母为0 时，分式无意义是解题的关键． 4．（2023·浙江宁波·统考一模）对于分式2−x 2 x−6，下列说法错误的是（ ） ．当x=2时，分式的值为0 B．当x=3时，分式无意义 ．当x>2时，分式的值为正数 D．当x=8 3 时，分式的值为1 【答】 【提示】直接利用分式的值为零，分式无意义，分式的求值进行判断即可． 【详解】解：．当x=2时，2−x=0，2 x−6=−2≠0，分式2−x 2 x−6的值为0，故此项选项不符合题意； B．当x=3时，2 x−6=0，分式2−x 2 x−6 无意义，故此选项不符合题意； 当x>2时，当x=3时，2 x−6=0，分式2−x 2 x−6无意义，故此选项符合题意； D．当x=8 3 时，2−x 2 x−6 = 2−8 3 2× 8 3−6 = −2 3 −2 3 =1，故此选项不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查分式值为零的条件，分式无意义的条件，分式的求值．解题的关键是能熟练掌握分式相 关知识进行解答． 题型02 利用分式值为正、负数或0 的条件，求未知数的值或取值范围 1．（2020·浙江金华·统考中考真题）分式x+5 x−2的值是零，则x的值为（ ） ．5 B．−5 ．−2 D．2 【答】B 【提示】利用分式值为零的条件可得x+5=0，且x−2≠0，再解即可． 【详解】解：由题意得：x+5=0，且x−2≠0， 解得：x=−5， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 注意：“分母不为零”这个条件不能少． 2．（2023·陕西西安·统考模拟预测）使得分式值x 2−4 x+2 为零的x 的值是 ； 【答】2 【提示】根据分式的性质，要使分式有意义，则必须分母不能为0，要使分式为零，则只有分子为0，因此 计算即可 【详解】解：要使分式有意义则x+2≠0 ，即x≠−2 要使分式为零，则x 2−4=0 ，即x=±2 综上可得x=2 故答为2 【点睛】本题主要考查分式的性质，关键在于分式的分母不能为0 3．（2022·福建泉州·统考模拟预测）若分式x 2 x+3的值为负数，则x 的取值范围是 ． 【答】x←3 【提示】根据题意可得x 2≥0，要使分式x 2 x+3的值为负数，即分母x+3<0且x≠0，然后解不等式即可． 【详解】解：∵x 2≥0， ∴分式x 2 x+3的值为负数，即分母x+3<0且x≠0，解得：x←3． 故答为：x←3． 【点睛】本题主要考查了分式的值，熟练掌握分式值的计算方法进行求解是解决本题的关键． 题型03 约分与最简分式 1．（2023·甘肃武威·统考三模）计算：3m 3 6m 2=¿ ． 【答】m 2 【提示】直接约分即可． 【详解】3m 3 6m 2= 3m 2⋅m 3m 2×2 =m 2 ， 故答为：m 2 ． 【点睛】本题考查了约分，找准公因式是解题的关键． 2．（2023·安徽芜湖·统考二模）化简：a 2−2a+1 1−a 2 ＝ ． 【答】1−a 1+a 【提示】根据完全平方公式、平方差公式把分式的分子、分母因式分解，再约分即可． 【详解】解：原式¿ (1−a) 2 (1+a)(1−a) ¿ 1−a 1+a ， 故答为：1−a 1+a ． 【点睛】本题考查的是分式的约分，约分时，分子与分母都必须是乘积式，如果是多项式的，必须先分解 因式． 3．下列分式中，是最简分式的是（ ） ． x x+ y B．15 10 x ．4 ab 3a 2 D．a 2−b 2 a+b 【答】 【提示】分式的分子分母若没有公因式，这样的分式叫最简分式，根据最简分式的概念判断即可． 【详解】选项是最简分式，故正确； B 选项分子分母有公因式5，不是最简分式，故不正确； 选项分子分母有公因式，不是最简分式，故不正确； D 选项分子分母有公因式+b，不是最简分式，故不正确． 故选：． 【点睛】本题考查了最简分式的概念，当分式的分子分母是多项式时，要分别分解因式，再判断有无公因 式． 题型04 最简公分母 1．（2021·广东广州·广州市第十六中学校考二模）分式x+ y 3 xy ，3 y 2 x 2，xy 6 x y 2的最简分母是（ ） ．3 x B．x ．6 x 2 D．6 x 2 y 2 【答】D 【提示】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的 指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：x+ y 3 xy ，3 y 2 x 2，xy 6 x y 2的分母分别是3 xy、2 x 2、6 x y 2，故最简公分母为6 x 2 y 2． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母， 确定最简公分母的方法一定要掌握． 2．分式 m 2m−2n和3n m−n的最简公分母为 ． 【答】2（m﹣） 【提示】利用最简公分母的定义求解，分式 m 2m−2n和3n m−n的分母分别是2（m﹣）、（m﹣），故最简 公分母是2（m﹣）即是本题答． 【详解】解：∵分式 m 2m−2n和3n m−n的分母分别是2（m﹣）、（m﹣）． ∴它们的最简公分母是2（m﹣）． 故答为：2（m﹣）． 【点睛】本题考查最简公分母，将原式的分母正确进行因式分解并掌握最简公分母的定义是解题关键． 题型05 利用分式的基本性质进行变形 1．（2023·河北唐山·统考二模）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ ） ．a b=a+2 b+2 B．−a+2 b =−a+2 b ．a b=a 2 b 2 D．a b=a+2a b+2b 【答】D 【提示】根据分式的基本性质分别计算后判断即可． 【详解】．分子分母同时加上同一个数，分式不一定成立，故原选项错误，不符合题意； B．−a+2 b =−a−2 b ，故原选项错误，不符合题意； ．a b=ab b 2 ，故原选项错误，不符合题意； D．a+2a b+2b=3a 3b=a b，故原选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，属于基础题． 2．（2023·浙江温州·统考一模）下列式子一定成立的是（ ） ．a b=b+2 a+2 B．a b=a−1 b−1 ．a b=a 2 b 2 D．a b=3a 3b 【答】D 【提示】根据分式的基本性质进行判断． 【详解】解：、分式a b的分子、分母同时加2，分式的值发生改变，则a b=b+2 a+2不成立； B、分式a b的分子、分母同时减1，分式的值发生改变，故a b= a−1 b−1不成立； 、分式a b的分子、分母同时平方，分式是值有可能改变，则a b=a 2 b 2不一定成立； D、分式a b的分子、分母乘以3，分式是值不变，则a b=3a 3b 成立； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的基本性质，分式的基本性质：分式的分子分母同乘以或除以一个不等于0 的分数 （或分式），分式的值不变．灵活运用性质是解题的关键． 3．（2022 易县二模）下列各式从左到右的变形一定正确的是（ ） ．a+3 b+3=a b B．a b=ac bc ．a b=a 3 b 3 D．ab 3ab=1 3 【答】D 【提示】根据分式的基本性质变形判断即可； 【详解】．a+3 b+3=a b 中不符合分式的基本性质，故错误； B．a b=ac bc 中没有说明不为0，故错误； ．a b=a 3 b 3不符合分式的基本性质，故错误； D．ab 3ab=1 3中运用了分式的约分，正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质应用，准确理解是解题的关键． 题型06 利用分式的基本性质判断分式值的变化 1．（2022·河北邯郸·统考一模）只把分式4 m−a 5n 中的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分式的值也不会变， 则此时a的值可以是下列中的（ ） ．2 B．mn ．m 3 D．m 2 【答】 【提示】根据分式的性质，分子分母的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分式的值也不会变，则a为含m或 n的一次单项式，据此判断即可． 【详解】解：∵4 m−a 5n 中的m，n同时扩大为原来的3 倍后，分式的值也不会变， ∴a为含m或n的一次单项式，故只有符合题意． 故选． 【点睛】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是解题的关键． 2．（2022·湖南永州·统考二模）如果分式xy x+ y 中的x，y 都扩大为原来的2 倍，那么所得分式的值（ ） ．不变 B．缩小为原来的1 2 ．扩大为原来的2 倍 D．不确定 【答】 【提示】直接利用分式的基本性质化简得出答． 【详解】解：把分式xy x+ y 中的x 和y 都扩大为原来的2 倍， 则原式可变为：2 x⋅2 y 2 x+2 y ＝2× xy x+ y ， 故分式的值扩大为原来的2 倍． 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质．解题的关键是熟练运用分式的基本性质． 3．（2022·河北保定·统考一模）不改变分式的值，将分式0.02 x+0.5 y x+0.004 y 中的分子、分母的系数化为整数， 其结果为（ ） ．20 x+500 y 1000 x+4 y B．20 x+500 y 100 x+4 y ．2 x+50 y 1000 x+4 y D．2 x+5 y x+4 y 【答】 【提示】利用分式的基本性质，分子分母同时扩大相同的倍数即可求解． 【详解】解：0.02 x+0.5 y x+0.004 y ＝1000× (0.02 x+0.5 y ) 1000× (x+0.004 y ) ＝20 x+500 y 1000 x+4 y ， 故选： 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为零的数或整式，分式的 值不变． 4．（2021·河北邢台·统考一模）若把x，y的值同时扩大为原来的2 倍，则下列分式的值保持不变的是 （ ） ． (x+ y ) 2 x 2 B．xy x+ y ．x+2 y+2 D．x−2 y−2 【答】 【提示】根据分式的基本性质即可求出答． 【详解】解：、 (2 x+2 y ) 2 4 x 2 = (x+ y ) 2 x 2 ，故的值保持不变． B、 4 xy 2 x+2 y = 2 xy x+ y ，故B 的值不能保持不变． 、2 x+2 2 y+2 = x+1 y+1，故的值不能保持不变． D、2 x−2 2 y−2 = x−1 y−1，故D 的值不能保持不变． 故选：． 【点睛】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型． 题型07 利用分式的符号法则，将分式恒等变形 1．（2022 无锡市三模）分式2 2−x 可变形为（ ） ．2 2+x B．−2 2+x ． 2 x−2 D．−2 x−2 【答】D 【详解】试题提示：根据分式的性质，分子分母都乘以﹣1，分式的值不变，可得答： 分式 2 2−x 的分子分母都乘以﹣1，得−2 x−2 故选D． 2．（2022 秦皇岛模拟）下列分式中与−x+ y −x−y 的值相等的分式是（ ） ．x+ y x−y B．x−y x+ y ．- x+ y x−y D．- x−y x+ y 【答】B 【提示】根据分式的基本性质即可得出结论． 【详解】解：−x+ y −x−y = (−1) (−x+ y ) (−1) (−x−y )= (−1) (−x+ y ) (−1) (−x−y )= x−y x+ y 故选B． 【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键． 3．（2022 铜仁市三模）分式−a 2−3a可变形为（ ） ．−a 3a−2 B． a 3a−2 ． a 3a+2 D．−a 3a+2 【答】B 【提示】根据分式的基本性质即可得． 【详解】解：−a 2−3a= −a −(3a−2)= a 3a−2， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题关键． 题型08 分式的加减法 1．（2020·山东淄博·统考中考真题）化简a 2+b 2 a−b + 2ab b−a的结果是（ ） ．+b B．﹣b ．(a+b) 2 a−b D．(a−b) 2 a+b 【答】B 【提示】根据同分母分式相加减的运算法则计算即可．同分母分式相加减，分母不变，分子相加减． 【详解】解：原式¿ a 2+b 2 a−b −2ab a−b ¿ a 2+b 2−2ab a−b ¿ (a−b) 2 a−b ¿a−b． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题的关键是熟记运算法则． 2．（2022·四川眉山·中考真题）化简4 a+2 +a−2的结果是（ ） ．1 B．a 2 a+2 ． a 2 a 2−4 D．a a+2 【答】B 【提示】根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：4 a+2 +a−2 = 4 a+2 + a 2−4 a+2 = a 2 a+2 ． 故选：B 【点睛】本题考查分式的混合运算法则，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． 3．（2021·四川自贡·统考中考真题）化简：2 a−2− 8 a 2−4 =¿ ． 【答】2 a+2 【提示】利用分式的减法法则，先通分，再进行计算即可求解． 【详解】解：2 a−2− 8 a 2−4 ¿ 2 a−2− 8 (a+2) (a−2) ¿ 2 (a+2) (a+2) (a−2)− 8 (a+2) (a−2) ¿ 2 (a−2) (a+2) (a−2) ¿ 2 a+2， 故答为：2 a+2． 【点睛】本题考查分式的减法，掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用3天，现在比原来 每天节约用水 吨． 【答】3m a 2+3a 【提示】首先表示出原来与现在每天的用水量，然后求差即可． 【详解】解：原来每天用水量：m a 吨， 改用喷灌方式后的每天用水量：m a+3吨， 则现在比原来每天节约用水m a −m a+3= 3m a(a+3)吨． 故答是： 3m a(a+3)． 【点睛】本题考查了分式的减法，正确进行分式的减法运算是关键． 5．（2023·福建福州·福建省福州屏东中学校考一模）福州市的市花是茉莉花．“飘香1 号”茉莉花实验种 植基地是边长为am (a>1)的正方形去掉一块边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“飘香2 号”茉莉 花实验种植基他是边长为(a−1)m的正方形，两块实取种植基地的茉莉花都收获了500 kg．请说明哪种茉 莉花的单位面积产量更高？ 【答】“飘香2 号”小麦的单位面积产量高，理由见解析 【提示】根据题意分别表示出飘香1 号和2 号的单位面积产量，比较即可． 【详解】解：“飘香1 号”小麦的试验田面积是(a 2−1)m 2，单位面积产量是500 a 2−1 kg/m 2； “飘香2 号”小麦的试验田面积是(a−1) 2m 2，单位面积产量是500 (a−1) 2 kg/m 2， ∵a>1，即a−1>0， ∴(a−1) 2−(a 2−1)=a 2−2a+1−a 2+1=−2a+2=−2 (a−1)<0， ∴(a−1) 2<(a 2−1)， 又由a>1可得(a−1) 2>0，a 2−1>0， ∴500 a 2−1 < 500 (a−1) 2， “ ∴飘香2 号”小麦的单位面积产量高． 【点睛】本题考查了分式的实际应用，依题意求出两块试验田的单位面积产量是解题关键． 题型09 分式的乘除法 1．（2023·山东济南·统考一模）化简： x 2 x 2−4 ÷ x x−2=¿（ ） ．1 B．x ． x x−2 D．x x+2 【答】D 【提示】将分式的分母分解因式，除法化为乘法，再计算乘法化简即可． 【详解】解： x 2 x 2−4 ÷ x x−2 ¿ x 2 (x+2) (x−2) ⋅x−2 x ¿ x x+2， 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法计算法则是解题的关键． 2．（2023·江西·模拟预测）计算( −b a ) 3 ÷ 1 a 2的结果为（ ） ．−b 3