第01讲 实数（讲义）（解析版）

第01 讲 实数 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 实数的分类（高频考点） 题型01 实数的分类 题型02 无理数估值 题型03 相反意义的量 考点二 实数的相关概念（高频考点） 题型01 用数轴上的点表示数 题型02 求数轴上两点之间的距离 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 题型04 数轴上的动点问题 题型05 求一个数的相反数 题型06 多重符号化简 题型07 相反数的应用 题型08 求一个数的绝对值 题型09 化简绝对值 题型10 绝对值非负性的应用 题型11 利用几何意义化简绝对值 题型12 乘方运算 题型13 乘方的应用 考点三 科学记数法与近似数（高频考点） 题型01 用科学记数法表示数 题型02 求一个数的近似数 考点四 实数比较大小 题型01 利用数轴法比较实数大小 题型02 利用类比法比较实数大小 题型03 利用作差法比较实数大小 题型04 利用作商法比较实数大小 题型05 利用平方法比较实数大小 题型06 利用其它方法比较实数大小 考点五 平方根、算术平方根、立方根 题型01 求一个数的算术平方根 题型02 利用算术平方根的非负性解题 题型03 求一个数的平方根 题型04 已知一个数的平方根，求这个数 题型05 求一个数的立方根 考点六 实数的运算（高频考点） 题型01 实数的运算 考点要求 新课标要求 命题预测 实数的分类  理解有理数、无理数的概念，知道实数是由 有理数和无理数组成的 实数这一考点在中考数学中属于 较为简单的一类考点，在中考， 实数的分类及相关概念主要以选 择题或填空题形式考查，比较 简单；科学记数法、近似数多以 选择题或填空题形式考查，有 大数和小数两种形式，有时带 “亿”“万”“千万”等单位， 做题时要仔细审题，切忽略单 位；实数的大小比较常以选择题 形式出现，常与数轴结合考查； 实数的运算考查形式多样，多数 以解答题形式出现，结合绝对 值、锐角三函数、二次根式、平 方根、立方根等知识考查 对于实 数的复习，需要学生熟练掌握实 数相关概念及其性质的应用、实 数运算法则和顺序等考点 实数的相关概念  可以借助数轴理解相反数和绝对值的意义， 会求实数的相反数、绝对值、倒数，知道实 数与数轴上的点一一对应 科学记数法、近似 数  利用科学记数法简化表示非常大或非常小的 数，了解近似数，会按问题的要求进行简单 的近似计算 实数比较大小  灵活运用多种方法比较实数大小 平方根、算术平方 根、立方根  了解平方根、算术平方根、立方根的概念， 会用根号表示数的平方根、算术平方根、立 方根 实数的相关计算  掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单 的混合运算(以三步以内为主)；能运用有理 数的运算解决简单的问题，知道有理数的运 算律在实数范围内仍然适用． 考点一 实数的分类（高频考点） 1、正负数的概念：大于0 的数叫做正数正数前面加上符号“-”的数叫负数负数前面的负号“-”不能省略 0 既不是正数，也不是负数 2、正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则 另一个就用负表示． 3、整数和分数统称为有理数（本质：能够化为分数的形式）无限不循环小数叫做无理数有理数和无理数 统称为实数 4、实数的分类： 1）按定义分类： 2）按性质分类： 题型01 实数的分类 【例1】（2023·四川凉山·中考真题）下列各数中，为有理数的是（ ） ． 3 √8 B．3.232232223? ? ? ．π 3 D．❑ √2 【答】 【提示】根据立方根、无理数与有理数的概念即可得． 【详解】解：、 3 √8=2，是有理数，则此项符合题意； B、3.232232223? ? ?是无限不循环小数，是无理数，则此项不符合题意； 、π 3 是无理数，则此项不符合题意； D、❑ √2是无理数，则此项不符合题意； 故选：． 1 有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数（例：053（分数形 式：53 100）、1333333…（分数形式：4 3 ）等） 2 无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数(例如：π，π 3 （不是分数）等) 3 带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数 4 对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0 【点睛】本题考查了立方根、无理数与有理数，熟记无理数与有理数的概念是解题关键． 【变式1-1】（2023·江苏盐城·中考真题）下列数中，属于负数的是（ ） ．2023 B．−2023 ． 1 2023 D．0 【答】B 【提示】根据小于0 的数即为负数解答可得． 【详解】−2023是负数，2023和 1 2023是正数，0 既不是正数也不是负数 故选：B． 【点睛】本题主要考查正数和负数，熟练掌握负数的概念是解题的关键． 【变式1-2】（2022·浙江金华·中考真题）在−2, 1 2 ,❑ √3,2中，是无理数的是（ ） ．−2 B．1 2 ．❑ √3 D．2 【答】 【提示】根据无理数的定义判断即可； 【详解】解：∵-2，1 2，2 是有理数，❑ √3是无理数， 故选： ． 【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π． 【变式1-3】（2022·山东日照·中考真题）在实数❑ √2，x0（x≠0），s30°， 3 √8中，有理数的个数是 （ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】B 【提示】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答． 【详解】解：在实数 ❑ √2，x0（x≠0）=1， ， 3 √8=2中，有理数是 3 √8=2，x0=1， 所以，有理数的个数是2， 故选：B． 【点睛】本题考查了零指数幂，特殊角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键． 【变式1-4】（2023·江西·中考真题）下列各数中，正整数是（ ） ．3 B．2.1 ．0 D．−2 【答】 【提示】根据有理数的分类即可求解． 【详解】解：3是正整数，2.1是小数，不是整数，0不是正数，−2不是正数， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 题型02 无理数估值 【例2】（2023·浙江台州·中考真题）下列无理数中，大小在3 与4 之间的是（ ）． ． B． ． D． 【答】 【提示】根据无理数的估算可得答． 【详解】解：∵ ， ，而 ， ， ∴大小在3 与4 之间的是 ， 故选：． 【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【变式2-1】（2023·浙江嘉兴·中考真题）下面四个数中，比1 小的正无理数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【提示】根据正数 负数，即可进行解答． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴比1 小的正无理数是 ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了比较实数是大小，无理数的估算，解题的关键是掌握正数 负数． 【变式2-2】（2023·天津·中考真题）估计 的值应在 （） ．1 和2 之间 B．2 和3 之间 ．3 和4 之间 D．4 和5 之 【答】B 【提示】由于4＜6＜9，于是 ，从而有 ． 【详解】解：∵4＜6＜9， ∴ ， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题． 【变式2-3】（2023·内蒙古·中考真题）若 为两个连续整数，且 ，则 ． 【答】3 【提示】根据夹逼法求解即可． 【详解】解：∵ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：3． 【点睛】题目主要考查无理数的估算，熟练掌握估算方法是解题关键． 题型03 相反意义的量 【例3】（2023·广东广州·中考真题）负数的概念最早出现在我国古代著名的数学专著《九章算术》中， 如果把收入5 元记作+5元，那么支出5 元记作（ ） ．−5元 B．0 元 ．+5元 D．+10元 【答】 【提示】根据相反数的意义可进行求解． 【详解】解：由把收入5 元记作+5元，可知支出5 元记作−5元； 故选． 【点睛】本题主要考查相反数的意义，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 【变式3-1】（2023·湖南永州·中考真题）我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今 两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30 吨粮食记为“+30”，则“−30”表示（ ） ．运出30 吨粮食 B．亏损30 吨粮食 ．卖掉30 吨粮食 D．吃掉30 吨粮食 【答】 【提示】根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【详解】解：粮库把运进30 吨粮食记为“+30”，则“−30”表示运出30 吨粮食． 故选： 【点睛】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键． 【变式3-2】（2023·吉林·中考真题）月球表面的白天平均温度零上 ，记作+126° Ca，夜间平均 温度零下 ，应记作（ ） ．+150° Ca B． ．+276° Ca D． 【答】B 【提示】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【详解】解：平均温度零上 ，记作+126° C，夜间平均温度零下 ，应记作 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 判断一个数是有理数或无理数的方法 关键：1 有理数都可以写成分数的形式，而无理数不能写成分数的形式 2 判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果．如√16 是有理数，而不是无理数． 常见的无理数： ①开方开不尽的数，如：❑ √2、3 √5 等 ②有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π 的数，如5π，3+π，π 3 等 ③具有特定结构的数，如01010010001···（两个1 之间依次增加1 个0） ④某些三角函数，如s60°、s20° 考点二 实数的相关概念（高频考点） 相关概念 概念 补充与拓展 数轴 规定了原点、正方 向、单位长度的直线 叫做数轴 数轴上的点与实数具有一一对应的关系 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表 示的数大 在数轴上距原点个单位长度的点有2 个 数轴中点公式：数轴上有两点、B 分别表示的数为x，y，若是、B 两 点的中点， 所表示的数为，则有：2=x+y 数轴两点距离=数轴上右侧的点所表示的数-左侧的点表示的数 （简称大数-小数） 相反数 只有符号不同的两个 数称为互为相反数 若、b 互为相反数，则+b=0（反之亦成立） 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点到原点的的距离相等且 位于原点的两侧 正数的相反数是负数；负数的相反数是正数；0 的相反数是0 相反数 是本身的数是0 （+b）的相反数是-（+b），（-b）的相反数是-（-b）或b- 多重符号化简口诀：数负号个数，奇负偶正 绝对值 在数轴上表示数的点 到原点的距离叫做的 绝对值，记为||． 两个正数比较，绝对值大数越大；两个负数比较，绝对值大的反而 小 正数的绝对值是它本身；0 绝对值是0；负数的绝对值是它的相反数 若||=（或||-=0），则≥0，若||=-（或||+=0），则≤0 若=b 或=-b，则||=|b|（反之亦成立） 若||+|b|=0，则=0 且b=0（、b 可以是多项式） 几何意义补充：|x|=|x-0|，数轴上表示x 的点到原点的距离 |x-1|，数轴上表示x 的点与表示1 的点之间的距离 |x+2|，数轴上表示x 的点与表示-2 的点之间的距离 倒数 1 除以一个不等于零 的实数所得的商， 叫做这个数的倒 数． 0 没有倒数 若、b 互为倒数，则b=1 互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数） 倒数是本身的只有1 和-1 乘方 个相同的因数相乘 记作，其中为底 数，为指数， 乘方的结果叫做幂 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 正数的任何次幂都是正数 规定：0=1（≠0） 10 的相反数是0，0 的绝对值是0 绝对值最小的数是0 最小的自然数是00 是最小的非负数 2 任何一个数都有且只有一个相反数 任何一个数的绝对值总是正数或0（或非负数） 3 到已知点的距离相等的点有两个，注意分类讨论．此外，运用数轴可以将绝对值化为几何问题，代 数式|x−|的几何意义是数轴上x 所对应的点与所对应的点之间的距离，代数式|x+|的几何意义是数轴 上x 所对应的点与－所对应的点之间的距离，不可将两者混淆． 题型01 用数轴上的点表示数 【例1】（2023·浙江温州·中考真题）如图，比数轴上点表示的数大3 的数是（ ） ．−1 B．0 ．1 D．2 【答】D 【提示】根据数轴及有理数的加法可进行求解． 【详解】解：由数轴可知点表示的数是−1，所以比−1大3 的数是−1+3=2； 故选D． 【点睛】本题主要考查数轴及有理数的加法，熟练掌握数轴上有理数的表示及有理数的加法是解题的关键． 【变式1-1】（2023·四川自贡·中考真题）如图，数轴上点表示的数是2023，OA=OB，则点B 表示的 数是（ ） ．2023 B．−2023 ． 1 2023 D．−1 2023 【答】B 【提示】根据数轴的定义求解即可． 【详解】解；∵数轴上点表示的数是2023，OA=OB， ∴OB=2023， ∴点B 表示的数是−2023， 故选：B． 【点睛】本题考查数轴上点表示有理数，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键． 【变式1-2】（2022·山东临沂·中考真题）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB=2OA．若点B表 示的数是6，则点A表示的数是（ ） ．-2 B．-3 ．-4 D．-5 【答】B 【提示】根据OB=2OA，点B表示的数是6，先求解OA , 再根据的位置求解对应的数即可． 【详解】解：由题意可得：点B表示的数是6，且B 在原点的右侧， OB=2OA， 在原点的左侧， 表示的数为−3, 故选B 【点睛】本题考查的是线段的和差倍分关系，数轴上的点所对应的数的表示，熟悉数轴的组成与数轴上数 的分布是解本题的关键． 【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上表示实数❑ √7的点可能是( ) ．点P B．点Q ．点R D．点S 【答】B 【提示】根据先估算❑ √7的大小，看它介于哪两个整数之间，从而得解． 【详解】解：∵4<7<9 ∴❑ √4<❑ √7<❑ √9，即2<❑ √7<3， ∴数轴上表示实数❑ √7的点可能是Q， 故选：B． 【点睛】本题考查无理数的大小估算，推出❑ √7介于哪两个整数之间是解题的关键． 题型02 求数轴上两点之间的距离 【例2】（2023·广东汕头·模拟预测）一只蚂蚁从数轴上点出发爬了4 个单位到了相反数B 点所在的位 置，则点所表示的是（ ） ．﹣2 或2 B．﹣2 ．2 D．4 或﹣4 【答】 【提示】由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为4，即可提示出两点到原点的距离为2 【详解】由题意可知，两数互为相反数，且两数对应点的距离为4， ∴两点到原点距离＝4÷2＝2， ∴这两个数分别为2，-2， 故选：． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，相反数的意义，解题的关键是提示出互为相反数的两数对应点 距离为4． 【变式2-1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点、B 分别表示、b，且a+b=0，若 AB=6，则点表示的数为（ ） ．−3 B．0 ．3 D．−6 【答】 【提示】由B 的长度结合、B 表示的数互为相反数，即可得出，B 表示的数 【详解】解：∵a+b=0 ∴A，B两点对应的数互为相反数， ∴可设A表示的数为a，则B表示的数为−a， ∵AB=6 ∴−a−a=6， 解得：a=−3， ∴点A表示的数为-3， 故选：． 【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程−a−a=6． 【变式2-2】（2023·宁夏·中考真题）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是−1，点B是AC的 中点，线段AB=❑ √2，则点C表示的数是 ． 【答】2❑ √2−1 【提示】根据两点间的距离公式和中点平分线段进行计算即可． 【详解】解：∵点B是AC的中点，线段AB=❑ √2， ∴AC=2❑ √2， ∴点C表示的数是：2❑ √2−1； 故答为：2❑ √2−1． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，以及线段的中点．熟练掌握线段中点的定义，以及数轴上两点间 的距离公式，是解题的关键． 题型03 根据点在数轴上的位置判断式子正负 【例3】（2023·山东潍坊·中考真题）实数，b，在数轴上对应的点如图所示，下列判断正确的是（ ） ．−c<b B．a>−c ．|a−b|=b−a D．|c−a|=a−c 【答】 【提示】根据数轴的性质可得a<b<0<c，|a|>|b|>|c|，据此逐项判断即可得． 【详解】解：由数轴可知，a<b<0<c，|a|>|b|>|c|． 、−c>b，则此项错误，不符合题意； B、a←c，则此项错误，不符合题意； 、∵a−b<0， ，则此项正确，符合题意； D、∵c−a>0， ，则此项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了数轴、绝对值的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键． 【变式3-1】（2023·山东·中考真题）实数，b，在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） ．c(b−a)<0 B．b(c−a)<0 ．a(b−c)>0 D．a(c+b)>0 【答】 【提示】根据数轴可得，a<0<b<c，再根据a<0<b<c逐项判定即可． 【详解】由数轴可知a<0<b<c， ∴c(b−a)>0，故选项错误； ∴b(c−a)>0，故B 选项错误； ∴a(b−c)>0，故选项正确； ∴a(c+b)<0，故D 选项错误； 故选：． 【点睛】本题考查实数与数轴，根据a<0<b<c进行判断是解题关键． 【变式3-2】【多选】（2022·山东潍坊·中考真题）如图，实数，b 在数轴上的对应点在原点两侧，下列 各式成立的是（ ） ．| a b|>1 B．−a<b ．a−b>0 D．−ab>0 【答】D 【提示】根据数轴判断出、b 的取值范围，再根据有理数的乘除法，加减法运算对各选项提示判断后利用 排除法求解． 【详解】解：由题意可知，＜0＜b，且||＞|b|， 、| a b|>1，故本选项符合题意； B、-＞b，故本选项不符合题意； 、-b＜0，故本选项不符合题意； D、−ab>0，故本选项符合题意． 故选： D．