（高二数学答案）神州智达2021-2022省级联测第一次考试

数学答案 第1 页( 共6页) 神州智达省级联测2 0 2 1 — 2 0 2 2第一次考试 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 答案 A D D D B A B D A B A B C A C D C D 1 . A 解析: 依题意得, A A1 →, A B →, A C →不共面, 故A 正确; 易知A B →, A O →, A C 1 →共面, 故B 不正确; 易知A A1 →, A1 C 1 →, A C →共面, 故C不正确; 易知A B 1 →, A O →, A C →共面, 故D 不正确. 故选A. [ 命题意图] 本题考查空间向量的基底, 考查基本概念的记忆, 属于基础题. 2 . D 解析: 经过A 2 , 0 , B - 1 , 3 两点的直线的斜率为k A B = 3 - 1 - 2=- 3 3 , 设该直线的倾斜角为α , 则t a n α=- 3 3 , 又0 ° ≤ α< 1 8 0 ° , 所以α= 1 5 0 ° . 故选D. [ 命题意图] 本题考查已知两点求斜率, 再利用斜率定义结合特殊角三角函数值求倾斜角, 是基础题, 意在 考查学生的数学运算素养. 3 . D 解析: 点M - 1 , 1 , 2 关于x 轴的对称点的坐标为N - 1 , - 1 , - 2 , 关于y O z 平面的对称点为P 1 , 1 , 2 , 线段NP 中点坐标为0 , 0 , 0 , 故选D. [ 命题意图] 本题主要考查空间点对称关系与中点坐标公式, 考查理解和记忆能力, 属于基础题. 核心素养 方面考查了数学运算素养. 4 . D 解析: 由题可知,O P = 0 + - 3 2+ 4 2 = 5 , P 到平面x O y 的距离是4 , P 到原点O 的距离与P 到 平面x O y 的距离之和为9 . 故选D. [ 命题意图] 本题考查空间两点间距离与点面距离公式, 考查理解和记忆能力, 属于基础题. 核心素养方面 考查了数学运算素养. 5 . B 解析: B. a=( - 2 , 2 , 1 ) , b=( 3 , - 2 , 1 0 ) , a· b=- 2 × 3 - 2 × 2 + 1 0 = 0 , 故选B. [ 命题意图] 本题考查直线的方向向量, 利用空间向量数量积公式判断两直线位置关系, 考查理解和记忆 能力, 属于基础题. 核心素养方面考查了数学运算素养. 6 . A 解析: 由题意知: 平面α 的一个法向量为n=( 1 , 1 , 2 ) , 而直线l 的一个方向向量为m=( 2 , 1 , - 1 ) , ∴ | c o s < n, m> | = n·m | n | | m | = 2 + 1 - 2 6× 6 =1 6 , ∴直线l与平面α 所成角的正弦值为1 6. 故选A. [ 命题意图] 本题考查立体几何中的新定义以及线面角的向量公式, 考查理解和记忆能力, 属于基础题. 核 心素养方面考查了数学抽象、 数学运算素养. 7 . B 解析: 直线l: a x+ y- 1 - a= 0变形为y- 1 =- a( x- 1 ) , 所以l 过点P 1 , 1 , k PM = - 3 - 1 2 - 1 =- 4 , k P N =- 2 - 1 - 3 - 1=3 4 , 直线l过点P 1 , 1 且与线段MN 相交, 则k≤ k PM 或k≥ k P N , 则k≤- 4或k≥3 4. 所 以- a≤- 4或- a≥3 4. 所以a≥ 4或a≤-3 4. 则a 的取值范围是:-∞, -3 4 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ∪4 , +∞ , 故选B. [ 命题意图] 本题考查直线过定点以及直线与线段的相交关系求斜率范围问题, 是中档题, 意在考查学生 的逻辑推理与数学运算素养. 8 . D 解析: △B C D 中, C D=1 , B C=2 , ∠ C=6 0 ° , 由余弦定理可得B D = 3, 故B D 2+C D 2=B C 2, 所以 B D⊥ C D, 因为平面P B D⊥平面B C D 且平面P B D∩平面B C D=B D, 所以C D⊥平面P B D, 以D 为原 数学答案 第2 页( 共6页) 点, 建立如图所示的空间直角坐标系, 则B 3, 0 , 0 , C 0 , 1 , 0 , P 3, 0 , 1 , 因为D P →= 3, 0 , 1 , B C →= - 3, 1 , 0 , 因为M 在线段P D 上, 设M 3 a, 0 , a , 则MB →= 3- 3 a, 0 , - a , 所以点M 到B C 的距 离d= MB → 2- MB →·B C → B C → 2 = 7 a 2 4 - 3 a 2 +3 4 = 7 4 a-3 7 2 +3 7 , 当a=3 7时, d 取得最小值2 1 7 , 此时△MB C 面积取得最小值1 2B C× 2 1 7 = 2 1 7 . 故选D. [ 命题意图] 本题考查立体几何中的翻折问题, 考查投影向量, 利用空间向量求点线距离, 进而求三角形面 积, 属于中档题. 核心素养方面考查了直观想象、 数学运算素养. 9 . A B 解析: 由面面位置关系以及法向量的概念知A B正确; 若n· a= 0 , 则l ∥ α 或l⊂ α, C错误; 若< n, a> = 1 2 0 ° , 则l与平面α 所成角为3 0 ° , D 错误, 故选A B . [ 命题意图] 本题考查利用直线的方向向量与平面的法向量判断线面以及面面位置关系. 考查理解和记忆 能力, 属于基础题. 核心素养方面考查了数学运算素养. 1 0 . A B C 解析: 直线l 1: x s i n α+ y= 0的斜率为k 1=- s i n α, 直线l 2: x+ 3 y+ c= 0斜率为k 2=-1 3, 若直 线l 1 与直线l 2 相交, 则s i n α≠1 3, 由于- 1 ≤ s i n α≤ 1 , 故A 正确; 若直线l 1 与直线l 2 重合, 则c= 0 , 且 s i n α=1 3, 由于- 1 ≤ s i n α≤ 1 , 故B正确; 若直线l 1 与直线l 2 平行, 则s i n α=1 3且c≠0 , 故C正确; 若直 线l 1 与直线l 2 垂直, 则k 1 k 2=1 3 s i n α=- 1 , 则s i n α=- 3 , 与- 1 ≤ s i n α≤ 1矛盾, 直线l 1 与直线l 2 不 可能垂直, 故D 错误. 故选A B C. [ 命题意图] 本题考查由斜率判断两条直线相交、 平行、 重合; 由斜率判断两条直线垂直, 是中档题, 意在 考查学生的逻辑推理与数学抽象素养. 1 1 . A C D 解析: ∵P A →是平面A B C D 的法向量, ∴P A⊥平面A B C D, P A⊂平面P A B, P A⊂平面P A C, 所以平面P A B⊥平面A B C D, 平面P A C⊥平面A B C D, A C 显然成立; B D ⊂平面A B C D, 所以P A⊥ B D, 又∵四边形A B C D 为菱形, A C⊥B D, ∴B D⊥平面P A C, B D⊂平面P B D, 所以平面P B D⊥平面 P A C, 故选项D 成立; 因为A B 与A D 不垂直, 所以选项B不成立, 故选A C D. [ 命题意图] 本题考查面面垂直判断. 考查理解和记忆能力, 属于基础题. 核心素养方面考查了逻辑推理 素养. 1 2 . C D 解析: 在平行六面体A B C D-A1 B 1 C 1D1 中, 有B 1 B →+B C →=B 1 C →, ∴B 1 B →+B C → ∥ A1D →, A 错误; A1 A →+A1D1 →-A1 B →=A1D →-A1 B →=B D →, A B =A D =1 , ∠B A D =6 0 ° , B D → 2 =1 , 又A1 B 1 → 2 =1 , ∴ A1 A →+A1D1 →-A1 B → 2=A1 B 1 → 2, B 错误; A1 B 1 →-A D →=A B →-A D →=D B →, A C 1 →· A1 B 1 →-A D → = A B →+A D →+A A1 → · A B →-A D → = A B →+A D → · A B →-A D → +A A1 →· A B →-A D → , 由题知, A B=A D = 1 , A A1= 2, ∠B A A1=∠D A A1= 4 5 ° , ∠B A D= 6 0 ° , 所以A C 1 →· A1 B 1 →-A D → =A B → 2-A D → 2+A A1 → ·A B →-A A1 →·A D →=0 , C 正确; A C →=A B →+A D →, A C 1 →=A C →+A A1 →=A B →+A D →+A A1 →, A C 1 → 2 = A B →+A D →+A A1 → 2= A B → 2+ A D → 2+ A A1 → 2+ 2 A B →·A D →+2 A B →·A A1 →+2 A D →·A A1 →=1+1+2 + 2 × 1 × 1 × c o s 6 0 ° + 2 × 1 × 2× c o s 4 5 ° + 2 × 1 × 2× c o s 4 5 ° = 9 . 所以A C 1 →= 3 . D 正确, 故选C D. [ 命题意图] 本题主要考查平行六面体的结构特征以及空间向量线性运算法则与数量积的运算法则, 属 于中档题. 核心素养方面考查了数学抽象、 直观想象、 逻辑推理、 数学运算素养, 尤其对直观想象、 数学运 算素养要求较高. 1 3 . 3 x- y+ 3+ 3 = 0 解析: 由已知得直线斜率k= 3, 又∵直线过点P - 1 , 3 , ∴直线方程为: y- 3 = 数学答案 第3 页( 共6页) 3 x+ 1 ⇒3 x- y+ 3+ 3 = 0 . 故答案为: 3 x- y+ 3+ 3 = 0 . [ 命题意图] 本题考查由两条直线垂直求直线方程, 是基础题, 意在考查学生的数学运算素养. 1 4 . 2 解析: 设A D →= λ A B →+ μ A C →= λ 0 , 1 , 0 + μ 1 , 0 , 1 , ∴x, 1 , 2 = μ, λ, μ , ∴ x= μ= 2 . [ 命题意图] 本题考查利用向量共面定理判断四点共面. 考查理解和记忆能力, 属于基础题. 核心素养方 面考查了数学抽象、 数学运算素养. 1 5 . 6 0 ° 解析: 设此四棱锥底面边长为a, 斜高为h ', 则1 2 a h '× 4 = 2 a 2, h '= a. P O= a 2- a 2 2 = 3 a 2 . 如图建立空间直角坐标系. 则P 0 , 0 , 3 a 2 , B 2 a 2 , 0 , 0 , C 0 , 2 a 2 , 0 , ∴P C →= 0 , 2 a 2 , - 3 a 2 , B C →= - 2 a 2 , 2 a 2 , 0 , 设平面P B C 的法向量为m= x, y, z , 则m·P C →= 0 , m·B C →= 0 ⇒ 2 a 2 y- 3 a 2 z= 0 , - 2 a 2 x+ 2 a 2 y= 0 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁􀪁 􀪁 ⇒z= 6 3y, x= y, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 令y= 3, 则m= 3, 3, 2 , 显然平面A B C D 的法向量为n= 0 , 0 , 1 . 所以c o s < m, n> = m· n m · n = 2 3 + 3 + 2 =1 2, 所以侧面与底面的夹角为6 0 ° . [ 命题意图] 本题以中国建筑中屋顶的一种结构形式攒尖为载体考查利用空间向量求二面角, 是高考的 热点问题, 属于中档题. 核心素养方面考查了直观想象、 逻辑推理、 数学运算素养. 1 6 .8 9, 8 9, 4 9 解析: 由题意知点A, B, C 分别在x, y, z 轴正半轴上, 过点O 作O E⊥A B, 垂足为E, ∵ O A=O B, ∴E 为A B 的中点, 连接E C, 则A B⊥平面C O E, 过点O 作O K ⊥C E, 垂足为K, 则O K ⊥平 面A B C, 所以点K 即为点H . 由已知得E 1 , 1 , 0 , C E →= 1 , 1 , - 4 , ∴O E= 2, O C= 4 , 在R t △ C O E 中, OH =O E·O C C E = 4 2 3 2 =4 3, ∴ C H = C O 2-OH 2 = 1 6 - 1 6 9 = 8 2 3 , ∴C H C E = 8 2 3 3 2 =8 9, ∴ C H →=8 9 C E →=8 9 1 , 1 , - 4 = 8 9, 8 9, - 3 2 9 , ∴H 8 9, 8 9, 4 9 . [ 命题意图] 本题考查由线面垂直判断垂足位置进而求点的坐标, 是高考的热点问题, 属于中档题. 核心 素养方面考查了直观想象、 逻辑推理、 数学运算素养. 1 7 . 解: ( 1 ) 由空间直角坐标系可得A 0 , 0 , 2 3 , B 0 , 2 , 0 , C 1 2 3, 0 , 0 , A1 2 3, 2 , 2 3 , ( 2分) …… 则B A1 →= 2 3, 2 , 2 3 - 0 , 2 , 0 = 2 3, 0 , 2 3 ,A C 1 →= 2 3, 0 , 0 - 0 , 0 , 2 3 = 2 3, 0 , - 2 3 . ( 5分) ……………………………………………………………………………………… 数学答案 第4 页( 共6页) ( 2 ) c o s < B A1 →, A C 1 →> = B A1 →·A C 1 → B A1 →· A C 1 →= 0 , ( 7分) ………………………………………………………… 所以异面直线B A1 与A C 1 所成角的大小为9 0 ° . ( 1 0分) ………………………………………………… [ 命题意图] 本题考查空间向量的坐标表示, 利用空间向量求线线角, 是高考热点问题, 属于容易题. 核心 素养方面考查了直观想象、 数学运算素养. 1 8 . 解: ( 1 ) ①当直线的截距均为0时, 则直线l过( 0 , 0 ) 点, 设直线方程为A x+B y= 0 , ( 1分) …………… 又P 1 , 2 在直线上, 则A+ 2 B= 0 , 直线方程为y= 2 x; ( 2分) …………………………………………… ②当直线的截距不为0时, 设直线方程为x a +y a = 1 , 代入P 1 , 2 , 得a= 3 , 则直线方程为x+ y- 3 = 0 ; ( 4分) …………………………………………………………………………………………………………… 综上所述, 直线方程为x+ y- 3 = 0或y= 2 x. ( 5分) ……………………………………………………… ( 2 ) 设A, B 坐标分别为A a, 0 , B 0 , b , 因为A, B 分别在x 轴, y 轴的正半轴, 所以a> 0 , b> 0 , ( 6分) …………………………………………………………………………………………………………… 则可设直线l: x a +y b = 1 ( a> 0 , b> 0 ) , 因为直线过定点P 1 , 2 , 代入得: 1 a +2 b = 1 ( a> 0 , b> 0 ) , ( 8分) …………………………………………………………………………………………………………… S△A O B =1 2 a b, 由1 =1 a +2 b ≥ 2 1 a ·2 b , 得a b≥ 8 , 所以S△A O B =1 2 a b≥ 4 , ( 1 0分) …………………… 当且仅当1 a =2 b =1 2, 即a= 2 , b= 4时取等号, 此时直线l: 2 x+ y- 4 = 0 . ( 1 2分) ……………………… [ 命题意图] 本题考查直线截距式方程及辨析, 直线与坐标轴围成图形的面积最值问题, 是中档题, 意在 考查学生的逻辑推理与数学运算素养. 1 9 . 解: ( 1 ) EH →=E P →+PH →=E B →+B P →+3 4P D →=-1 2A D →+ A P →-A B → +3 4 A D →-A P → ( 3分) ………… =-1 2A D →+A P →-A B →+3 4A D →-3 4A P →=1 4A D →+1 4A P →-A B →. ( 6分) …………………………………… ( 2 )EH → 2= 1 4A D →+1 4A P →-A B → 2 =1 1 6 A D →+A P → 2-1 2 A D →+A P → ·A B →+ A B → 2 =1 1 6 A D → 2+ A P → 2 -1 2A D →·A B →+ A B → 2 ( 8分) …………………………………………………… =1 1 64 + 1 6 -1 2· 2 · 2 · -1 2 + 4 = 2 5 4, ( 1 1分) ……………………………………………………… ∴EH →=5 2. ( 1 2分) ………………………………………………………………………………………… [ 命题意图] 本题考查利用空间向量的基底, 求向量的模长, 属于容易题. 核心素养方面考查了直观想象、 逻辑推理、 数学运算素养. 2 0 . 解: ( 1 ) 因为B 1 在平面A B C 的射影H 为B C 中点, 所以B 1H ⊥平面A B C. 又B B 1=B C= 2 3, 所以BH = 3, B 1H = 3 . ( 1分) ……………………………………………………… 则A - 3, 1 , 0 , B - 3, 0 , 0 , C 3, 0 , 0 , B 1 0 , 0 , 3 , C 1 2 3, 0 , 3 , ( 3分) ……………………… 设A1 x, y, z , 由已知得A A1 →=B B 1 →= 3, 0 , 3