（高二数学试卷）神州智达2021-2022省级联测第一次考试

省级联测第一次考试·高二数学 第1页( 共4页) 省级联测第一次考试·高二数学 第2页( 共4页) 绝密★启用前 神州智达省级联测2 0 2 1 — 2 0 2 2第一次考试 高二数学 班级 姓名 注意事项: 1 . 答卷前, 考生务必将自己的姓名、 班级和考号填写在答题卡上。 2 . 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用2 B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需 改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。回答非选择题时, 将答案写在答题卡上。写在本 试卷上无效。 3 . 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题: 本题共8小题, 每小题5分, 共4 0分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合 题目要求的. 1 . 如图, 在三棱柱A B C-A1 B 1 C 1 中, B C 1 与B 1 C 相交于点O, 则下列向量能 组成一组基底的为 A. A A1 →, A B →, A C → B . A B →, A O →, A C 1 → C. A A1 →, A1 C 1 →, A C → D. A B 1 →, A O →, A C → 2 . 过点A 2 , 0 , B - 1 , 3 的直线的倾斜角为 A. 3 0 ° B . 6 0 ° C. 1 2 0 ° D. 1 5 0 ° 3 . 在空间直角坐标系中, 记点M - 1 , 1 , 2 关于x 轴的对称点为N, 关于y O z 平面的对称点为 P, 则线段N P 中点坐标为 A. 1 , 0 , 0 B .- 1 , - 1 , 0 C. 1 , 0 , 1 D. 0 , 0 , 0 4 . 已知空间直角坐标系中, O 为坐标原点, P 的坐标为0 , - 3 , 4 , 则P 到原点O 的距离与P 到 平面x O y 的距离之和为 A. 6 B . 7 C. 8 D. 9 5 . 设直线l 1、 l 2 的方向向量分别为a, b, 能得到l 1⊥ l 2 的是 A. a=( 1 , 2 , - 2 ) , b=( - 2 , 4 , 4 ) B . a=( - 2 , 2 , 1 ) , b=( 3 , - 2 , 1 0 ) C. a=( 1 , 0 , 0 ) , b=( - 3 , 0 , 0 ) D. a=( - 2 , 3 , 5 ) , b=( 2 , 3 , 5 ) 6 . 在空间直角坐标系O x y z 中, 经过点P( x 0, y 0, z 0) 且法向量为m =( a, b, c) 的平面方程为 a( x- x 0) + b( y- y 0) + c( z- z 0) = 0 , 经过点P( x 0, y 0, z 0) 且一个方向向量为n=( μ, v, ω) ( μ v ω≠0 ) 的直线l方程为 x- x 0 μ = y- y 0 v = z- z 0 ω . 已知: 在空间直角坐标系O x y z 中, P( 0 , 0 , 1 ) , 经过点P 的平面α 的方程为x+ y+ 2 z- 2 = 0 , 经过点P 的直线 l方程为x 2= y= 1 - z, 则 直线l与平面α 所成角的正弦值为 A. 1 6 B . 1 5 C. 5 6 D. 1 1 1 4 7 . 已知两点M 2 , - 3 , N - 3 , - 2 , 直线l: a x+ y- 1 - a= 0与线段MN 相交, 则a 的取值范 围是 A.-∞, - 4 ∪3 4, +∞ 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 B .-∞, -3 4 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 ∪4 , +∞ C. -3 4, 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 D. - 4 , 3 4 􀭠 􀭡 􀪁 􀪁 􀭤 􀭥 􀪁 􀪁 8 . 如图, 在平行四边形A B C D 中, A B=1 , A D =2 , ∠A =6 0 ° , 沿对角线B D 将△A B D 折起到 △P B D 的位置, 使得平面P B D⊥平面B C D, 过B C 的平面与P D 交于M , 则△MB C 面积的最小值为 A. 7 7 B . 3 7 C. 2 5 7 D.2 1 7 二、 选择题: 本题共4小题, 每小题5分, 共2 0分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求, 全部选对的得5分, 部分选对的得2分, 有选错的得0分. 9 . 下列命题中, 正确的有 A. n 1, n 2 分别是平面α, β 的法向量, 若α∥ β, 则n 1∥ n 2 B . n 1, n 2 分别是平面α, β 的法向量, 若n 1· n 2= 0 , 则α⊥ β C. n 是平面α 的法向量, a 是直线l的方向向量, 若n· a= 0 , 则l ∥ α D. n 是平面α 的法向量, a 是直线l的方向向量, 若< n, a> = 1 2 0 ° , 则l与平面α 所成角为6 0 ° 1 0 . 已知直线l 1: x s i n α+ y= 0与直线l 2: x+ 3 y+ c= 0 , 则下列结论中正确的是 A. 直线l 1 与直线l 2 可能相交 B . 直线l 1 与直线l 2 可能重合 C. 直线l 1 与直线l 2 可能平行 D. 直线l 1 与直线l 2 可能垂直 1 1 . 在菱形A B C D 中, 若P A →是平面A B C D 的法向量, 则以下结论一定成立的是 A. 平面P A B⊥平面A B C D B . 平面P A B⊥平面P A D C. 平面P A C⊥平面A B C D D. 平面P B D⊥平面P A C 1 2 . 如图, 在平行六面体A B C D -A1 B 1 C 1D1 中, A B =A D =1 , A A1= 2, ∠B A A1=∠D A A1= 4 5 ° , ∠B A D= 6 0 ° , 则 A. A D1 →∥B 1 B →+B C → B .A1 A →+A1D1 →-A1 B → 2= 3A1 B 1 → 2 C. A C 1 →· A1 B 1 →-A D → = 0 D.A C 1 →= 3 三、 填空题: 本题共4小题, 每小题5分, 共2 0分. 1 3 . 过点P - 1 , 3 , 与直线x+ 3 y+ 1 = 0垂直的直线方程为 . 1 4 . 已知A( 0 , 0 , 0 ) , B( 0 , 1 , 0 ) , C( 1 , 0 , 1 ) , D( x, 1 , 2 ) , 若A, B, C, D 四点共面, 则x= . 省级联测第一次考试·高二数学 第3页( 共4页) 省级联测第一次考试·高二数学 第4页( 共4页) 1 5 . 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式, 依其平面有圆形攒尖、 三角攒尖、 四角攒尖、 八 角攒尖. 如图属重檐四角攒尖, 它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥, 若此正四棱锥的侧面 积是底面积的2倍, 则侧面与底面的夹角为 . 1 6 . 在空间直角坐标系O x y z 中, 已知A( 2 , 0 , 0 ) , B( 0 , 2 , 0 ) , C( 0 , 0 , 4 ) . 过O 作OH ⊥平面A B C 于点H , 则点H 的坐标为 . 四、 解答题: 本题共6小题, 共7 0分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 1 7 . ( 本小题满分1 0分) 如图, 在三棱柱A B C-A1 B 1 C 1 中, 侧棱长为4 , 平面A B C⊥ 平面B C C 1 B 1, △A B C 是边长为4的等边三角形, 且∠ C 1 C B = 6 0 ° , 已知O 是B C 的中点. 以O C 1, O B, O A 所在直线分别 为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. ( 1 ) 求向量B A1 →, A C 1 →的坐标; ( 2 ) 求异面直线B A1 与A C 1 所成角的大小. 1 8 . ( 本小题满分1 2分) 在平面直角坐标系中, 直线l过点P 1 , 2 . ( 1 ) 若直线l在两坐标轴上的截距相等, 求直线l的方程; ( 2 ) 若直线l分别与x 轴正半轴、 y 轴正半轴交于A、 B 点, 当△A O B 面积最小时, 求直线l的 方程. 1 9 . ( 本小题满分1 2分) 如图, 在四棱锥P-A B C D 中, 底面A B C D 为菱形, P A⊥平 面A B C D, A B=2 , P A=4 , ∠A B C=6 0 ° , E 是B C 的中点, H 在线段P D 上且DH =1 4D P. ( 1 ) 用向量A B →, A D →, A P →表示向量EH →; ( 2 ) 求向量EH →的模长. 2 0 . ( 本小题满分1 2分) 如图, 在三棱柱A B C-A1 B 1 C 1 中, ∠A B C= 9 0 ° , A B= 1 , B B 1=B C= 2 3, B 1 在平面A B C 的射影H 为B C 中点, 以H 为坐标原点, H C →的方向为x 轴的正方向, HB 1 →的方向为z 轴的 正方向, 建立如图所示的空间直角坐标系H x y z. ( 1 ) 分别求A1, B 1, C 1 点坐标; ( 2 ) 求四棱锥B-A C C 1 A1 的高. 2 1 . ( 本小题满分1 2分) 如图, A D∥ B C 且A D= 2 B C= 2 , A D⊥C D, 平面A D G E⊥平面A B C D, 四边形A D G E 为矩 形, C D∥ F G 且C D= 2 F G= 2 . ( 1 ) 若M 为C F 的中点, N 为E G 的中点, 求证: MN∥平面C D E; ( 2 ) 若C F 与平面A B C D 所成角的正切值为2 , 求直线A D 到平面E B C 的距离. 2 2 . ( 本小题满分1 2分) 已知如图①, 在菱形A B C D 中, ∠A= 6 0 ° 且A B= 2 , E 为A D 的中点, 将△A B E 沿B E 折起 使A D= 2, 得到如图②所示的四棱锥A-B C D E, 在四棱锥A-B C D E 中, 求解下列问题: ( 1 ) 求证: B C⊥A B; ( 2 ) 在线段A C 上是否存在一点P, 使得平面A B D 与平面P B D 夹角的余弦值为1 7? 若存 在, 请求出P A P C 的值; 若不存在, 请说明理由.