2020年高考数学试卷（理）（新课标Ⅰ）（解析卷）

1/23 绝密★启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂 黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案 写在答题卡上。写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.若z=1+i，则|z2–2z|=（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意首先求得 的值，然后计算其模即可. 【详解】由题意可得： ，则 . 故 . 1/23 故选：D. 【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题. 2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】【分析】 由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 2/23 的值. 【详解】求解二次不等式 可得： ， 求解一次不等式 可得： . 由于 ，故： ，解得： . 故选：B. 【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算 求解能力. 3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的 高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与 底面正方形的边长的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 设 ，利用 得到关于 的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图，设 ，则 ，由题意 2/23 ，即 ，化简得 ， 解得 （负值舍去）. 3/23 故选：C. 【点晴】本题主要考查正四棱锥的概念及其有关计 算，考查学生的数学计算能力，是一道容易题. 4.已知A 为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为 9，则p=（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即 ，解 得 . 故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容 易题. 5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x（单位：°C）的关系，在20 个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图： 4/23 由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据散点图的分布可选择合适的函数模型. 【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近， 因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 . 故选：D. 【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题. 6.函数 的图像在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得函数 的导数 ，计算出 和 的值，可得出所求切线的 4/23 点斜式方程，化简即可. 【详解】 ， ， ， ， 5/23 因此，所求切线的方程为 ，即 . 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 7.设函数 在 的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由图可得：函数图象过点 ，即可得到 ，结合 是 函数 图象与 轴负半轴的第一个交点即可得到 ，即可求得 ， 再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点 ， 将它代入函数 可得： 又 是函数 图象与 轴负 5/23 半轴的第一个交点， 所以 ，解得： 6/23 所以函数 的最小正周期为 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中 档题. 8. 的展开式中x3y3的系数为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】 求得 展开式的通项公式为 （ 且 ），即可求得 与 展开式的乘积为 或 形式，对 分别赋值为3，1 即可求得 的 系数，问题得解. 【详解】 展开式的通项公式为 （ 且 ） 所以 与 展开式的乘积可表示为： 或 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 ， 在 中，令 ，可得： ，该项中 的系数为 所以 6/23 的系数为 故选：C 【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及 分析能力，属于中档题. 7/23 9.已知 ，且 ，则 （ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于 的一元二次方程，求解得出 ，再 用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】 ，得 ， 即 ，解得 或 （舍去）， 又 . 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考 查计算求解能力，属于基础题. 10.已知 为球 球面上的三个点，⊙ 为 的外接圆，若⊙ 的面积为 ， ，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知可得等边 的外接圆半径，进而求出其边长，得出 的值，根据球 . 的 7/23 截面性质，求出球的半径，即可得出结论. 【详解】设圆 半径为 ，球的半径为 ，依题意， 得 ， 8/23 由正弦定理可得 ， ，根据圆截面性质 平面 ， ， 球 的表面积 . 故选：A 【点睛】本题考查球的表面积，应用球的截面性质是解题的关键， 考查计算求解能力，属于基础题. 11.已知⊙M： ，直线： ， 为上的动点，过点 作⊙M 的切线 ，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点 共圆，且 ，根 据 可知，当直线 时， 最小，求出以 为 直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线 的方程． 8/23 【详解】圆的方程可化为 ，点 到直线 的距离为 ，所以直线与圆相离． 9/23 依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，所以 ，而 ， 当直线 时， ， ，此时 最小． ∴ 即 ，由 解得， ． 所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ， 两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程． 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意 在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 12.若 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案. 【 详 解 】 设 ， 则 为 增 函 数 ， 因 为 所以 . 9/23 ， 所以 ，所以 . ， 10/23 当 时， ，此时 ，有 当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D 错误. 故选：B. 【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大 小，是一道中档题. 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13.若x，y 满足约束条件 则z=x+7y 的最大值为______________. 【答案】1 【解析】 【分析】 首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义即可求得其最大值. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数 即： ， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，据此结合目标函数 几 何意义可知目标函数在点A 处取得最大值， 联立直线方程： ，可得点A 的坐标为： ， 的 10/23 据此可知目标函数的最大值为： . 故答案为：1． 11/23 【点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0 时，直线过可行域且在y 轴上截距 最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b＜0 时，直线过可行域且在y 轴上截距 最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大. 14.设 为单位向量，且 ，则 ______________. 【答案】 【解析】 【分析】 整理已知可得： ，再利用 为单位向量即可求得 ，对 变形可得： ，问题得解. 【详解】因为 为单位向量，所以 所以 解得： 所以 故答案为： 【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题. 15.已知F 为双曲线 的右焦点，A 为C 的右顶点，B 为C 上的点， 且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2 【解析】 11/23 【分析】根据双曲线的几何性质可知， ， ，即可根据斜率列出等式求 解即可． 【详解】依题可得， ，而 ， ，即 ，变形得 ，化简可得， ，解得 或 （舍去）． 故答案为： ． 12/23 【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求法，以及双曲线的几何性质的应用，属于基础题． 16.如图，在三棱锥P–ABC 的平面展开图中，AC=1， ，AB⊥AC，AB⊥AD， ∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________. 【答案】 【解析】 【分析】 在 中，利用余弦定理可求得 ，可得出 ，利用勾股定理计算出 、 ，可 得出 ，然后在 中利用余弦定理可求得 的值. 【详解】 ， ， ，由勾股定理得 ， 同理得 ， ， 在 中， ， ， ， 由余弦定理得 ， ， 在 中， ， ， ， 12/23 由余弦定理得 . 13/23 故答案为： . 【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为 必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60 分. 17.设 是公比不为1 的等比数列， 为 ， 的等差中项． （1）求 的公比； （2）若 ，求数列 的前 项和． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由已知结合等差中项关系，建立公比 的方程，求解即可得出结论； （2）由（1）结合条件得出 的通项，根据 的通项公式特征，用错位相减法，即可 求出结论. 【详解】（1）设 的公比为 ， 为 的等差中项， ， ； （2）设 的前 项和为 ， ， ，① 13/23 ，② ① ②得， ， . 【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的 14/23 计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题. 18.如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径， ． 是底面的内接正三角形， 为 上一点， ． （1）证明： 平面 ； （2）求二面角 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）要证明 平面 ，只需证明 ， 即可； （2）以O 为坐标原点，OA 为x 轴，ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别算出平 面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，利用公式 计算即可 得到答案. 【详解】（1）由题设，知 为等边三角形，设 ， 则 ， ，所以 ， 14/23 又 为等边三角形，则 ，所以 ， ，则 ，所以 ， 同理 ，又 ，所以 平面 ； 15/23 （2）过O 作 ∥BC 交AB 于点N，因为 平面 ，以O 为坐标原点，OA 为x 轴， ON 为y 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 ，由 ，得 ， 令 ，得 ， 所以 ， 设平面 的一个法向量为 由 ，得 ，令 ，得 ， 所以 15/23 故 ， 设二面角 的大小为 ，则 . 16/23 【点晴】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小，考查学生空间想象能 力，数学运算能力，是一道容易题. 19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽 签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一 场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰， 另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率 都为 ， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概 率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性 可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件 甲连胜四场，则 ； （2）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 16/23 所以，需要进行第五场比赛的概率为 ； （3）记事件 为甲输，事件 为乙输，事件 为丙输， 记事件 甲赢，记事件 丙赢， 17/23 则甲赢的基本事件包括： 、 、 、 、 、 、 、 ， 所以，甲赢的概率为 . 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为 . 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查 计算能力，属于中等题. 20.已知A、B 分别为椭圆E： （a>1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点， ，P 为直线x=6 上的动点，PA 与E 的另一交点为C，PB 与E 的另一交点为D． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点. 【答案】（1） ；（2）证明详见解析.【解析】 【分析】 （1）由已知可得： ， ， ，即可求得 ，结合已知 即可求得： ，问题得解. （2）设 ，可得直线 的方程为： ，联立直线 的方程与椭圆方 程即可求得点 的坐标为 ，同理可得点 的坐标为 17/23 ，即可表示出直线 的方程，整理直线 的方程可得： ，命题得证. 【详解】（1）依据题意作出如下图象： 18/23 由椭圆方程 可 得： ， ， ， ， 椭圆方程为： （2）证明：设 ，则直线 的方程为： ，即： 联立直线 的方程与椭圆方程可得： ，整理得： ，解得： 或 将 代入直线 可得： 所以点 的坐标为 . 同理可得：点 的坐标为 18/23 直线 的方程为： ， 19/23 整理可得： 整理得： 故直线 过定点 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理 论证能力，属于难题. 21.已知函数 . （1）当a=1 时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0 时，f（x）≥ x3+1，求a 的取值范围. 【答案】（1 ）当 时， 单调递减，当 时， 单调递增.（2） 【解析】 【分析】 (1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论x=0 的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最 大值即可确定实数a 的取值范围. 【详解】(1)当 时， ， ， 由于 ，故 单调递增，注意到 ，故： 当 时， 单调递减， 19/23 当 时， 单调递增. (2)由 得， ，其中 ， ①.当x=0 时，不等式为： ，显然成立，符合题意； ②.当 时，分离参数a 得， ， 20/23 记 ， ， 令 ， 则 ， ， 故 单调递增， ， 故函数 单调递增， ， 由 可得： 恒成立， 故当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减；因此， , 综上可得，实数a 的取值范围是 . 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的 知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解 析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 [选修4—4：坐标系与参数方程] 20/23 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数．以坐标原点为极 点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）当 时， 是什么曲线？ （2）当 时，求 与 的公共点的直角坐标． 21/23 【答案】（1）曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆；（2） . 【解析】 【分析】 （1）利用 消去参数，求出曲线 的普通方程，即可得出结论； （2）当 时， ，曲线 的参数方程化为 为参数），两式相 加消去参数，得 普通方程，由 ，将曲线 化为直角坐标方程， 联立 方程，即可求解. 【详解】（1）当 时，曲线 的参数方程为 为参数），两式平方相加得 ， 所以曲线 表示以坐标原点为圆心，半径为1 的圆； （2）当 时，曲线 的参数方程为 为参数）， 所以 ，曲线 的参数方程化为 为参数）， 两式相加得曲线 方程为 ， 得 ，平方得 ， 曲线 的极坐标方程为 ， 21/23 曲线 直角坐标方程为 ， 联立 方程 ， 整理得 ，解得 或 （舍去）， ， 公共点的直角坐标为 . 22/23 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是 解题的关系，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. [选修4—5：不等式选讲] 23.已知函数 ． （1）画出 的图像； （2）求不等式 的解集．【答案】（1）详解解析； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据分段讨论法，即可写出函数 的解析式，作出图象； （2）作出函数 的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为 ，作出图象，如图所示： 22/