模型20 加权费马点模型（解析版）(1)

对于费马点问题，大家已经见得比较多了，相信都能熟练解决，如果所求最值中三条线 段 的系数有不为1 的情况，我们把这类问题归为加权费马点问题，费马点问题属于权为1 的特 殊 情况 加权费马点问题解决方法类似，也是通过旋转进行线段转化，只不过要根据系数的情况选择 不 同的旋转或放缩方法 【类型一 单系数类】 当只有一条线段带有不为1 的系数时，相对较为简单，一般有两种处理手段，一种是旋转特 殊 角度，一种是旋转放缩 【类型二 多系数类】 其实当三条线段的三个系数满足勾股数的关系时，都是符合加权费马点的条件的 经过尝试，我们会发现，以不同的点为旋转中心，旋转不同的三角形得到的系数是不同的， 对 于给定的系数，我们该如何选取旋转中心呢？ 我们总结了以下方法： 1 将最小系数提到括号外； 2 中间大小的系数确定放缩比例； 模型介绍 3 最大系数确定旋转中心（例如最大系数在P 前面，就以为旋转中心），旋转系数不 为1 的两条线段所在的三角形 【例1】．已知，如图在△B 中，∠B＝30°，B＝5，＝6，在△B 内部有一点D，连接D、DB、D，则D+DB+ D 的最小值是 ． 解：如图，过点作E⊥D，且E＝D，连接DE，将△D 绕点逆时针旋转90°得到△FE，连接FB，过点F 作 F⊥B，交B 的延长线于， ∵E⊥D，E＝D， ∴DE＝ D， ∵将△D 绕点逆时针旋转90°得到△FE， ∴EF＝D，∠F＝90°，F＝＝6， ∴D+DB+ D＝DB+EF+DE， ∴当点F，点E，点D，点B 共线时，D+DB+ D 有最小值为FB， ∵∠F＝180°﹣∠F﹣∠B＝60°， 例题精讲 ∴∠F＝30°， ∴＝ F＝3，F＝ ＝3 ， ∴BF＝ ＝ ＝ ， 故答为： ． 变式训练 【变式1-1】．如图，P 是边长为2 的等边△B 内的一点，求 P+PB+ P 的最小值． 解：如图， 将△BP 扩大 倍，并绕点B 逆时针旋转90°至△EBD，连接PD，E，作EF⊥B 于F， ∵△EBD∽△BP， ∴ ， ∴BE＝ B＝2 ，BD＝ PB，DE＝ P， ∴PD＝ ＝2PB， ∴当、P、D、E 共线时，P+PD+DE 最小，即：P+2PB+ P 最小为E， 在Rt△BEF 中，BE＝2 ，∠EBF＝180°﹣∠BE﹣∠B＝180° 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°， ∴EF＝ ，BF＝2 •s30°＝2 ＝3， 在Rt△EF 中，EF＝ ，F＝BF+B＝3+2＝5， ∴E＝ ＝ ＝2 ， ∵ P+PB+ P＝ （ +2PB+P）， ∴（ P+PB+ P）最小＝ E＝ ． 【变式1-2】．已知：＝4，B＝6，∠B＝60°，P 为△B 内一点，求BP+2P+ P 的最小值． 解：如图 将△P 绕点逆时针旋转90°，并使各边扩大 倍至△′P′， ∴PP′＝2P，P′′＝ P，′＝ ＝4 ， ∴BP+2P+ P＝BP+PP′+P′′≥B′， ∴当B、P、P′、′共线时，BP+2P+ P 最小， 作BE⊥于E，作′D⊥B，交B 的延长线于D， 在Rt△BE 中， E＝ B＝3，BE＝ B＝3 ， ∴E＝﹣E＝1， ∴B＝ ＝2 ， 由△BE ′ ∽△D 得， ＝ ＝ ， ∴ ， ′ ∴D＝ ，D＝ ， ∴BD＝B+D＝ ， ∴B′＝ ＝ ＝ = ， ∴BP+2P+ P 的最小值为： ． 【变式1-3】．如图，正方形BD 的边长为4，点P 是正方形内部一点，求P+2PB+ P 的最小值． 解：延长D 到，使得＝2B＝8，则B＝4 ，在∠B 的内部作射线B，使得∠PB＝∠B，使得B＝ BP， 连接P，，． ∵∠PB＝∠B， ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴△BP∽△B， ∴∠BP＝∠B＝90°， ∴P＝ ＝ ＝2PB， ∵∠PB＝∠B， ＝ ， ∴△PB∽△B， ∴ ＝ ＝ ， ∴＝ P ∴P+2PB+ P＝P+P+， ∵P+P+≥， ∴P+2PB+ P≥ ＝4 ， ∴P+2PB+ P 的值最小，最小值为4 ． 1．已知△B 中，B＝，B＝，∠B＝30°，P 是△B 内一点，求P+PB+P 的最小值． 解：（1）若△B 每个角小于120°时，只需将△BP 绕点B 按逆时针旋转60°得到△BP′′，易知此时有BP＝ PP′，P＝P′′， 从而P+PB+P＝P+PP′+P′′≥′＝ ， 当、P′、P、′四点共线时取等号，最小值为 ； （2）若有一个角大于120°时，此时以该点为中心，以180°减去该角大小为旋转角进行旋转， ①≥120° ∠ 时，当P 点与重合时，P+PB+P 最小，最小值为+ ； ②≥120° ∠ 时，当P 点与重合时，P+PB+P 最小，最小值为+ ． 故答为： 或+ ． 2．求 的最小值． 解：因为 ＝ ， 则对于点T（x，x），（0，1）， ， ， ， ， 可知y＝T+TB+T．容易验证△B 是中心为（0，0）、边长为 的等边三角形． 根据费马点原理，当T 在点处时、T+TB+T 有最小值，ym＝3． 3．已知：等腰Rt△B 中，∠B＝90°，＝B＝1，D 是△B 的费马点（∠D＝∠BD＝∠DB＝120°），求D+BD+D 的值． 解：如图 以B 为边作等边△BE，连接DE， ∴E＝B，∠EB＝∠BE＝BE＝60°， ∵∠BD＝120°， ∴点E、B、、D 共圆， ∴∠DE＝∠BE＝60°， ∵∠D＝120°， ∴∠D+∠DE＝180°， ∴、D、E 共线， 在DE 上截取DF＝D， ∴△DF 是等边三角形， ∴∠BE＝∠DF＝60°，F＝D， ∴∠DB＝∠FE， ∴△EF≌△BD（SS）， ∴EF＝BD， ∵∠DE+∠DB＝60°+120°＝180°， ∴D+D+BD＝D+DF+EF＝E， 在△E 中， E＝＝1， ∠E＝∠B+∠BE＝90°+60°＝150°， 作EG⊥于G， 在Rt△GE 中，∠GE＝180°﹣∠E＝30°， ∴GE＝ ＝ ，G＝E•s30°＝ ， 在Rt△GE 中，G＝+G ＝1+ ＝ ， GE＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ． 4．如图，在△B 中，∠B＝60°，＝6，B＝4 ，点P 是△B 内的一点．则P+PB+ P 的最小值是 2 ． 解：如图， 将△P 绕点顺时针旋转90°至△ED，连接PD，BE，作EF⊥B，交B 的延长线于点F， ∴PD＝ P，DE＝P， ∴P+PB+ P＝P+PD+DE， ∴当B，P，D，E 共线时，P+PB+ P 最小，最小值为BE 的长， 在Rt△EF 中，∠EF＝180°﹣∠B﹣∠E＝180° 60° 90° ﹣ ﹣ ＝30°，E＝＝4 ， ∴EF＝4 °＝2 ，F＝4 °＝4 ＝6， ∴BF＝B+F＝12， 在Rt△BEF 中， BE＝ ＝ ＝2 ， ∴P+PB+ P 最小值，为2 ， 故答为：2 ． 5．法国数学家费马提出：在△B 内存在一点P，使它到三角形顶点的距离之和最小．人们称这个点为费马 点，此时P+PB+P 的值为费马距离．经研究发现：在锐角△B 中，费马点P 满足∠PB＝∠BP＝∠P＝ 120°，如图，点P 为锐角△B 的费马点，且P＝3，P＝4，∠B＝60°，则费马距离为 7+2 ． 解： 如图： ∵∠PB＝∠BP＝∠P＝120，∠B＝60°， 1+ 3 ∴∠ ∠＝60°，∠1+ 2 ∠＝60°，∠2+ 4 ∠＝60°， 1 ∴∠＝∠4，∠2＝∠3， ∴△BP∽△PB ∴ ＝ ， 即PB2＝12 ∴PB＝2 ． ∴P+PB+P＝7+2 故答为：7+2 ． 6．已知：到三角形3 个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点．如果△B 是锐角（或直角）三角形， 则其费马点P 是三角形内一点，且满足∠PB＝∠BP＝∠P＝120°．（例如：等边三角形的费马点是其三条 高的交点）．若B＝＝ ，B＝2 ，P 为△B 的费马点，则P+PB+P＝ 5 ；若B＝2 ，B＝2，＝ 4，P 为△B 的费马点，则P+PB+P＝ 2 ． 解：如图，过作D⊥B，垂足为D， 过B，分别作∠DBP＝∠DP＝30°，则PB＝P，P 为△B 的费马点， ∵B＝＝ ，B＝2 ， ∴ ， ∴ ， ∴PD＝1， ∴ ， ∴ ， ∴P+PB+P＝5； ②如图： ∵B＝2 ，B＝2，＝4， ∴B2+B2＝16，2＝16， ∴B2+B2＝2，∠B＝90°， ∵ ， ∴∠B＝30°， 将△P 绕点逆时针旋转60°， 由旋转可得：△P≌△P''， ∴P'＝P，P＝P''，＝'，∠'＝∠PP'＝60°， ∴△PP′是等边三角形， ∴∠B'＝90°， ∵P 为△B 的费马点， 即B，P，P'，'四点共线时候，P+PB+P＝B'， ∴P+PB+P＝BP+PP'+P''＝B'＝ ＝ ， 故答为：5， ． 7．数学上称“费马点”是位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点．现定义：菱形对角线上 一点到该对角线同侧两条边上的两点距离最小的点称为类费马点．例如：菱形BD，P 是对角线BD 上一 点，E、F 是边B 和D 上的两点，若点P 满足PE 与PF 之和最小，则称点P 为类费马点． （1）如图1，在菱形BD 中，B＝4，点P 是BD 上的类费马点 ①E 为B 的中点，F 为D 的中点，则PE+PF＝ 4 ． ②E 为B 上一动点，F 为D 上一动点，且∠B＝60°，则PE+PF＝ 2 ． （2）如图2，在菱形BD 中，B＝4，连接，点P 是△B 的费马点，（即P，PB，P 之和最小），①当∠B ＝60°时，BP＝ ． ②当∠B＝30°时，你能找到△B 的费马点P 吗？画图做简要说明，并求此时P+PB+P 的值． 解：（1）①取B 的中点E'，连接PE'， ∵四边形BD 是菱形， ∴B＝B＝D，∠BP＝∠BP， ∵点E，E'分别是B，B 的中点， ∴BE＝BE'， 在△BEP 和△BE'P 中， ， ∴△BEP≌△BE'P（SS）， ∴PE＝PE'， ∴PE+PF＝PE'+PF， ∴当E'、P、F 三点共线时，PE+PF 最小值为E'F 的长， ∵E'＝DF，E'∥DF， ∴四边形E'FD 是平行四边形， ∴E'F＝B＝4， ∴PE+PF＝4， 故答为：4； ②由①知PE+PF＝E'F，若E、F 为动点，则E'F 的最小值为B 与D 之间的距离， ∴过点作⊥B 于， 在Rt△B 中， s∠B＝ ， ∴＝2 ， ∵点P 是BD 上的类费马点 ∴PE+PF 的最小值为2 ； 故答为：2 ； （2）①如图2，将△BP 绕点B 顺时针旋转60°得△BP''，连接PP'， ∴BP＝BP'，P＝P''，∠PBP'＝60°， ∴△BPP'是等边三角形， ∴PP'＝PB， ∴P+PB+P＝P+PP'+P''， ∴当P、P'在线段'上时，P+PB+P 最小值为'的长， ∴连接'，'与BD 的交点为P 点， ∵B＝B＝4，∠B＝120°， ∴∠BP＝∠BP＝30°，'＝4 ， ∴P＝BP， 同理BP'＝P'， ∴BP＝ '＝ ； 故答为： ； ②如图3，将△BP 绕点B 顺时针旋转60°得△BP''，连接PP'， ∴BP＝BP'，P＝P''，∠PBP'＝60°，∠B'＝60°， ∴△BPP'是等边三角形， ∴PP'＝PB， ∴P+PB+P＝P+PP'+P''， ∴当P、P'在线段'上时，P+PB+P 最小值为'的长， 且点P 是△B 内部的费马点， ∵∠B'＝90°，B＝B'＝4， ' ∴＝ ， ∴此时P+PB+P 的最小值为4 ． 8．【问题情境】 如图1，在△B 中，∠＝120°，B＝，B＝5 ，则△B 的外接圆的半径值为 5 ． 【问题解决】 如图2，点P 为正方形BD 内一点，且∠BP＝90°，若B＝4，求P 的最小值． 【问题解决】 如图3，正方形BD 是一个边长为3 m 的隔离区域设计图，E 为大门，点E 在边B 上，E＝ m，点 P 是正方形BD 内设立的一个活动岗哨，到B、E 的张角为120°，即∠BPE＝120°，点、D 为另两个固定 岗哨．现需在隔离区域内部设置一个补水供给点Q，使得Q 到、D、P 三个岗哨的距离和最小，试求 Q+QD+QP 的最小值．（保留根号或结果精确到1m，参考数据 ≈17，1052＝11025）． 解：（1）如图1，作△B 的外接圆，作直径D，连接B， ∵B＝， ∴⊥B，∠B＝60°， ∵＝B， ∴△B 是等边三角形， ∴B＝＝B， 设D 与B 交于点E，BE＝ B＝ ， 在直角三角形BE 中， s ∵∠B＝ ， s60° ∴ ＝ ＝ ， ∴B＝5， ∴＝5， 故答为：5； （2 ）如图2， ∵∠BP＝90°， ∴点在以B 为直径的圆上，设圆心为点， 则P＝ B＝2， ∴，P，三点线时P 最小， 在直角三角形B 中， ＝ ＝2 ， ∵P＝2， ∴P 的最小值为：﹣P＝2 2 ﹣； （3）如图3，设∠BPE 所在圆的圆心为点，根据（1）可得∠BPE 所在圆的半径为 ＝2，以点D 为 旋转中心，将△DQ 顺时针旋转60°，得到△DF，当，F，Q，P，共线时，Q+QD+QP 最小，过点作G⊥B 交B 的延长线于点G，连接，则△D 是等边三角形，过点作M⊥G 于M 交B 于点，连接B， ∵四边形BD 是正方形， ∴D∥B∥G， ∴⊥B， ∵BE＝2 ， ∴B＝ ， ∴＝ ＝1， ∵D＝D，∠D＝60°， ∴△D 是等边三形，且＝3 ，∠D＝60°， ∴∠G＝30°， ∴G＝s30°＝ ，G＝s30°＝ ， ∴M＝+B+G＝ +1+3 ＝ +3 ，M＝G﹣B＝ ﹣ ＝ ， ∴＝ ＝ ≈11， ∴Q+QD+QP 最小值为：11 2 ﹣＝9（m）． 9．已知△B 为等边三角形，边长为4，点D、E 分别是B、边上一点，连接D、BE，且E＝D． （1）如图1，若E＝2，求BE 的长度； （2）如图2，点F 为D 延长线上一点，连接BF、F，D、BE 相交于点G，连接G，已知∠EBF＝60°，E ＝G，求证：BF+GE＝2F； （3）如图3，点P 是△B 内部一动点，顺次连接P、PB、P，请直接写出 P+ PB+2 P 的最小值． （1）解：∵△B 是等边三角形， ∴B＝＝B＝4，∠B＝60°， ∵E＝2， ∴E＝E＝2， ∴BE⊥E， ∴∠EB＝90°， ∴BE＝ ＝ ＝2 ； （2）证明：如图1， 作D∥G 交BE 于，作DT∥交BE 于T， ∴∠TD＝∠EG，∠DT＝∠EG，∠BD＝∠GD， ∵E＝G， ∴∠EG＝∠EG， ∴∠TD＝∠DT， ∴D＝DT， ∵△B 是等边三角形， ∴B＝＝B，∠B＝∠B＝∠B＝60°， 在△BE 和△D 中， ， ∴△BE≌△D（SS）， ∴∠D＝∠BE，D＝BE， ∵∠D+∠BD＝∠B＝60°， ∴∠BE+∠BD＝60°， ∴∠BGF＝∠BE+∠BD＝60°， ∵∠EBF＝60°， ∴△GBF 是等边三角形， ∴BF＝BG，∠GBF＝60°， ∴∠B＝∠GBF， ∴∠B﹣∠EB＝∠GBF﹣∠EB， 即：∠BG＝∠BF， ∴△BG≌△BF（SS）， ∴G＝F， ∵∠BGF＝∠B＝60°，∠EGD+∠BGF＝180°， ∴在四边形EGD 中，∠EG+∠DG＝180°， ∵∠BD+∠DT＝180°，∠DT＝∠GE＝∠EG， ∴∠BD＝∠DG， 在△BD 和△GD 中， ， ∴△BD≌△GD（S）， ∴D＝D， ∴DT＝D＝D＝E， ∵DT∥， ∴∠EG＝∠TDG，∠EG＝∠DTG， ∴△EG≌△DTG（S）， ∴G＝DG， ∴D＝2G， ∴BE＝D＝2G＝2F， ∴BG+GE＝2F， ∴BF+GE＝2F； （3）如图2， 将△BP 绕点B 顺时针旋转60°至△BDE，延长BD 至F，使DF＝BD，延长BE 至G，使EG＝BE，连接 FG，连接G， ∴GF＝2DE＝2P，PF＝ ， ∴P+ ＝P+PF+FG， ∴当点、P、F、G 共线时，P+PF+FG 最小为G， 作G⊥B 交B 的延长线于， 在Rt△BG 中，BG＝2BE＝2B＝8，∠GB＝180°﹣∠B﹣∠BE＝60°， ∴B＝8•s60°＝4，G＝8•s60°＝4 ， ∴＝B+B＝8， ∴G＝ ＝ ＝4 ， ∴P+PF+FG 最小为：4 ， ∴（P+ ）最小＝4 ， ∵ P+ PB+2 P＝ （P+ PB+2P）， ∴（ P+ PB+2 P）最小＝4 ． 10．如图1，D、E、F 是等边三角形B 中不共线三点，连接D、BE、F，三条线段两两分别相交于D、E、 F．已知F＝BD，∠EDF＝60°． （1）证明：EF＝DF； （2）如图2，点M 是ED 上一点，连接M，以M 为边向右作△MG，连接EG．若EG＝E+EM，M＝ GM，∠GM＝∠GE，证明：G＝M． （3）如图3，在（2）的条件下，当点M 与点D 重合时，若D⊥D，GD＝4，请问在△D 内部是否存在点 P 使得P 到△D 三个顶点距离之和最小，若存在请直接写出距离之和的最小值；若不存在，试说明理由． （1）证明：如图1， ∵△B 是等边三角形， ∴＝B， ∠B＝60°， ∴∠F+∠DB＝60°， ∵∠EDF＝60°， ∴∠DB+∠BD＝60°， ∴∠F＝∠BD， ∵F＝BD， ∴△F≌△BD（SS）， ∴EF＝DF； （2）证明：如图2， 由（1）知， EF＝DF，∠EDF＝60°， ∴△DEF 是等边三角形， ∴∠DEF＝60°， 在EF 上截取E＝EM，连接M， ∴＝E+E＝E+EM＝EG， ∴△EM 是等边三角形， ∴∠M＝60°， ∵∠GM＝∠GE，∠α＝∠β， ∴∠M＝∠EGM， ∵M＝GM， ∴△M≌△EGM（SS）， ∴∠MEG＝∠M＝60°， ∴∠EG＝180°﹣∠MEG﹣∠FED＝60°， ∴∠GME＝∠GE＝60°， ∵M＝GM， ∴△MG 是等边三角形， ∴G＝M； （3）解：如图3， 由（1）（2）知， △DEF 和△DG 是等边三角形， ∴∠FD＝60°，D＝GD＝4， ∵D⊥D， ∴∠DF＝90°， ∴D＝F＝ ＝ ， 将△DP 绕点D 顺时针旋转60°至△DQG，连接G， ∴D＝DQ，P＝QG， ∴△PDQ 是等边三角形， ∴PD＝PQ， ∴P+PD+P＝P+PQ+QG， ∴当、P、Q、G 共线时，P+PD+P 最小＝G， 作G⊥D 于， 在Rt△DG 中， G＝ DG＝2， D＝ DG＝2 ， ∴＝D+D＝ +2 ＝ ， ∴G＝ ＝ ＝ ， ∴P+PD+P 的最小值是 ． 11．（1）知识储备 ①如图1，已知点P 为等边△B 外接圆的B 上任意一点．求证：PB+P＝P． ②定义：在