高中物理新教材同步必修第二册 第6章 4　生活中的圆周运动

4 生活中的圆周运动 [学习目标] 1.会分析火车转弯、汽车过拱桥等实际运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动 问题.2.了解航天器中的失重现象及原因.3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心 运动的应用及危害. 一、火车转弯 1.如果铁道弯道的内外轨一样高，火车转弯时，由外轨对轮缘的弹力提供向心力，由于质量 太大，因此需要很大的向心力，靠这种方法得到向心力，不仅铁轨和车轮极易受损，还可能 使火车侧翻. 2.铁路弯道的特点 (1)弯道处外轨略高于内轨. (2)火车转弯时铁轨对火车的支持力不是竖直向上的，而是斜向弯道的内侧 . 支持力与重力的 合力指向圆心. (3)在修筑铁路时，要根据弯道的半径和规定的行驶速度，适当选择内外轨的高度差，使转 弯时所需的向心力几乎完全由重力G 和弹力FN的合力来提供. 二、拱形桥 汽车过拱形桥 汽车过凹形桥 受力 分析 向心力 Fn＝mg － F N＝m Fn＝FN－ mg ＝m 对桥的 压力 FN′＝mg－m FN′＝mg＋m 结论 汽车对桥的压力小于汽车的重 力，而且汽车速度越大，对桥的 压力越小 汽车对桥的压力大于汽车的重 力，而且汽车速度越大，对桥的 压力越大 三、航天器中的失重现象 1.向心力分析：宇航员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，由牛顿第二 定律：mg － F N＝m，所以FN＝mg － m . 2.完全失重状态：当v＝时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态. 四、离心运动 1.定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动. 2.原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力. 3.离心运动的应用和防止 (1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水筒；离心制管技术；分离血浆和红细胞的离心机. (2)防止：转动的砂轮、飞轮的转速不能太高；在公路弯道，车辆不允许超过规定的速度. 1.判断下列说法的正误. (1)铁路的弯道处，内轨高于外轨.( × ) (2)汽车驶过拱形桥顶部时，对桥面的压力等于车重.( × ) (3)汽车行驶至凹形桥底部时，对桥面的压力大于车重.( √ ) (4)绕地球做匀速圆周运动的航天器中的宇航员处于完全失重状态，故不再受重力.( × ) (5)航天器中处于完全失重状态的物体所受合力为零.( × ) (6)做离心运动的物体可以沿半径方向向外运动.( × ) 2.如图1 所示，汽车在通过水平弯道时，轮胎与地面间的摩擦力已达到最大值，若汽车转弯 的速率增大到原来的倍，为使汽车转弯时仍不打滑，其转弯半径应变为原来的________倍. 图1 答案 2 解析 汽车所受的摩擦力提供向心力，则有Ff＝，Ff不变，v 增大为v，则弯道半径要变为 原来的2 倍. 一、火车转弯问题 1.弯道的特点 铁路弯道处，外轨高于内轨，若火车按规定的速度v0行驶，转弯所需的向心力完全由重力 和支持力的合力提供，即mgtan θ＝m，如图2 所示，则v0＝，其中R 为弯道半径，θ 为轨道 平面与水平面间的夹角. 图2 2.速度与轨道压力的关系 (1)当火车行驶速度v 等于规定速度v0时，所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时 内外轨道对火车无挤压作用. (2)当火车行驶速度v>v0时，外轨道对轮缘有侧压力. (3)当火车行驶速度v<v0时，内轨道对轮缘有侧压力. 铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的夹角为θ， 如图3 所示，弯道处的圆弧半径为R，若质量为m 的火车转弯时速度等于，则( ) 图3 A.内轨对内侧车轮轮缘有挤压 B.外轨对外侧车轮轮缘有挤压 C.这时铁轨对火车的支持力等于 D.这时铁轨对火车的支持力大于 答案 C 解析 由牛顿第二定律F 合＝m，解得F 合＝mgtan θ，此时火车仅受重力和铁路轨道的支持 力作用，如图所示，FNcos θ＝mg，则FN＝，内、外轨道对火车均无侧压力，故C 正确， A、B、D 错误. 针对训练 (多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带.如图4 所示，某公路急转弯处是一 圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势.则在该弯道处( ) 图4 A.路面外侧高、内侧低 B.车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动 C.车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动 D.当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小 答案 AC 解析 当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势，即不受静摩 擦力，此时仅由其重力和路面对其支持力的合力提供向心力，所以路面外侧高、内侧低，选 项A 正确；当车速低于v0时，需要的向心力小于重力和支持力的合力，汽车有向内侧运动 的趋势，受到的静摩擦力向外侧，并不一定会向内侧滑动，选项B 错误；当车速高于v0时， 需要的向心力大于重力和支持力的合力，汽车有向外侧运动的趋势，静摩擦力向内侧，速度 越大，静摩擦力越大，只有静摩擦力达到最大以后，车辆才会向外侧滑动，选项C 正确； 由mgtan θ＝m 可知，v0的值只与路面与水平面的夹角和弯道的半径有关，与路面的粗糙程 度无关，选项D 错误. 二、汽车过桥问题与航天器中的失重现象 1.拱形桥问题 (1)汽车过拱形桥(如图5) 图5 汽车在最高点满足关系：mg－FN＝m，即FN＝mg－m. ①当v＝时，FN＝0. ②当0≤v<时，0<FN≤mg. ③当v>时，汽车将脱离桥面做平抛运动，易发生危险. 说明：汽车通过拱形桥的最高点时，向心加速度向下，汽车对桥的压力小于其自身的重力， 而且车速越大，压力越小，此时汽车处于失重状态. (2)汽车过凹形桥(如图6) 图6 汽车在最低点满足关系：FN－mg＝，即FN＝mg＋. 说明：汽车通过凹形桥的最低点时，向心加速度向上，而且车速越大，压力越大，此时汽车 处于超重状态.由于汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱 形桥多于凹形桥. 2.绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站处于完全失重状态. (1)质量为M 的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M， 则v＝. (2)质量为m 的航天员：设航天员受到的座舱的支持力为FN，则mg－FN＝. 当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态. (3)航天器内的任何物体都处于完全失重状态. (2018·山西省实验中学高一下期中)如图7 所示，地球可以看成一个巨大的拱形桥， 桥面半径R＝6 400 km，地面上行驶的汽车中驾驶员的重力G＝800 N，在汽车不离开地面的 前提下，下列分析中正确的是( ) 图7 A.汽车的速度越大，则汽车对地面的压力也越大 B.不论汽车的行驶速度如何，驾驶员对座椅压力大小都等于800 N C.只要汽车行驶，驾驶员对座椅压力大小都小于他自身的重力 D.如果某时刻速度增大到使汽车对地面压力为零，则此时驾驶员会有超重的感觉 答案 C 解析 汽车以及驾驶员的重力和地面对汽车的支持力的合力提供汽车做圆周运动所需向心力， 则有mg－FN＝m，重力是一定的，v 越大，则FN越小，故A 错误；因为只要汽车行驶，驾 驶员的一部分重力则会用于提供驾驶员做圆周运动所需的向心力，结合牛顿第三定律可知驾 驶员对座椅压力大小小于其自身的重力，故B 错误，C 正确；如果速度增大到使汽车对地面 的压力为零，说明汽车和驾驶员的重力全部用于提供做圆周运动所需的向心力，处于完全失 重状态，此时驾驶员会有失重的感觉，故D 错误. 如图8 所示，质量m＝2.0×104 kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥 面，两桥面的圆弧半径均为60 m，如果桥面能承受的压力不超过3.0×105 N，则：(g 取10 m/s2) 图8 (1)汽车允许的最大速率是多少？ (2)若以所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 答案 (1)10 m/s (2)1.0×105 N 解析 (1)汽车在凹形桥的底部时，合力向上，汽车受到的支持力最大，由牛顿第三定律可 知，桥面对汽车的支持力FN1＝3.0×105 N，根据牛顿第二定律FN1－mg＝m，解得v＝＝10 m/s 由于v<＝10 m/s，故在凸形桥最高点上汽车不会脱离桥面，所以汽车允许的最大速率为10 m/s. (2)汽车在凸形桥顶部时，合力向下，汽车受到的支持力最小，由牛顿第二定律得 mg－FN2＝m，即FN2＝m(g－)＝1.0×105 N 由牛顿第三定律得，在凸形桥顶部汽车对桥面的压力为1.0×105 N，此即最小压力. 三、离心运动 1.物体做离心运动的原因 提供向心力的合力突然消失，或者合力不能提供足够的向心力. 注意：物体做离心运动并不是物体受到“离心力”作用，而是由于合外力不能提供足够的向 心力.所谓“离心力”实际上并不存在. 2.合力与向心力的关系(如图9 所示). 图9 (1)若F 合＝mrω2或F 合＝，物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”. (2)若F 合>mrω2或F 合>，物体做近心运动，即“提供过度”. (3)若0<F 合<mrω2或0<F 合<，则合力不足以将物体“拉回”到原轨道上，而做离心运动，即 “提供不足”. (4)若F 合＝0，则物体沿切线方向做直线运动. 关于离心运动，下列说法中正确的是( ) A.物体一直不受外力作用时，可能做离心运动 B.在外界提供的向心力突然变大时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动 C.只要向心力的数值发生变化，原来做匀速圆周运动的物体就将做离心运动 D.当外界提供的向心力突然消失或数值变小时，原来做匀速圆周运动的物体将做离心运动 答案 D 解析 离心运动是指原来在做匀速圆周运动的物体后来远离圆心，所以选项A 错误；离心 运动发生的条件是：实际的合力小于做圆周运动所需要的向心力，所以选项B、C 错误，D 正确. 1.(火车转弯问题)(多选)全国铁路大面积提速，给人们的生活带来便利.火车转弯可以看成是 在水平面内做匀速圆周运动，火车速度提高会使外轨受损.为解决火车高速转弯时外轨受损 这一难题，以下措施可行的是( ) A.适当减小内外轨的高度差 B.适当增加内外轨的高度差 C.适当减小弯道半径 D.适当增大弯道半径 答案 BD 解析 设铁路弯道处轨道平面的倾角为α 时，轮缘与内外轨间均无挤压作用，根据牛顿第二 定律有mgtan α＝m，解得v＝，所以为解决火车高速转弯时外轨受损这一难题，可行的措施 是适当增大倾角α(即适当增加内外轨的高度差)和适当增大弯道半径r. 2.(航天器中的失重现象)(多选)航天飞机在围绕地球做匀速圆周运动过程中，关于航天员， 下列说法中正确的是( ) A.航天员受到的重力消失了 B.航天员仍受重力作用，重力提供其做匀速圆周运动的向心力 C.航天员处于超重状态 D.航天员对座椅的压力为零 答案 BD 解析 航天飞机在绕地球做匀速圆周运动时，依然受地球的吸引力，而且正是这个吸引力提 供航天飞机绕地球做圆周运动的向心力，航天员的加速度与航天飞机的相同，是其重力提供 向心力，选项A 错误，B 正确；此时航天员不受座椅弹力，即航天员对座椅的压力为零，处 于完全失重状态，选项D 正确，C 错误. 3.(离心现象)在冬奥会短道速滑项目中，运动员绕周长仅111 米的短道竞赛.比赛过程中运动 员在通过弯道时如果不能很好地控制速度，将发生侧滑而摔离正常比赛路线.如图10 所示， 圆弧虚线Ob 代表弯道，即正常运动路线，Oa 为运动员在O 点时的速度方向(研究时可将运 动员看做质点).下列论述正确的是( ) 图10 A.发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心 B.发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需要的向心力 C.若在O 点发生侧滑，则滑动的方向在Oa 左侧 D.若在O 点发生侧滑，则滑动的方向在Oa 右侧与Ob 之间 答案 D 解析 发生侧滑是因为运动员的速度过大，所需要的向心力过大，而运动员受到的合力小于 所需要的向心力，受到的合力方向指向圆弧内侧，故选项A、B 错误；运动员在水平方向不 受任何外力时沿Oa 方向做离心运动，实际上运动员受到的合力方向指向圆弧Ob 内侧，所 以运动员滑动的方向在Oa 右侧与Ob 之间，故选项C 错误，D 正确. 4.(汽车转弯与过桥问题)(2019·山西现代双语学校期中)在高级沥青铺设的高速公路上，汽车 的设计时速是108 km/h，汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于 车重的(g 取10 m/s2). (1)如果汽车在这种高速公路的弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径 是多少？ (2)如果高速公路上设计了圆弧拱形立交桥，要使汽车能够以设计时速安全通过圆弧拱桥， 这个圆弧拱形立交桥的半径至少是多少？ 答案 (1)150 m (2)90 m 解析 设汽车的质量为m. (1)汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力由车与路面间的静摩擦 力提供，当静摩擦力达到最大值时，由向心力公式可知这时的半径最小，有Fmax＝mg＝m 由速度v＝108 km/h＝30 m/s 得 弯道半径rmin＝150 m (2)汽车过圆弧拱桥，可看做在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，根据向心力公 式有mg－FN＝m 为了保证安全通过，车与路面间的弹力FN 必须大于等于零，即有mg≥m，代入v＝108 km/h＝30 m/s，得R≥90 m，故半径至少是90 m. 考点一 交通工具的转弯问题 1.如图1 所示，质量相等的汽车甲和汽车乙，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动， 汽车甲在汽车乙的外侧.两车沿半径方向受到的摩擦力分别为Ff 甲和Ff 乙.以下说法正确的是( ) 图1 A.Ff 甲小于Ff 乙 B.Ff 甲等于Ff 乙 C.Ff 甲大于Ff 乙 D.Ff 甲和Ff 乙的大小均与汽车速率无关 答案 A 解析 汽车在水平面内做匀速圆周运动，摩擦力提供做匀速圆周运动的向心力，即Ff＝F 向 ＝m，由于m 甲＝m 乙，v 甲＝v 乙，r 甲＞r 乙，则Ff 甲＜Ff 乙，A 正确. 2.(多选)如图2 所示，铁路转弯处外轨略高于内轨，若在某转弯处规定行驶的速度为v，则 下列说法正确的是( ) 图2 A.若火车行驶到转弯处的速度大于规定速度v，火车将对外轨有侧向的挤压作用 B.若火车行驶到转弯处的速度小于规定速度v，火车将对外轨有侧向的挤压作用 C.若火车要提速行驶，而弯道坡度不变，要减小弯道半径 D.若火车要提速行驶，而弯道半径不变，弯道的坡度应适当增大 答案 AD 解析 火车在转弯处做匀速圆周运动，按规定速度行驶时，其向心力完全由其重力和轨道对 其弹力的合力提供；若火车行驶到转弯处的速度大于规定速度v，则运行过程中需要的向心 力增大，火车将对外轨有侧向的挤压作用；若火车行驶到转弯处的速度小于规定速度v，则 运行过程中需要的向心力减小，而火车重力和支持力的合力将大于需要的向心力，火车将对 内轨有侧向的挤压作用，故A 正确，B 错误.由mgtan θ＝m 得：v＝，若火车要提速行驶， 应适当增大弯道的坡度θ，或增大弯道半径r，C 错误，D 正确. 3.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低.如图3 所示，在某路段汽车向左拐弯，司机 左侧的路面比右侧的路面低一些.汽车的运动可看做是半径为R 的圆周运动.设内、外路面高 度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间 的横向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车速应等于( ) 图3 A. B. C. D. 答案 B 解析 设路面的倾角为θ，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，又由数学知识可知tan θ＝，联 立解得v＝，选项B 正确. 4.摆式列车是集电脑、自动控制等高新技术于一体的新型高速列车，如图4 所示.当列车转弯 时，在电脑控制下，车厢会自动倾斜；行驶在直轨上时，车厢又恢复原状，就像玩具“不倒 翁”一样.假设有一摆式列车在水平面内行驶，以360 km/h 的速度转弯，转弯半径为1 km，则质量为50 kg 的乘客，在转弯过程中所受到的火车对他的作用力大小为(g 取10 m/s2)( ) 图4 A.500 N B.1 000 N C.500 N D.0 答案 C 解析 360 km/h＝100 m/s，乘客所需的向心力Fn＝m＝500 N，而乘客的重力为500 N，故 火车对乘客的作用力大小FN＝＝500 N，C 正确. 考点二 汽车过桥问题和航天器中的失重现象 5.(2019·长丰二中高一下学期期末)如图5 所示，当汽车通过拱桥顶点的速度为6 m/s 时，车 对桥顶的压力为车重的，如果要使汽车在桥面行驶至桥顶时，对桥面的压力为零，则汽车通 过桥顶的速度大小应为( ) 图5 A.3 m/s B.10 m/s C.12 m/s D.24 m/s 答案 C 解析 根据牛顿第二定律得：mg－FN＝m，即mg＝m，当汽车对桥面的压力为零时，桥面 对汽车的支持力为零，有：mg＝m，解得：v′＝2v＝12 m/s，故C 正确. 6.(2019·天津六校高一下期中)如图6 所示，汽车车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一 个质量为m 的小球.当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L1，当汽车以 大小相同的速度匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L2，下列选 项中正确的是( ) 图6 A.L1＝L2 B.L1>L2 C.L1<L2 D.前三种情况均有可能 答案 B 7.下列四幅图中的行为可以在绕地球做匀速圆周运动的“天宫二号”舱内完成的有( ) A.用台秤称量重物的质量 B.用水杯喝水 C.用沉淀法将水与沙子分离 D.给小球一个很小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动 答案 D 解析 重物处于完全失重状态，对台秤的压力为零，无法通过台秤测量重物的质量，故A 错误；水杯中的水处于完全失重状态，不会因重力而流入嘴中，故B 错误；沙子处于完全 失重状态，不能通过沉淀法与水分离，故C 错误；小球处于完全失重状态，给小球一个很 小的初速度，小球能在拉力作用下在竖直面内做圆周运动，故D 正确. 考点三 离心现象 8.(多选)如图7 所示，在匀速转动的洗衣机脱水筒内壁上，有一件湿衣服随圆筒一起转动而 未滑动，则( ) 图7 A.衣服随脱水筒做圆周运动的向心力由衣服的重力提供 B.水会从脱水筒甩出是因为水滴受到的向心力很大 C.加快脱水筒转动角速度，衣服对筒壁的压力增大 D.加快脱水筒转动角速度，脱水效果会更好 答案 CD 解析 衣服受到竖直向下的重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，重力和静摩擦 力是一对平衡力，大小相等，故向心力是由支持力提供的，A 错误；脱水筒转动角速度增大 以后，支持力增大，故衣服对筒壁的压力也增大，C 正确；对于水而言，衣服对