高中物理新教材同步必修第二册 第6章 1　圆周运动

1 圆周运动 [学习目标] 1.掌握线速度的定义式，理解圆周运动线速度大小、方向的特点，知道什么是匀速圆周运动. 2.掌握角速度的定义式和单位.3.知道周期、转速的概念.4.理解掌握公式v＝ωr 和ω＝2πn. 一、线速度 1.定义：物体做圆周运动，在一段很短的时间Δt 内，通过的弧长为Δs.则Δs 与Δt 的比值叫 作线速度，公式：v ＝ . 2.意义：描述做圆周运动的物体运动的快慢. 3.方向：为物体做圆周运动时该点的切线方向. 4.匀速圆周运动 (1)定义：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动. (2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以是一种变速运动，这里的“匀速”是指速率不 变. 二、角速度 1.定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与转过这一角度所用时间的比值，公式：ω ＝ . 2.意义：描述物体绕圆心转动的快慢. 3.单位：弧度每秒，符号是rad/s 或rad·s － 1 . 4.匀速圆周运动是角速度不变的运动. 三、周期 1.周期T：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，单位：秒 (s) . 2.转速n：物体转动的圈数与所用时间之比.单位：转每秒 (r /s) 或转每分 (r/ min) . 3.周期和转速的关系：T＝(n 的单位为r/s 时). 四、线速度与角速度的关系 1.在圆周运动中，线速度的大小等于角速度大小与半径的乘积. 2.公式：v＝ωr. 1.判断下列说法的正误. (1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同.( × ) (2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力为零.( × ) (3)做匀速圆周运动的物体，其线速度大小不变.( √ ) (4)做匀速圆周运动的物体，其角速度不变.( √ ) (5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小.( √ ) 2.如图1 所示，A、B 是跷跷板上的两点，B 点离转轴的距离是A 点离转轴距离的4 倍，设 A、B 线速度大小分别为vA 和vB，角速度大小分别为ωA 和ωB，则vA∶vB＝________， ωA∶ωB＝________. 图1 答案 1∶4 1∶1 一、线速度和匀速圆周运动 导学探究 如图2 所示，A、B 为自行车车轮辐条上的两点，当它们随轮一起转动时： 图2 (1)A、B 两点的速度方向各沿什么方向？ (2)如果B 点在任意相等的时间内转过的弧长相等，B 做匀速运动吗？ (3)A、B 两点哪个运动得快？ 答案 (1)A、B 两点的速度方向均沿各自圆周在该点的切线方向. (2)B 运动的方向时刻变化，故B 做非匀速运动. (3)B 运动得快. 知识深化 1.对线速度的理解 (1)线速度是物体做圆周运动的瞬时速度，线速度越大，物体运动得越快. (2)线速度是矢量，它既有大小，又有方向，线速度的方向在圆周各点的切线方向上. (3)线速度的定义式：v＝，Δs 代表在时间Δt 内通过的弧长. 2.对匀速圆周运动的理解 (1)由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周上各点的切线方向，所以速度的方 向时刻在变化. (2)匀速的含义：速度的大小不变，即速率不变. (3)运动性质：匀速圆周运动是一种变速运动，其所受合外力不为零. (多选)某质点绕圆轨道做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A.因为它的速度大小始终不变，所以它做的是匀速运动 B.该质点速度大小不变，但方向时刻改变，是变速运动 C.该质点速度大小不变，处于平衡状态 D.该质点做的是变速运动，所受合外力不等于零 答案 BD 二、角速度、周期和转速 导学探究 如图3 所示，钟表上的秒针、分针、时针以不同的角速度做圆周运动. 图3 (1)秒针、分针、时针哪个转得快？ (2)秒针、分针和时针的周期分别是多大？ 答案 (1)秒针.根据角速度公式ω＝知，在相同的时间内，秒针转过的角度最大，时针转过 的角度最小，所以秒针转得最快. (2)秒针周期为60 s，分针周期为60 min，时针周期为12 h. 知识深化 1.对角速度的理解 (1)角速度描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢，角速度越大，物体转动得越快. (2)角速度的定义式：ω＝，Δθ 代表在时间Δt 内物体与圆心的连线转过的角度. (3)在匀速圆周运动中，角速度不变. 2.对周期和频率(转速)的理解 (1)匀速圆周运动具有周期性，每经过一个周期，线速度大小和方向与初始时刻完全相同. (2)当单位时间取1 s 时，f＝n.频率和转速对匀速圆周运动来说在数值上是相等的，但频率具 有更广泛的意义，两者的单位也不相同. 3.周期、频率和转速间的关系：T＝＝. (多选)一精准转动的机械钟表，下列说法正确的是( ) A.秒针转动的周期最长 B.时针转动的转速最小 C.秒针转动的角速度最大 D.秒针的角速度为 rad/s 答案 BCD 解析 秒针转动的周期最短，角速度最大，A 错误，C 正确；时针转动的周期最长，转速最 小，B 正确；秒针的角速度为ω ＝ rad/s＝ rad/s，D 正确. 三、描述匀速圆周运动各物理量之间的关系 1.描述匀速圆周运动各物理量之间的关系 (1)v＝＝＝2πnr (2)ω＝＝＝2πn (3)v＝ωr 2.各物理量之间关系的理解 (1)角速度、周期、转速之间关系的理解：物体做匀速圆周运动时，由ω＝＝2πn 知，角速度、 周期、转速三个物理量，只要其中一个物理量确定了，其余两个物理量也确定了. (2)线速度与角速度之间关系的理解：由线速度大小v＝ω·r 知，r 一定时，v∝ω；v 一定时， ω∝；ω 一定时，v∝r. 做匀速圆周运动的物体，10 s 内沿半径为20 m 的圆周运动了100 m，试求物体做匀 速圆周运动时： (1)线速度的大小； (2)角速度； (3)周期. 答案 (1)10 m/s (2)0.5 rad/s (3)4π s 解析 (1)根据线速度的定义式v＝可得 v＝ m/s＝10 m/s； (2)根据v＝ωr 可得，ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s； (3)T＝＝ s＝4π s. 针对训练1 (多选)火车以60 m/s 的速率转过一段弯道，某乘客发现放在桌面上的指南针在 10 s 内匀速转过了约10°.在此10 s 时间内，火车( ) A.运动路程为600 m B.加速度为零 C.角速度约为1 rad/s D.转弯半径约为3.4 km 答案 AD 解析 由s＝vt 知，s＝600 m，A 正确； 在弯道做曲线运动，火车加速度不为零，B 错误； 由10 s 内转过10°知，角速度ω＝＝rad/s＝ rad/s≈0.017 rad/s，C 错误. 由v＝rω 知，r＝＝ m≈3.4 km，D 正确. 四、同轴转动和皮带传动问题 同轴转动 皮带传动 齿轮传动 装 置 A、B 两点在同轴的 一个圆盘上 两个轮子用皮带连 接(皮带不打滑)， A、B 两点分别是两 个轮子边缘上的点 两个齿轮啮合，A、B 两 点分别是两个齿轮边缘 上的点 特 点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等 规 律 线速度大小与半径 成正比：＝ 角速度与半径成反 比：＝ 角速度与半径成反比： ＝ (多选)如图4 所示的传动装置中，B、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B 两轮用 皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，则A、B、C 三轮边缘上a、b、 c 三点的( ) 图4 A.角速度之比为2∶1∶2 B.线速度大小之比为1∶1∶2 C.周期之比为1∶2∶2 D.转速之比为1∶2∶2 答案 BD 解析 A、B 两轮通过皮带传动，皮带不打滑，则A、B 两轮边缘的线速度大小相等；B、C 两轮固定在一起绕同一轴转动，则B、C 两轮的角速度相等. a、b 比较：va＝vb 由v＝ωr 得：ωa∶ωb＝rB∶rA＝1∶2 b、c 比较：ωb＝ωc 由v＝ωr 得：vb∶vc＝rB∶rC＝1∶2 所以ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2 va∶vb∶vc＝1∶1∶2，A 错误，B 正确； 由ω＝2πn 知，na∶nb∶nc＝1∶2∶2，D 正确； T＝，故T a∶Tb∶T c＝2∶1∶1，C 错误. 针对训练2 如图5 所示是一辆自行车，A、B、C 三点分别为自行车轮胎和前后两齿轮外沿 上的点，其中RA＝2RB＝5RC，下列说法中正确的是( ) 图5 A.ωB＝ωC B.vC＝vA C.2ωA＝5ωB D.vA＝2vB 答案 C 解析 B 轮和C 轮是链条传动，vB＝vC，根据v＝ωR，得5ωB＝2ωC，故A 错误；由于A 轮 和C 轮同轴，故两轮角速度相同，根据v＝ωR，得vA＝5vC，故B 错误；因vA＝5vC，vA＝ ωARA，vC＝vB＝ωBRB，故vA＝5vB,2ωA＝5ωB，故C 正确，D 错误. 1.(对匀速圆周运动的认识)(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法中正确的是( ) A.相等的时间内通过的路程相等 B.相等的时间内通过的弧长相等 C.相等的时间内通过的位移相同 D.在任何相等的时间内，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等 答案 ABD 解析 匀速圆周运动是指速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧 长相等，转过的角度也相等，故A、B、D 正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不 一定相同，故C 错误. 2.(描述圆周运动各物理量的关系)(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转 动周期为2 s，下列说法中正确的是( ) A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s C.运动轨迹的半径为 m D.频率为0.5 Hz 答案 BCD 解析 由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s≈3.14 rad/s；由v＝ωr 得r＝＝ m；由T＝得转速n＝＝ r/s＝0.5 r/s；又由频率与周期的关系得f ＝＝0.5 Hz.故A 错误，B、C、D 正确. 3.(传动问题)某新型自行车，采用如图6 甲所示的无链传动系统，利用圆锥齿轮90°轴交，将 动力传至后轴，驱动后轮转动，杜绝了传统自行车“掉链子”问题.如图乙所示是圆锥齿轮 90°轴交示意图，其中A 是圆锥齿轮转轴上的点，B、C 分别是两个圆锥齿轮边缘上的点，两 个圆锥齿轮中心轴到A、B、C 三点的距离分别记为rA、rB和rC(rA≠rB≠rC).下列有关物理量大 小关系正确的是( ) 图6 A.B 点与C 点的角速度：ωB＝ωC B.C 点与A 点的线速度：vC＝vA C.B 点与A 点的线速度：vB＝vA D.B 点和C 点的线速度：vB>vC 答案 B 解析 B 点与C 点的线速度相等，由于rB≠rC，所以ωB≠ωC，故A、D 错误；B 点的角速度 与A 点的角速度相等，所以＝，即vB＝vA，故C 错误；B 点与C 点的线速度相等，所以vC ＝vB＝vA，故B 正确. 4.(圆周运动的周期性)如图7 所示，半径为R 的圆盘绕垂直于盘面的中心轴匀速转动，其正 上方h 处沿OB 方向水平抛出一小球，不计空气阻力，重力加速度为g，要使球与盘只碰一 次，且落点为B，求小球的初速度v 及圆盘转动的角速度ω 的大小. 图7 答案 R 2nπ(n＝1,2,3…) 解析 设球在空中运动时间为t，此圆盘转过θ 角，则 R＝vt，h＝gt2 故初速度大小v＝R θ＝n·2π(n＝1,2,3…) 又因为θ＝ωt 则圆盘角速度ω＝＝2nπ(n＝1,2,3…). 考点一 描述圆周运动的物理量及它们之间的关系 1.(多选)质点做匀速圆周运动时，下列说法中正确的是( ) A.因为v＝ωr，所以线速度大小v 与轨道半径r 成正比 B.因为ω＝，所以角速度ω 与轨道半径r 成反比 C.因为ω＝2πn，所以角速度ω 与转速n 成正比 D.因为ω＝，所以角速度ω 与周期T 成反比 答案 CD 解析 当ω 一定时，线速度大小v 才与轨道半径r 成正比，所以A 错误；当v 一定时，角速 度ω 才与轨道半径r 成反比，所以B 错误；在用转速或周期表示角速度时，角速度与转速成 正比，与周期成反比，故C、D 正确. 2.(2019·哈师大附中期中)汽车在公路上行驶时一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距 离等于车轮的周长.某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号的轿车在高速公路上匀速行 驶时，驾驶员面前速度计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车轮的转速近似为(π 取 3.14)( ) A.1 000 r/s B.1 000 r/min C.1 000 r/h D.2 000 r/s 答案 B 解析 根据公式v＝ωr 和ω＝2πn 可得n＝≈17.7 r/s＝1 062 r/min，故B 正确，A、C、D 错误. 3.(多选)A、B 两个质点，分别做匀速圆周运动，在相等时间内它们通过的弧长之比sA∶sB＝ 2∶3，转过的圆心角之比θA∶θB＝3∶2.则下列说法正确的是( ) A.它们的线速度大小之比vA∶vB＝2∶3 B.它们的角速度之比ωA∶ωB＝2∶3 C.它们的周期之比TA∶TB＝2∶3 D.它们的周期之比TA∶TB＝3∶2 答案 AC 解析 由v＝知＝，选项A 对；由ω＝知＝，选项B 错；由ω＝知＝＝，选项C 对，D 错. 4.一汽车发动机的曲轴每分钟转2 400 周，求： (1)曲轴转动的周期与角速度； (2)距转轴r＝0.2 m 的点的线速度的大小. 答案 (1) s 80π rad/s (2)16π m/s 解析 (1)由于曲轴每秒钟转＝40(周)即n＝40 r/s，则周期T＝＝ s；而每转一周为2π rad，因 此曲轴转动的角速度ω＝2πn＝2π×40 rad/s＝80π rad/s. (2)已知r＝0.2 m，因此这一点的线速度大小为v＝ωr＝80π×0.2 m/s＝16π m/s. 考点二 传动问题 5.(2018·辽宁省实验中学期中)如图1 所示，小强同学正在荡秋千，关于绳上a 点和b 点的线 速度和角速度，下列关系正确的是( ) 图1 A.va＝vb B.va>vb C.ωa＝ωb D.ωa<ωb 答案 C 解析 绳子绕O 点转动，则a、b 两点角速度相等，即ωa＝ωb，D 错，C 对；因ra<rb，故va ＜vb，A、B 错. 6.(2018·山东省实验中学期中)如图2 所示是一个玩具陀螺.a、b 和c 是陀螺上的三个点.当陀 螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω 稳定旋转时，下列表述正确的是( ) 图2 A.a、b 和c 三点的线速度大小相等 B.a、b 和c 三点的角速度相等 C.a、b 的角速度比c 的大 D.c 的线速度比a、b 的大 答案 B 解析 同一物体上的三点绕同一竖直轴转动，因此角速度相同，c 的半径最小，故它的线速 度最小，a、b 的半径相同，二者的线速度大小相等，故选B. 7.(多选)如图3 所示为一种齿轮传动装置，忽略齿轮啮合部分的厚度，甲、乙两个轮子的半 径之比为1∶3，则在传动的过程中( ) 图3 A.甲、乙两轮的角速度大小之比为3∶1 B.甲、乙两轮的周期之比为3∶1 C.甲、乙两轮边缘处的线速度之比为3∶1 D.甲、乙两轮边缘上的点相等时间内转过的弧长之比为1∶1 答案 AD 解析 这种齿轮传动，与不打滑的皮带传动规律相同，即两轮边缘的线速度相等，故C 错 误；根据线速度的定义v＝可知，弧长Δs＝vΔt，故D 正确；根据v＝ωr 可知ω＝，又甲、 乙两个轮子的半径之比r1∶r2＝1∶3，故甲、乙两轮的角速度之比ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1，故 A 正确；周期T＝，所以甲、乙两轮的周期之比T1∶T2＝ω2∶ω1＝1∶3，故B 错误. 8.(2019·定州中学高一第二学期期末)变速自行车靠变换齿轮组合来改变行驶速度.图4 是某一 变速车齿轮传动结构示意图，图中A 轮有48 齿，B 轮有42 齿，C 轮有18 齿，D 轮有12 齿， 则下列选项正确的是( ) 图4 A.当B 轮与C 轮组合时，两轮边缘上的点的线速度之比vB∶vC＝7∶3 B.当B 轮与C 轮组合时，两轮的周期之比TB∶TC＝3∶7 C.当A 轮与D 轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝1∶4 D.当A 轮与D 轮组合时，两轮的角速度之比ωA∶ωD＝4∶1 答案 C 解析 四个轮的半径比为rA∶rB∶rC∶rD＝48∶42∶18∶12＝8∶7∶3∶2； B 与C 组合时vB＝vC，由ω＝可得ωB∶ωC＝rC∶rB＝3∶7；TB∶TC＝ωC∶ωB＝7∶3，故A、B 均错误.A 与D 组合时，vA＝vD，ωA∶ωD＝rD∶rA＝2∶8＝1∶4，故C 正确，D 错误. 9.两个小球固定在一根长为L 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动，如图5 所示.当小球1 的速度大小为v1时，小球2 的速度大小为v2，则O 点到小球2 的距离是( ) 图5 A. B. C. D. 答案 B 解析 两球在同一杆上，旋转的角速度相等，均为ω，设两球的转动半径分别为r1、r2，则 r1＋r2＝L.又知v1＝ωr1，v2＝ωr2，联立得r2＝，B 正确. 10.如图6 所示为皮带传动装置，皮带轮的圆心分别为O、O′，A、C 为皮带轮边缘上的点， B 为AO 连线上的一点，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带与皮带轮之间不打滑， 求A、B、C 三点的角速度之比、线速度大小之比. 图6 答案 2∶2∶3 2∶1∶2 解析 由题意可知，A、B 两点在同一皮带轮上，因此ωA＝ωB，又皮带不打滑，所以vA＝ vC，故可得ωC＝＝＝ωA，所以ωA∶ωB∶ωC＝ωA∶ωA∶ωA＝2∶2∶3；又vB＝RB·ωB＝RA·ωA ＝，所以vA∶vB∶vC＝vA∶vA∶vA＝2∶1∶2. 11.(多选)如图7 所示，B 和C 是一组塔轮，即B 和C 半径不同，但固定在同一转动轴上，其 半径之比为RB∶RC＝3∶2，A 轮的半径大小与C 轮相同，它与B 轮紧靠在一起，当A 轮绕过 其中心的竖直轴转动时，由于摩擦作用，B 轮也随之无滑动地转动起来.a、b、c 分别为三轮 边缘的三个点，则a、b、c 三点在运动过程中的( ) 图7 A.线速度大小之比为3∶3∶2 B.角速度之比为3∶3∶2 C.转速之比为2∶3∶2 D.周期之比为2∶3∶3 答案 AD 解析 A 轮、B 轮靠摩擦传动，边缘点线速度相等，故va∶vb＝1∶1，根据公式v＝rω，有 ωa∶ωb＝3∶2，根据ω＝2πn，有na∶nb＝3∶2，根据T＝，有T a∶Tb＝2∶3；B 轮、C 轮是同 轴转动，角速度相等，故ωb∶ωc＝1∶1，根据v＝rω，有vb∶vc＝3∶2，根据ω＝2πn，有 nb∶nc＝1∶1，根据T＝，有Tb∶T c＝1∶1，联立可得va∶vb∶vc＝3∶3∶2，ωa∶ωb∶ωc＝ 3∶