第07讲 一元二次方程（练习）（原卷版）

第07 讲 一元二次方程 目 录 题型01 识别一元二次方程 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 题型03 一元二次方程的一般形式 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 题型07 选用合适的方法解一元二次方程 题型08 错看或错解一元二次方程问题 题型09 配方法的应用 题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况 题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况 题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 题型13 应用根的判别式证明方程根的情况 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 题型18 与根与系数有关的新定义问题 题型19 构造一元二次方程求代数式的值 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 题型21 分裂（传播）问题 题型22 碰面（循环）问题 题型23 增长率问题 题型24 营销问题 题型25 与图形有有关的问题 题型01 识别一元二次方程 1．（2023 泸县一诊）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） ．2 x 2=5 x−1 B．x+ 1 x =2 ．(x−3) (x+1)=x 2−5 D．3 x−y=5 2．（202 无为市一模）下列方程是一元二次方程的是（ ） ．x 2−2 x+ 1 x =0 B．y=2 x 2−3 x−1 ．x 2−1=0 D．y 2−x+3=0 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 1．（2022 上·湖南长沙·九年级统考期末）若关于x 的方程(m−3) x 2+x−m=0是一元二次方程，则m 的取 值范围是（ ） ．m≠3 B．m=3 ．m≥3 D．m≠0 2．（2023·山东青岛·统考二模）关于x 的方程x ¿a∨−1−3 x+2=0是一元二次方程，则的值为 ． 3．（2022 西咸新区五模）若方程(m−1)x 2+❑ √m x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 ． 题型03 一元二次方程的一般形式 1．（2023 株洲市三模）一元二次方程2 x 2+1=3 x的二次项系数是2，则一次项系数是（ ） ．3 B．−3 ．1 D．−1 2．（2022 上·福建泉州·九年级晋江市第一中学校联考阶段练习）一元二次方程2 y 2−7=3 y的二次项系数、 一次项系数、常数项分别是（ ） ．2，﹣3，﹣7 B．2，﹣7，﹣3 ．2，﹣7，3 D．﹣2，﹣3，7 3．（2022 上·广西柳州·九年级统考期中）一元二次方程x 2−(3 x−2)=8的一般形式是 ． 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 1．（2022·广东广州·统考一模）若关于x 的一元二次方程（ - 1）x2 - x + 2 = 1 的一个根为0．则 = ． 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 1．（2022·浙江金华·统考一模）已知a是方程2 x 2−3 x−5=0的一个解，则−4 a 2+6a的值为（ ） ．10 B．－10 ．2 D．－40 2．（2022 上·福建泉州·九年级期末）已知实数是一元二次方程x2+x 8 ﹣＝0 的根，则4+3+8 1 ﹣的值为（ ） ．62 B．63 ．64 D．65 3．（2020·江苏泰州·统考一模）已知，m，是一元二次方程x 2+x−2021=0的两个实数根，则代数式 m 2+2m+n的值等于 ． 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 1．（2021·山东济南·统考中考真题）关于x的一元二次方程x 2+x−a=0的一个根是2，则另一个根是 ． 2．（2020 高州市一模）已知x=1是方程x 2+bx−2=0的一个根，则方程的另一个根是 ． 3．（2022·北京顺义·统考一模）已知关于x 的一元二次方程m x 2−(2m−1)x+m−2=0有两个不相等的 实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程有一个根是0，求方程的另一个根． 4．（2022·北京海淀·校考一模）关于x 的一元二次方程x 2−2 x+3m−2=0有实数根． (1)求m 的取值范围； (2)若方程有一根为4，求方程的另一根． 题型07 选用合适的方法解一元二次方程 1．（2023·河南周口·统考一模）计算：解方程：5 x(2 x−1)−2(2 x−1)=0． 57．（2023·山东淄博·统考二模）请分别用公式法和配方法两种方法解方程：x 2+2 x−1=0． 2．（2023·江西吉安·校考模拟预测）解方程： (1)(2 x+1) 2=( x−3) 2； (2)3 x 2−9 x+4=0． 3．（2023·青海·统考一模）提出问题 为解方程 (x 2−2) 2−11(x 2−2)+18=0，我们可以将x 2−2视为一个整体，然后可设x 2−2= y，则 (x 2−2) 2= y 2，于是原方程可转化为y 2−11 y+18=0，解此方程，得y1=2，y2=9． 当y1=2时，x 2−2=2，x 2=4，∴x=±2； 当y2=9时，x 2−2=9，x 2=11，∴x=± ❑ √11． ∴原方程的解为x1=2，x2=−2，x3=−❑ √11，x4=❑ √11． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程x 4−3 x 2−4=0． 延伸拓展 （2）已知实数m，满足(m+3n) (m+3n−2)=2m+6n−4，求4 m+12n−3的值． 题型08 错看或错解一元二次方程问题 1．（2023·河南信阳·校考三模）小明在解方程x 2−3 x+2=0时，发现用配方法和公式法计算量都比较大， 因此他又想到了另外一种方法，快速解出了答： 方法如下： x 2−3 x+2=0 x 2−2 x−x+2=0 第①步 x 2−2 x=x−2 第②步 x (x−2)=x−2 第③步 x=1 第④步 老师看到后，夸小明很聪明，方法很好，但是有一步做错了，请问小明出错的步骤为 （填序号）． 2．（2023·浙江杭州·统考二模）以下是圆圆解方程的具体过程： (x−3) 2=2 (x−3)的具体过程，方程两边 同除以(x−3)，得x−3=2，移项，得x=5，试问圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确 的解答过程 3．（2023·福建泉州·统考一模）小明在解方程x 2−5 x=−3的过程中出现了错误，其解答如下： 解：∵a=1，b=−5，c=−3，．．．．．．．．．．．．．．．．．第一步 ∴b 2−4 ac=(−5) 2−4×1×(−3)=37 ，．．．．．．．．．．．．．第二步 ∴x=5± ❑ √37 2 ，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第三步 ∴x1=5+❑ √37 2 , x2=5−❑ √37 2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．第四步 (1)问：小明的解答是从第________步开始出错的； (2)请写出本题正确的解答． 题型09 配方法的应用 1．（2023·江苏扬州·统考一模）已知y 2−2 x+4=0，则x 2+ y 2+2 x的最小值是（ ） ．8 B．−8 ．−9 D．9 2．（2021·安徽马鞍山·统考二模）已知a,b,c为实数，且b+c=5−4 a+3a 2,c−b=1−2a+a 2，则 a,b,c之间的大小关系是（ ） ．a<b≤c B．b<a≤c ．b≤c<a D．c<a≤b 3．（2023·浙江台州·统考一模）已知点A(a,b)在一次函数y=2 x−1图象上，则a 2+b+3的最小值为 ． 4．（2023·浙江嘉兴·统考一模）设x，y 都是实数，请探究下列问题， (1)尝试：①当x=−2，y=1时，∵x 2+ y 2=5，2 xy=−4，∴x 2+ y 2>2 xy． ②当x=1，y=2时，∵x 2+ y 2=5，2 xy=4，∴ x 2+ y 2>2 xy． ③当x=2，y=2.5时，∵ x 2+ y 2=10.25，2 xy=10，∴x 2+ y 2>2 xy． ④当x=3，y=3时，∵ x 2+ y 2=18，2 xy=18，∴x 2+ y 2________2xy． (2)归纳：x 2+ y 2与2 xy有怎样的大小关系？试说明理由． (3)运用：求代数式x 2+ 4 x 2的最小值． 题型10 判断不含字母的一元二次方程根的情况 1．（2023 殷都区一模）一元二次方程x 2−3 x+1=0的根的情况（ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．没有实数根 D．无法确定 2．（2023 秦皇岛开发区一模）不解方程，判别方程2x2 3 ﹣❑ √2x＝3 的根的情况（ ） ．只有一个实数根 B．有两个相等的实数根 ．有两个不相等的实数根 D．无实数根 题型11 判断含字母的一元二次方程根的情况 1．（2022·河南商丘·统考三模）关于x 的方程2 x 2−mx−3=0的根的情况是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．没有实数根 D．不能确定 2（2022·广东广州·统考一模）若16m+2＜0，则关于x 的方程mx2﹣（2m+1）x+m 1 ﹣＝0 的根的情况是（ ） ．没有实数根 B．只有一个实数根 ．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2022·云南玉溪·统考一模）对于任意的实数m，关于x 的方程x 2−mx−1 2=0的根的情况是（ ） ．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 ．无实数根 D．无法确定 题型12 由方程根的情况确定字母的值或取值范围 1．（2023·广东肇庆·统考二模）若关于x 的一元二次方程x 2+2 x+m=0有两个不相等的实数根，则m 的 值可能是（ ） ．0 B．1 ．2 D．3 2．（2021·山东泰安·统考中考真题）已知关于x 的一元二次方程k x 2−(2k−1) x+k−2=0有两个不相等的 实数根，则实数k 的取值范围是（ ） ．k>−1 4 B．k< 1 4 ．k>−1 4 且k ≠0 D．k< 1 4 且k ≠0 3．（2023 武鸣区二模）关于x的一元二次方程(k+1)x 2−2 x+1=0有两个实数根，则k的取值范围是 （ ） ．k ≥0 B．k ≤0 ．k<0且k ≠−1 D．k ≤0且k ≠−1 题型13 应用根的判别式证明方程根的情况 1．（2023·北京昌平·统考二模）关于x的一元二次方程x 2−kx+k−1=0． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于0，求k的取值范围． 2．（2021 上·北京·九年级北京市十一学校校考阶段练习）已知关于x的一元二次方程x 2−mx+m−1=0． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于−4，求m的取值范围． 3．（2020·湖北孝感·中考真题）已知关于x的一元二次方程x 2−(2k+1) x+ 1 2 k 2−2=0． （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1−x2=3，求k的值． 4．（2023·江苏扬州·统考二模）已知关于x 的一元二次方程x 2−(m−1) x+m−2=0 (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程两个实数根的差为3，求m 的值． 5．（2023·北京大兴·统考二模）已知关于x 的方程x 2−(m+4)x+4 m=0． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个根小于1，求m 的取值范围． 题型14 与根的判别式有关的新定义问题 1．（2023·河南信阳·统考一模）定义新运算：a◎b=ab−b 2，例如1◎2=1×2−2 2=2−4=−2，则方 程2◎x=5的根的情况是（ ） ．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 ．没有实数根 D．只有一个实数根 3．（2022·河北·校联考一模）新定义运算：a※b=a 2−ab+b，例如2※1=2 2−2×1+1=3，则方程 x※2=5的根的情况为（ ） ．没有实数根 B．有一个实数根 ．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 3．（2023·山东烟台·统考二模）对于实数，b 定义新运算：a※b=ab 2−b，若关于x 的方程1※ x=k有两 个不相等的实数根，则k 的取值范围为 ． 题型15 由根与系数的关系直接求代数式的值 1．（2021·江苏泰州·统考中考真题）关于x 的方程x2﹣x 1 ﹣＝0 的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ． 2．（2021·江西·中考真题）已知x1，x2是一元二次方程x 2−4 x+3=0的两根，则x1+x2−x1 x2=¿ ． 3．（2023 上·四川成都·九年级统考期末）若a，b是方程x 2+2 x−4=0的两个实数根，则(a−2) (b−2)的 值为 ． 4（2023 上·全国·九年级专题练习）若方程x 2−3 x+1=0的两个实数根为，b，则b a + a b 的值为（ ） ．﹣9 B．9 ．﹣7 D．7 题型16 由根与系数的关系和方程的解通过代换求代数式的值 1（2021·山东济宁·统考中考真题）已知m，n是一元二次方程x 2+x−2021=0的两个实数根，则代数式 m 2+2m+n的值等于（ ） ．2019 B．2020 ．2021 D．2022 2．（2023·广东广州·统考一模）已知方程x 2−2023 x+1=0的两根分别为m、n，则m 2−2023 n 的值为 （ ） ．1 B．−1 ．2023 D．−2023 3（2021 上·江西南昌·九年级校联考阶段练习）设m、分别为一元二次方程x2+2x﹣13＝0 的两个实数根， 则m2+3m+的值为 ． 题型17 由方程两根满足关系求字母或代数式的值 1．（2023·福建龙岩·统考模拟预测）关于x 的一元二次方程x 2−2 (m+1) x+m 2+2=0两个实数根的倒数和 为1，则m=¿（ ） ．−2或0 B．2 或0 ．2 D．0 2．（2019·广东广州·统考中考真题）关于x 的一元二次方程x 2−(k−1)x−k+2=0有两个实数根x1, x2 ， (x1−x2+2)( x1−x2−2)+2 x1 x2 ¿−3，则k 的值（ ） ．0 或2 B．-2 或2 ．-2 D．2 3．（2021 上·贵州遵义·九年级统考阶段练习）已知关于x 的方程x2－2x＋2k－1＝0 的两根分别是x1、x2， 且x2 x1 + x1 x2 =¿x1·x2，则k 的值是 ． 4．（2020·湖北鄂州·中考真题）已知关于x 的方程x 2−4 x+k+1=0有两实数根． （1）求k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为x1、x2，且3 x1 + 3 x2 =x1 x2−4，求实数k 的值． 题型18 与根与系数有关的新定义问题 1．（2021·河南洛阳·统考三模）定义a★b=a 2+a (b−2)+4，例如3★7=3 2+3× (7−2)+4=28，若方程 x ★m=0的一个根是−1，则此方程的另一个根是（ ） ．−2 B．−3 ．−4 D．−5 2．（2022·四川宜宾·校考一模）对于任意实数，b，我们定义新运算“*”：*b＝2+2b﹣b2，例如3*5＝ 32+2×3×5 5 ﹣ 2＝14．若m，是方程（x+2）*3＝0 的两根，则n m + m n 的值为 ． 3．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）对于实数m、n，定义运算“※”：m※n=mn(m+n)．例如， 4 2=4×2× ※ （4+2）=48．若x1, x2是关于x的一元二次方程x 2−5 x+4=0的两个实数根，则x1※x2= ． 题型19 构造一元二次方程求代数式的值 1．（2023·河南新乡·河南师大附中校考三模）如果m，n是两个不相等的实数，且满足m 2+m=4， n 2+n=4，那么代数式3n 2−mn−3m的值是（ ） ．19 B．18 ．16 D．15 2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题： 已知实数a,b同时满足a 2+2a=b+2, b 2+2b=a+2，求代数式b a + a b 的值． 结合他们的对话，请解 答下列问题： （1）当a=b时，的值是 ． （2）当a≠b时，代数式b a + a b 的值是 ． 3．（2023·湖北襄阳·统考一模）阅读材料，解答问题： 材料一：已知实数，b (a≠b)满足a 2+3a−1=0，b 2+3b−1=0，则可将，b 看作一元二次方程 x 2+3 x−1=0的两个不相等的实数根． 材料二：已知实数，b (ab≠1)满足2a 2−3a+1=0，b 2−3b+2=0，将b 2−3b+2=0两边同除以b 2，得 1−3 b + 2 b 2=0，即2( 1 b) 2 −3( 1 b)+1=0，则可将，1 b 看作一元二次方程2 x 2−3 x+1=0的两个不相等的实 数根． 请根据上述材料，利用一元二次方程根与系数的关系解答下列问题： (1)已知实数，b (a≠b)满足a 2−7 a−2=0，b 2−7b−2=0，求2a+2b−3ab的值； (2)已知实数，b 满足3a 2−5a+1=0，b 2−5b+3=0，且ab≠1，求3ab+3 ab+4 a+1 的值． 题型20 根与系数的关系和根的判别式的综合应用 1．（2022·北京大兴·统考一模）已知关于x 的方程x 2−2mx+m 2−9=0． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为x1, x2，若x1+x2=6，求m 的值． 2．（2012·四川南充·中考真题）关于x 的一元二次方程x2+3x+m-1=0 的两个实数根分别为x1,x2． （1）求m 的取值范围． （2）若2（x1+x2）+ x1x2+10=0．求m 的值 3．（2023·北京石景山·统考二模）已知关于x的一元二次方程x 2−2mx+m 2−1=0． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若m>1，且该方程的一个根是另一个根的2 倍，