第07讲 一元二次方程（讲义）（原卷版）

第07 讲 一元二次方程 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 一元二次方程的相关概念 题型01 识别一元二次方程 题型02 由一元二次方程的概念求参数 的值 题型03 一元二次方程的一般式 题型04 由一元二次方程的解求参数的 值 题型05 由一元二次方程的解求代数式 的值 题型06 已知一元二次方程的一个根， 求另一个根 考点二 解一元二次方程 题型01 用直接开平方法解一元二次方 程 题型02 利用配方法解一元二次方程 题型03 利用因式分解法解一元二次方 程 题型04 利用公式法解一元二次方程 题型05 利用换元法解一元二次方程 题型06 选用合适的方法解一元二次方 程 题型07 错看或错解一元二次方程问题 题型08 配方法的应用 题型09 判断不含字母的一元二次方程 的根的情况 题型10 判断含字母的一元二次方程根 的情况 题型11 由方程根的情况确定字母的值 或取值范围 题型12 应用根的判别式证明方程根的 情况 题型13 应用根的判别式求代数式的取 值范围 题型14 与根的判别式有关的新定义问 题 考点三 一元二次方程根与系数的关系 题型01 由根与系数的关系直接求代数 式的值 题型02 由根与系数的关系和方程的解 通过代换求代数式的值 题型03 由根与系数的关系和方程的解 通过降次求代数式的值 题型04 由方程两根满足关系求字母或 代数式的值 题型05 不解方程由根与系数的关系判 断根的正负 题型06 由方程两根的不等关系确定字 母系数的取值范围 题型07 与根与系数有关的新定义问题 题型08 构造一元二次方程求代数式的 值 题型09 根与系数的关系和根的判别式 的综合应用 考点四 一元二次方程的应用 题型01 分裂（传播）问题 题型02 碰面（循环）问题 题型03 增长率问题 题型04 营销问题 题型05 工程问题 题型06 行程问题 题型07 与图形有有关的问题 考点要求 新课标要求 命题预测 一元二次方程的相  理解一元二次方程的相关概念 本考点内容以考查一元二 关概念 次方程的相关概念、解一元二次 方程、根的判别式、韦达定理 （根与系数的关系）、一元二次 方程的应用题为主，既有单独考 查，也有和二次函数结合考察最 值问题，年年考查，分值为15 分 左右 预计2024 年各地中考还将 继续考查上述的几个题型，复习 过程中要多注意各基础考点的巩 固，特别是解法中公式法的公 式，不要和后续二次函数顶点坐 标的纵坐标公式记混了． 一元二次方程的解 法  理解配方法，能用配方法、公式法、因式分 解法解数字系数的一元二次方程；  会用一元二次方程根的判别式判别方程是否 有实根及两个实根是否相等； 一元二次方程的根 与系数的关系  了解一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的应 用  能根据具体问题的实际意义，检验方程解的 合理性 考点一 一元二次方程的相关概念 一元二次方程 的相关概念 概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程，叫做一元二次方程 一般形式： a x 2+bx+c=0(a≠0)， 其中：是二次项系数，b 是一次项系数，是常数项 一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解 题型01 识别一元二次方程 【例1】（2023·江西抚州·金溪一中校考模拟预测）下列方程是一元二次方程的是（ ） ．x 2−1=0 B．2 x+ y=1 ．x+ 1 x =3 D．4 x+5=6 x 【变式1-1】（2023·四川成都·一模）下列方程是一元二次方程的是（ ） ．x 2+x−y=0 B．a x 2+2 x−3=0 ．x 2+2 x+5=x( x−1) D．x 2−1=0 题型02 由一元二次方程的概念求参数的值 【例2】（2023 南阳市一模）关于x 的方程(m+1) x|m|+1−mx+6=0是一元二次方程，则m 的值是（ ） ．−1 B．3 ．1 D．1 或−1 1 如果明确了a x 2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了≠0 这个条件（当=0 时，不含有二次项，即不是 一元二次方程） 2 一元二次方程必须具备三个条件： ①必须是整式方程；②必须只含有一个未知数；③所含未知数的最高次数是2 3 在判断一个方程是不是一元二次方程时,要先化成一般形式，再判断 4 二次项系数、一次项系数和常数项都是在一般形式下定义的所以在确定一元二次方程各项的系数时, 应先将方程化为一般形式 5 一元二次方程的解，要么无解，有解必有两个，所以最后方程的解一定要写明x1，x2． 【变式2-1】（2022 上·辽宁沈阳·九年级期中）方程(m−2)x m 2−2+(5+m)x+3=0是关于x的一元二次方 程，则m=¿ ． 题型03 一元二次方程的一般式 【例3】（2022 上·河南郑州·九年级郑州外国语中学校考期中）将一元二次方程3 x 2=5 x−1写成一般形式， 下列等式正确的是（ ） ．3 x 2−5 x−1=0 B．3 x 2+5 x−1=0 ．3 x 2−5 x+1=0 D．3 x 2+5 x+1=0 【变式3-1】（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程4 x 2+8 x=25化成 a x 2+bx+c=0的形式，则a，b，c的值分别为（ ） ．4，8，25 B．4，2，−25 ．4，8，−25 D．1，2，25 【变式3-2】．（2021 上·山西晋中·九年级阶段练习）若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它 的一个根为2，则该方程为 ． 【变式3-3】（2023 集贤县·九年级期中）已知关于x的一元二次方程(a−1) x 2+x+a 2−1=0的常数项是 0，则a的值为（ ） ．1 B．−1 ．1 或−1 D．1 2 题型04 由一元二次方程的解求参数的值 【例4】（2022·广东·中考真题）若x=1是方程x 2−2 x+a=0的根，则a=¿ ． 【变式4-1】（2021·湖南长沙·中考真题）若关于x的方程x 2−kx−12=0的一个根为3，则k的值为 ． 题型05 由一元二次方程的解求代数式的值 【例5】（2023·甘肃陇南·一模）关于x的一元二次方程2 x a−2+m=4的解为x=1，则a+m的值为（ ） ．9 B．8 ．6 D．4 【变式5-1】（2023·北京海淀·校考模拟预测）如果x=−1是方程x 2+mx+n=0的一个根，那么m、的大 小关系是（ ） ．m>n B．m=n ．m<n D．不确定的 【变式5-2】（2023 渭南市月考）若关于x 的方程a x 2+bx−1=0的一个解为x=1，则2023−a−b=¿ 利用方程根的概念将方程的根代入原方程再解方程就可以求出参数的值，同时还要注意限制参数 取值的其他隐含条件 ． 【变式5-3】（2023·广东佛山·校考一模）已知a是方程2 x 2−5 x−7=0的一个根，则代数式4 a 2−10a的 值是 ． 题型06 已知一元二次方程的一个根，求另一个根 【例6】（2022·广西贵港·中考真题）若x=−2是一元二次方程x 2+2 x+m=0的一个根，则方程的另一个 根及m 的值分别是（ ） ．0，−2 B．0，0 ．−2，−2 D．−2，0 【变式6-1】（2023 宁德市一模）关于x 的一元二次方程x 2−2kx−5=0的一个根是1，则这个方程的另一 个根是 ． 【变式6-2】（2023 遵义市第十一中三模）若关于x的一元二次方程x 2−kx−2=0的一个根为x=1，则这 个一元二次方程的另一个根为 ． 考点二 解一元二次方程 解 一 元 二 次 方 程 的 方 法 基本思路 通过“降次”，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，分别解两个一元一次方程， 得到的两个解就是原方程的解 特征 步骤 解 法 直接 开平 方法 形如x2=b （≠0）的一元 二次方程 1）方程两边同时除以，得x2=b a 2）两边分别开方得x1¿ ❑ √ b a=，x2= -❑ √ b a 配方 法 可配成 (mx+) 2=b 形式的 一元二次方程 1）移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； 2）二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； 3）配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为 (mx+)2=b（b≥0）的形式； 4）求解：判断右边等式符号，开平方并求解 【注意】：①当b <0 时，方程无解 ②当b≥0 时，方程的根是x=−a± ❑ √b m 因式 分解 法 可化成 (x+b)(x+d)=0 形式的 一元二次方程 1）将方程右边的各项移到方程左边，使方程右边为0； 2）将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； 3）令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； 4）求解 口诀：右化零，左分解，两因式，各求解 公式 法 适用所有 一元二次方程 1）把方程化为一般形式，确定、b、的值(若系数是分数通常将其化 为整数，方便计算)； 2）求出b2-4 的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解； 3）如果b2-4≥0, 将、b、的值代入求根公式：x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a ； 4）最后求出x1，x2。 一元二次方程x2+bx+=0（≠0）的解法选择： 1）当=1，b 为偶数，≠0 时，首选配方法； 2）当b=0 时，首选直接开平方法； 3）当=0 时，可选因式分解法或配方法； 4）当=1，b≠0，≠0 时，可选配方法或因式分解法； 5）当≠1，b≠0，≠0 时，可选公式法或因式分解法 根的判别式 一般地，式子b 2−4 ac叫做一元二次方程a x 2+bx+c=0(a≠0) 根的判别式， 通常用希腊字母Δ 表示，即Δ=b 2−4 ac 根的情况 与判别式 的关系 Δ＞0 方程a x 2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实根:x=−b± ❑ √b 2−4 ac 2a Δ=0 方程a x 2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实根：x1=x2=−b 2a Δ＜0 方程a x 2+bx+c=0(a≠0)无实根 1 用直接开平方法求一元二次方程的根，一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，且它 们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根 2 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含 有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0 3 求根公式的使用条件：≠0 且b2-4≥0 4 使用一元二次方程根的判别式，应先将方程整理成一般形式，再确定,b, 的值 5 利用判别式可以判断方程的根的情况,反之,当方程：1）有两个不相等的实数根时, Δ>0; 2）有两个相等的实数根时, Δ=0; 3）没有实数根时, Δ<0 6 一元二次方程有解分两种情况：1）有两个相等的实数根；2）有两个不相等的实数根． 题型01 用直接开平方法解一元二次方程 【例1】（2023·天津西青·二模）方程(x+6) 2−9=0的两个根是（ ） ．x1=3，x2=9 B．x1=−3，x2=9 ．x1=3，x2=−9 D．x1=−3，x2=−9 【变式1-1】（2023·浙江杭州·一模）已知一元二次方程( x−2) 2=3的两根为a、b，且a>b，则2a+b的值 为 ． 【变式1-2】（2023·齐齐哈尔市模拟）解关于x的方程： 4 (2 x−5) 2=9 (3 x−1) 2． 题型02 利用配方法解一元二次方程 【例2】（2022·甘肃武威·中考真题）用配方法解方程x2-2x=2 时，配方后正确的是（ ） ．(x+1) 2=3 B．(x+1) 2=6 ．(x−1) 2=3 D．(x−1) 2=6 【变式2-1】（2022·山东聊城·中考真题）用配方法解一元二次方程3 x 2+6 x−1=0时，将它化为 (x+a) 2=b的形式，则a+b的值为（ ） ．10 3 B．7 3 ．2 D．4 3 【变式2-2】（2023·山西大同·校联考模拟预测）将方程2 x 2−12 x+1=0配方成(x−m) 2=n的形式，下列 配方结果正确的是（ ） ．(x+3) 2=17 B．(x+3) 2=17 2 ．(x−3) 2=17 D．(x−3) 2=17 2 【变式2-3】（2022 松原市三模）用配方法解方程x 2−4 x−3=0，配方得( x+m) 2=7，常数m 的值是 ． 题型03 利用因式分解法解一元二次方程 【例3】（2022·广西梧州·中考真题）一元二次方程(x−2) (x+7)=0的根是 ． 【变式3-1】（2023 惠阳区模拟预测）三角形两边长分别为3 和6，第三边的长是方程x2 13x+36=0 ﹣ 的根， 则该三角形的周长为 ． 【变式3-2】（2023·江苏南京·二模）解方程：x (x−6)=−4 (x−6)． 题型04 利用公式法解一元二次方程 【例4】（2023·甘肃陇南·一模）用公式法解方程x 2−4 x−11=0时，Δ＝（ ） ．−43 B．−28 ．45 D．60 【变式4-1】（2023·江苏无锡·一模）方程x 2−3 x=1的解是 ． 【变式4-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·校考一模）方程x 2+2 x−2=0的解是 【变式4-3】（2023 长岭县模拟）一元二次方程x 2−3 x+2=0根的判别式的值为 ． 题型05 利用换元法解一元二次方程 【例5】（2023·浙江宁波·校考一模）已知(a 2+b 2) 2−a 2−b 2−6=0，求a 2+b 2的值为 ． 【变式5-1】（2023 罗湖区模拟预测）若(x 2+ y 2+3)(x 2+ y 2−3)=16，则x 2+ y 2=¿ ． 【变式5-2】我们知道方程x 2+2 x−3=0的解是x1=1，x2=−3，现给出另一个方程 (2 x+3) 2+2(2 x+3)−3=0，它的解是（ ） ．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=−3 ．x1=−1，x2=3 D．x1=−1，x2=−3 【变式5-3】（2023·四川绵阳·二模）二次函数y=a x 2+bx+c的部分对应值如列表所示：则一元二次方程 a(2 x−1) 2+b (2 x−1)+c=7的解为 ． x … −3 0 1 3 5 … y … 7 −8 −9 −5 7 … 题型06 选用合适的方法解一元二次方程 【例6】（2023 西安高新一中一模）解方程：x 2−4 x−5=0． 【变式6-1】（2023·广东广州·一模）解方程( x−2) 2=4． 【变式6-2】（2022 秋·江苏镇江·九年级统考期中）解下列方程 (1)9 x 2−(x−1) 2=0 (2)x 2−4 x−1=0 (3)2 x 2−x−3=0 题型07 错看或错解一元二次方程问题 【例7】（2022·浙江温州·一模）关于x 的方程x（x 1 ﹣）＝3（x 1 ﹣），下列解法完全正确的是（ ） B D 两边同时除以 （x 1 ﹣）得，x＝3 整理得，x2 4 ﹣x＝﹣3 ∵＝1，b＝﹣4，＝﹣3， b2 4 ﹣＝28 ∴x＝4± ❑ √28 2 ＝2±❑ √7 整理得，x2 4 ﹣x＝﹣3 配方得，x2 4 ﹣x+2＝﹣1 ∴（x 2 ﹣）2＝﹣1 ∴x 2 ﹣＝±1 ∴x1＝1，x2＝3 移项得，（x 3 ﹣）（x 1 ﹣） ＝0 ∴x 3 ﹣＝0 或x 1 ﹣＝0 ∴x1＝1，x2＝3 ． B．B ． D．D 【变式7-1】下面是小明同学的错题本的一部分，请你仔细阅读，帮助他补充完整． 解方程： (x−3) 2=4 x 2 解： x−3=2 x 第一步 … x−2 x=3⋯ 第二步 x=−3⋯ 第三步 (1)提示：第 步开始出现错误； (2)改正： 【变式7-2】（2021·浙江嘉兴·中考真题）小敏与小霞两位同学解方程3 (x−3)=(x−3) 2的过程如下框： 小敏： 两边同除以(x−3)，得 3=x−3， 则x=6． 小霞： 移项，得3 (x−3)−(x−3) 2=0， 提取公因式，得(x−3) (3−x−3)=0． 则x−3=0或3−x−3=0， 解得x1=3，x2=0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“ ”；若错误请在框内打“ √ ×”，并写出你的解答过程． 【变式7-3】（2023·山西晋中·模拟预测）（1）计算：sin 45°+tan 45°−2cos60°． （2）下面是小明同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解： x 2−2 x=1 第一步 x 2−2 x+1=1，即(x−1) 2=1第二步 x−1=±1 第三步 x1=0，x2=2 第四步 任务一： ①填空：上述材料中小明同学解一元二次方程的数学方法是 ，依据的一个数学公式是 ；第 步开始出现错误； 任务二： ②请你直接写出该方程的正确解． 【变式7-4】（2023 上·北京东城·九年级期末）下面是小聪同学用配方法解方程：2 x 2−4 x−p=0 ( p>0) 的过程，请仔细阅读后，解答下面的问题． 2 x 2−4 x−p=0 解：移项，得：2 x 2−4 x=p．① 二次项系数化为1，得：x 2−2 x= p 2 ．② 配方，得x 2−2 x+1= p 2 ．③ 即( x−1) 2= p 2 ∵p>0， ∴x−1=± ❑ √ p 2 ．④ ∴x1=1+ ❑ √2 p 2 ，x1=1− ❑ √2 p 2 ．⑤ (1)第②步二次项系数化为1 的依据是什么？ (2)整个解答过程是否正确？若不正确，说出从第几步开始出现的错误，并直接写出此方程的解． 题型08 配方法的应用 【例8】（2023 上·江西九江·九年级阶段练习）【课本再现】 材料一：解方程：x 2+8 x−9=0． 解：把常数项移到方程的右边，得x 2+8 x=9． 两边都加4 2，得x 2+8 x+4 2=9+4 2，即(x+4 ) 2=25． 两边开方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=−5， 所以x1=1，x2=−9． 在上例中，我们通过配成完全平方式的形式得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配 方法． 材料二：对于某些二次三项式也可以通过配方，利用完全平方式的非负性解决其最值问题． 例如：x 2−6 x+10=(x 2−6 x+9)−9+10=(x−3) 2+1． ∵(x−3) 2≥0， ∴(x−3) 2+1